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1.特殊數(shù)題(1)21－12

　　當被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時,，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9,。

　　因為這樣的兩位數(shù)減法，最低起點是21－12,，差為9,，即(2－1)×9。減數(shù)增加1,，其差也就相應(yīng)地增加了一個9,，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數(shù)從12—89,，都可類推,。

　　被減數(shù)和減數(shù)同時擴大(或縮小)十倍,、百倍、千倍……,，常數(shù)9也相應(yīng)地擴大(或縮小)相同的倍數(shù),，其差不變。如

　　210－120＝(2－1)×90＝90,，

　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09,。

　　個位數(shù)字都是1，十位數(shù)字的和小于10的兩位數(shù)相乘,，其積的前兩位是十位數(shù)字的積,，后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)。

　　若十位數(shù)字的和滿10,，進1,。如

　　證明：(10a＋1)(10b＋1)

　　＝100ab＋10a＋10b＋1

　?。?00ab＋10(a＋b)＋1

　　(3)26×86 42×62

　　個位數(shù)字相同,，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù),，后兩位是個位數(shù)的積,。若個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補0,。

證明：(10a＋c)(10b＋c)

　?。?00ab＋10c(a＋b)＋cc

　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10),。

　　十幾乘以十幾,，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積,。

　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323

證明：(10＋a)(10＋b)

　?。?00＋10a＋10b＋ab

　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab,。

　　十位數(shù)字相同,，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字,，再乘以10,，加個位數(shù)的積。

　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9

　?。?2×60＋27＝4347,。

證明：(10a＋c)(10a＋d)

　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

　?。?0a[(10a＋c)＋d]＋cd,。

　　十位數(shù)字相同,，個位數(shù)字的和為10，用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù),，后兩位是個位數(shù)的積,。如

證明：(10a＋c)(10a＋d)

　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd

　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10),。

　　十位數(shù)字的差是1,，個位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的平方差,。

　　原式＝(30＋8)×(30－8)

　　(8)88×37

　　被乘數(shù)首尾相同,，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字,，是積的前兩位數(shù),，后兩位是個位數(shù)的積。

　　乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘,。

　　被乘數(shù)是偶數(shù)時,，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10；是奇數(shù)時,，積為被乘數(shù)加上它本身減去1后的一半,，和的后面添個5。

　?。?4×10＝540,。

　　55×15

　　三位數(shù)乘以101，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和,，接寫它的后兩位數(shù),。125＋1＝126。

　　原式＝12625,。

　　再如348×101,，因為348＋3＝351，

　　原式＝35148,。

　　一個數(shù)乘以49,，把這個數(shù)乘以100，除以2,，再減去這個數(shù),。

　　原式＝8400÷2－84

　　＝4200－84＝4116,。

　　兩位數(shù)乘以9,、99,、999、…,。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0,、再減去被乘數(shù)。

　　原式＝8500－85＝8415

　　不難看出這類題的積：

　　最高位上的兩位數(shù)(或一位數(shù)),，是被乘數(shù)與1的差,；

　　最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差,；

　　中間數(shù)字是9,，其個數(shù)是乘數(shù)中9的個數(shù)與2的差。

證明：設(shè)任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b,、十位數(shù)字為a(a≠0),，則

　　如果被乘數(shù)的個位數(shù)是1，例如

　　31×999

　　在999前面添30為30999,，再減去30,，結(jié)果為30969。

　　71×9999＝709999－70＝709929,。

　　這是一道頗為繁復(fù)的計算題,。

　　原式＝0.052631578947368421。

　　根據(jù)“如果被除數(shù)不變,，除數(shù)擴大(或縮小)若干倍,，商反而縮小(或擴大)相同倍”和“商不變”性質(zhì)，可很方便算出結(jié)果,。

　　原式轉(zhuǎn)化為0.1÷1.9,，把1.9看作2，計算程序：

　　(1)先用0.1÷2＝0.05,。

　　(2)把商向右移動一位,，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除

　　如此除到循環(huán)為止,。

　　仔細分析這個算式：

　　加號前面的0.05是0.1÷2的商,，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里,，除以1.9,。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推,。

　　除數(shù)末位是9,，都可用此法計算,。

　　例如1÷29，用0.1÷3計算,。

　　1÷399,，用0.1÷40計算。

2.估算

　　數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力(含估算能力)的強弱,，直接影響到人們的生活節(jié)奏和工作,、學(xué)習(xí)、科研效率,。已經(jīng)引起世界有關(guān)專家,、學(xué)者的重視，是個亟待研究的課題,。

　　美國數(shù)學(xué)督導(dǎo)委員會,，提出的12種面向全體學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力中，第6種能力即估算：“學(xué)生應(yīng)會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算,。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性,。檢驗預(yù)測或作出決定……”

(1)最高位估算

　　只計算式中幾個運算數(shù)字的最高位的結(jié)果,，估算整個算式的值大概在什么范圍。

　　例1 1137＋5044－3169

　　最高位之和1＋5－3＝3,，結(jié)果在3000左右,。

　　

　　如果因為忽視小數(shù)點而算成560，依據(jù)“一個不等于零的數(shù)乘以真分數(shù),，積必小于被乘數(shù)”估算,，錯誤立即暴露。

　　例3 51.9×1.51

　　整體思考,。

　　因為 51.9≈50,，

　　而50×1.51≈50×1.5＝75，

　　又51.9＞50,，1.51＞1.5,，

　　所以51.9×1.51＞75。

　　另外9×1＝9,，

　　所以原式結(jié)果大致是75多一點,，三位小數(shù)的末位數(shù)字是9。

　　例4 3279÷79

　　把3279和79,，看作3200和80,。準確商接近40，若相差較大,，則是錯的,。

(2)最低位估算

　　例如,，6403＋232＋1578

　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3,。

(3)規(guī)律估算

　　和大于每一個加數(shù),；

　　兩個真分數(shù)(或純小數(shù))的和小于2；

　　一個真分數(shù)與一個帶分數(shù)(或一個純小數(shù)與一個帶小數(shù))的和大于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù)),，且小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與2的和,；

　　

　　兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的和總是大于兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))整數(shù)部分的和，且小于這兩個整數(shù)部分的和加上2,；

　　

　　奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù),，偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù),；

　　差總是小于被減數(shù),；

　　整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù))的差小于整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分的差；帶分數(shù)(或帶小數(shù)),，與整數(shù)的差大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)部分與整數(shù)的差,。

　　

　　帶分數(shù)(或帶小數(shù))與真分數(shù)(或純小數(shù))的差小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))，且大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))減去1的差,；

　　

　　帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的差小于被減數(shù)與減數(shù)的整數(shù)部分的差,，且大于這個差減去1；

　　

　　如果兩個因數(shù)都小于1,，則積小于任意一個因數(shù),；

　　若兩個因數(shù)都大于1，則積大于任意一個因數(shù),；

　　帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的積大于兩個因數(shù)的整數(shù)部分的積,，且小于這兩個整數(shù)部分分別加1后相乘的積； 例如,，

　　

　　

　　A＜AB＜B,。

　　奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù),；

　　若除數(shù)＜1,，則商＞被除數(shù)；

　　若除數(shù)＞1,，則商＜被除數(shù),；

　　若被除數(shù)＞除數(shù)，則商＞1,；

　　若被除數(shù)＜除數(shù),，則商＜1。

(4)位數(shù)估算

　　整數(shù)減去小數(shù)，差的小數(shù)位數(shù)等于減數(shù)的小數(shù)位數(shù),；例如,，320－0.68，差為兩位小數(shù),。

　　最高位的乘積滿十的兩個整數(shù)相乘的積的位數(shù),，等于這兩個數(shù)的位數(shù)和；

　　例如,，451×7103

　　最高位的積4×7＝28,，滿10，結(jié)果是3＋4＝7(位數(shù)),。在整除的情況下,，被除數(shù)的前幾位不夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)減去除數(shù)的位數(shù),；

　　例如,，147342÷27

　　14不夠27除，商是4－2＝2(位數(shù)),。

　　被除數(shù)的前幾位夠除,，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)與除數(shù)位數(shù)的差加上1。

　　例如,，30226÷238

　　302夠238除,，商是5－3＋1＝3(位數(shù))。

(5)取整估算

　　把接近整數(shù)或整十,、整百、……的數(shù),，看作整數(shù),，或整十、整百…的數(shù)估算,。

　　如1.98＋0.97≈2＋1,，和定小于3。

　　12×8.5≈10×10,，積接近100,。

3.并項式

　　應(yīng)用交換律、結(jié)合律,，把能湊整的數(shù)先并起來或去括號,。

　　例1 3.34＋12.96＋6.66

　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)

　　

　?。?2.96＋10＝22.96

　?。?－3＝0

　　例3 15.74－(8.52＋3.74)

　　＝15.74－3.74－8.52

　?。?2－8.52＝3.48

　　例4 1600÷(400÷7)

　?。?600÷400×7

　?。?×7

　　＝28