十個手指,，手掌面向自己，從左往右數(shù)數(shù),。 十個手指,，手掌面向自己，從左往右數(shù)數(shù),。

1． 個位比十位大 1 ×9 ． 口訣 個位是幾彎回幾,，彎指左邊是百位， 個位是幾彎回幾,，彎指左邊是百位,， 為十位，彎指右邊是個位,。 彎指讀 0 為十位,，彎指右邊是個位。 

2． 個位比十位大 ×9 ． 口訣 個位是幾彎回幾,，原十位數(shù)為百位,， 個位是幾彎回幾，原十位數(shù)為百位,， 左邊減去百位數(shù),，剩余手指為十位， 左邊減去百位數(shù),，剩余手指為十位,， 彎指作為分界線。彎指右邊是個位,。 彎指作為分界線,。彎指右邊是個位。

3． 個位與十位相同 ×9 ． 個位與十位相同× 口訣 個位是幾彎回幾,，彎指左邊是百位,， 個位是幾彎回幾,，彎指左邊是百位， 為十位,，彎指右邊是個位,。 彎指讀 9 為十位，彎指右邊是個位,。 34×9=306 78×9=702 89×9=801 45×9=405 38×9=3.42 13×9=117 25×9=225 18×9=162 33×9=297 44×9=396 88×9=792 

4． 個位比十位小 ×9 ． 個位比十位小× 十位減 1,，寫百位,，原個位數(shù)寫十位,，94×9=（9-1）×100+4×10+（100-94）=846 ，寫百位,，原個位數(shù)寫十位,， 與百差幾寫個位（加補數(shù)） 如差幾十加十位。 ,，如差幾十加十位 與百差幾寫個位（加補數(shù)） 如差幾十加十位,。 83×9=（8-1）×100+ 30+17=747 ， 62×9=（6-1）×100+2×10+（100-62）=558 加法 加大減差法 前面加數(shù)加上后面加數(shù)的整數(shù),， 前面加數(shù)加上后面加數(shù)的整數(shù),， 減去后面加數(shù)與整數(shù)的差等于和 減補數(shù)） 數(shù)的差等于和（ 減去后面加數(shù)與整數(shù)的差等于和（減補數(shù)） 。 +1 -2 1378+98=1378—100+2=1476 5768+9897=5768+10000—103 =15665 求只是兩個數(shù)字位置變換兩位數(shù)的和 前面加數(shù)的十位數(shù)加上它的個位數(shù),， 前面加數(shù)的十位數(shù)加上它的個位數(shù),，乘以 11 等于和 47+74=（4+7）×11=121 68+86=（6+8）×11=154 58+85=（5+8）×11=143 一目三行加法 口訣 1 不夠 9 的用分段法 直接相加，并要提前虛進(jìn) 1 直接相加,，并要提前虛進(jìn) 2 中間數(shù)字和 中間數(shù)字和>19 的 棄 19,前邊多進(jìn) 1(中間棄 9) 前邊多進(jìn) 中間棄 3 末位數(shù)字和 末位數(shù)字和>19 的 棄 20,前邊多進(jìn) 1 (末位棄 10) 前邊多進(jìn) 末位棄 365427158 +644785963 +742334452 1752547573 

1 注意事項：

注意事項： ①中間數(shù)字和小于 9 用直加法或分段法 分段法 直加法 1+ -19 ① 36 0427158 ② 36 042 9158 64 1785963 64 178 9963 +74 2334452 +74 233 9452 174 4547573 174 455 8573 19,， ②中間數(shù)字出現(xiàn)三個 9： 中間棄 19，前邊多進(jìn) 1 ③末位三個 9,，>20 ,， 20， 末位棄 20,，前面多進(jìn) 1 1+ -20 ③ 36042715 9 64178596 9 +74233445 9 174454758 7 321-98=223 -1+2 （—100+2） ）

減法 減大加差法 口訣：被減數(shù)減去減數(shù)的整數(shù),再加上減數(shù)的補數(shù)等于差 再加上減數(shù)的補數(shù)等于差,。 口訣：被減數(shù)減去減數(shù)的整數(shù) 再加上減數(shù)的補數(shù)等于差。 8135-878=7257 91321-8987=82334 -1+122 -1+1013 （—1000+122） ） （—10000+1013） ） 求只是數(shù)字位置顛倒兩個兩位數(shù)的差 口訣：被減數(shù)的十位數(shù)減去它的個位數(shù),， 口訣：被減數(shù)的十位數(shù)減去它的個位數(shù),，乘以 9，等于差,。 ,，等于差。 74-47=（7-4）×9=27 （ ） 83-38=（8-3）×9=45 （ ） 92-29=（9-2）×9=63 （ ） 求只是首尾換位,， 求只是首尾換位,，中間數(shù)相同的兩個三位數(shù)的差 口訣：被減數(shù)的百位數(shù)減它的個位數(shù),， ，等于差 

口訣：被減數(shù)的百位數(shù)減它的個位數(shù),，乘以 9（差的中間必須寫 9） 等于差,。 （ ） 等于差。 ,， 936—639=297 723—327=396 873—378=495 — — — （9—6）×9=3×9=27 — ） × （7—3）×9=36 — ） （8—3）×9=45 — ） 求互補兩個數(shù)的差 口訣： 口訣：被減數(shù)減去 50,，它的差擴大兩倍是最終差。 ,，它的差擴大兩倍是最終差,。 73—27=（73—50）×2=46 兩位互補的數(shù)相減，

— （ — ） 兩位互補的數(shù)相減,，用 50 613—387=（613—500）×2=226 — （ — ） 三位互補的數(shù)相減,，用 500 三位互補的數(shù)相減， 8112—1888=（8112—5000）×2=6224 四位互補的數(shù)相減,，用 5000 四位互補的數(shù)相減,， — （ — ） 乘法 十位相同， 十位相同,，個位互補 口訣： 的積,， 口訣： 在前面因數(shù)的十位數(shù)上加個 1，和另一個十位數(shù)乘得的積,，后寫兩個個位積,，即為所求 ，和另一個十位數(shù)乘得的積 后寫兩個個位積,， 最終積,。 最終積。 67×63=（6+1）×6×100+7×3=4221 × （ ） × × 38 76 81 ×32 ×74 ×89 1216 5624 7209 （十位數(shù)沒有要添個零） 十位數(shù)沒有要添個零） 規(guī)律：十位互補,，個位相同,。 規(guī)律：十位互補，個位相同,。 

口訣：十位與十位相乘加上其中一個個位數(shù),， 口訣：十位與十位相乘加上其中一個個位數(shù)，個位與個位相乘 76×36=（7×3+6）×100+6×6=2736 562=（5×5+6）×100+6×6=3136 × （ × ） × （ × ） × 2 68×48=（6×4+8）×100+8×8=3264 × （ × ） × 一個數(shù)十位與個位互補,， 一個數(shù)十位與個位互補,，另一個數(shù)十位與個位相同的乘法運算 互補數(shù)十位加個 1，和另一數(shù)十位乘得積,，后寫兩個個位積,，即為所求最終積。 ,，和另一數(shù)十位乘得積,，后寫兩個個位積，即為所求最終積,。 37×66=（3+1）×6×100+6×7=2442 88888888888 × （ ） × × 46×77=(4+1) ×7×100+6×7=3542 37 × × × × 44×28=(2+1) ×4+4×8=1232 3288888888856 × × （3+1）×8=32 ） 11 的乘法 高位是幾則進(jìn)幾，兩兩相加挨著寫,。 還寫幾,。 高位是幾則進(jìn)幾，兩兩相加挨著寫,。相加超 10 前加 1，個位是幾還寫幾,。 ，個位是幾還寫幾 231415 11 × 2545565 十位是 1 的乘法 個位相乘寫個位,， 個位相乘寫個位,， 13 個位相加寫十位,， 個位相加寫十位,， ×12 十位相乘寫百位， 十位相乘寫百位,， 156 有進(jìn)位的加進(jìn)位,。 有進(jìn)位的加進(jìn)位。 個位數(shù)是 1 的乘法 個位相乘寫個位,， 31 個位相乘寫個位,， 十位相加寫十位， 十位相加寫十位,， ×21 十位相乘寫百位,， 十位相乘寫百位,， 651 有進(jìn)位的加進(jìn)位。 有進(jìn)位的加進(jìn)位,。 51 61 ×71 3621 ×81 4941 

補充 

1. 被乘數(shù)和乘數(shù)十位數(shù)相同,，個位數(shù)之和不等于 10 被乘數(shù)和乘數(shù)十位數(shù)相同， 個位相乘寫個位 個位相加再乘一個十位數(shù)所得積寫十位,，十位相乘寫百位,，有進(jìn)位的加進(jìn)位。 寫個位,， 個位相乘寫個位,，個位相加再乘一個十位數(shù)所得積寫十位，十位相乘寫百位,，有進(jìn)位的加進(jìn)位,。 23 ×25 57 5 23×25=（2×2）×100+（3+5）×2×10+3×5=575 × （ × ） （ ） × × 

2. 被乘數(shù)和乘數(shù)個位數(shù)相同，十位數(shù)之和不等于 10 被乘數(shù)和乘數(shù)個位數(shù)相同,， 個位相乘寫個位,，十位相加再乘一個個位數(shù)所得積寫十位，十位相乘寫百位,，有進(jìn)位的加進(jìn)位,。 個位相乘寫個位，十位相加再乘一個個位數(shù)所得積寫十位,，十位相乘寫百位,，有進(jìn)位的加進(jìn)位。 23 ×43 989 23×43=（2×4）×100+（2+4）×3×10+3×3=989 × （ × ） （ ） × × 3. 被乘數(shù)和乘數(shù)十位數(shù)相差為 1,，個位數(shù)之和等于 10 ,， 方法：平方差公式： （A+B） —B）=A2—B2 （A 方法：平方差公式： （ ） （ ） 52×48=（50+2） （50— ） （ ） （ —2）=50 —2 =2496 注：①兩數(shù)差為 2,，4,，6，8,，10 的兩個數(shù)相乘也可用此法 ,， ， ,， ,， 24×28=（26+2） （26— ） （ ） （ —2）=26 —2 =676-4=672 2 2 2 2 ②此方法還可以推廣到多位數(shù)乘法 592×608=（600—8） （600+8）=600 —8 =360000—64=359936 （ — ） （ ） — 2 2 3 特殊數(shù)字的乘法運算 72×15=（72÷2）×(15×2)=36×30=1080 （ ÷ ） × × 15×2→30 × → 25×4→100 × → 35×2→70 × → 45×2→90 × → 125×8→1000 × → 366×25=(366÷4) ×（25×4）=91.5×100=9150 × ÷ × ） × 612×35=（612÷2）×(35×2)=306×70=21420 × （ ÷ ） × × 214×45=(214÷2) ×(45×2)=107×90=9630 × ÷ × × 568×125=(568÷8) ×(125×8)=71×1000=71000 × ÷ × × 38×15=(38÷2) ×(15×2)=19×30=570 × ÷ × × 48×25=(48÷4) ×(25×4)=12×100=1200 × ÷ × × 42×35=(42÷2) ×(35×2)=21×70=1470 × ÷ × × 78×45=(78÷2) ×(45×2)=39×90=3510 × ÷ × × 856×125=(856÷8) ×(125×8)=107×1000=107000 × ÷ × × 

任意兩位數(shù)乘兩位數(shù) 萬能法 三步法： 個位相乘;2.上下個位十位交叉相乘積相加 3.十位相乘 有進(jìn)位的加進(jìn)位） 

1.個位相乘 上下個位十位交叉相乘積相加； 三步法： 個位相乘 上下個位十位交叉相乘積相加； 十位相乘 有進(jìn)位的加進(jìn)位） （ 35 ×52 1820 34 ×52 1768 41 ×35 1435 任意三位數(shù)乘兩位數(shù) 萬能法 四步法： 四步法： 1.個位數(shù)上下相乘,，寫個位,； 個位數(shù)上下相乘， 個位數(shù)上下相乘 寫個位,；

2.個位數(shù)和十位數(shù)交叉相乘,，積相加（有進(jìn)位的 加進(jìn)位）寫十位； 個位數(shù)和十位數(shù)交叉相乘,， 加進(jìn)位）寫十位,； 個位數(shù)和十位數(shù)交叉相乘 積相加

3.個位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘加上十位數(shù)上下相乘，再相加（有進(jìn)位的 加進(jìn)位） 個位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘加上十位數(shù)上下相乘,， 加進(jìn)位） 個位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘加上十位數(shù)上下相乘 再相加（ 十位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘,，

4.十位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘，寫到最高位即可,。 十位數(shù)和百位數(shù)交叉相乘 寫到最高位即可,。 312 438 × 56 × 52 17472 22776 

任意三位數(shù)乘以三位數(shù)的萬能法五步法： 

五步法： 1.個位數(shù)相乘，寫個位,； 個位數(shù)相乘,， 個位數(shù)相乘 寫個位；

2.個位與十位交叉相乘相加,，寫十位,； 個位與十位交叉相乘相加， 個位與十位交叉相乘相加 寫十位,；

3.個位與百位交叉相乘積相加再加上十位與十位相乘，寫百位,； 個位與百位交叉相乘積相加再加上十位與十位相乘,， 個位與百位交叉相乘積相加再加上十位與十位相乘 寫百位；

4.十位與百位交叉相乘積相加,，寫千位,； 十位與百位交叉相乘積相加， 十位與百位交叉相乘積相加 寫千位,；

5.百位與百位交叉相乘,，寫萬位。 百位與百位交叉相乘,， 百位與百位交叉相乘 寫萬位,。

4 數(shù)位越大越好算 9992=998001 數(shù)去相乘； 幾個 9 數(shù)去相乘,； 位數(shù)減 1 寫成 9,； ； 9 后寫 8 補一位； 補一位,； 8 前幾個 9,，8 后就加幾個 0； ,， ,； 最后寫個 1； ,； 999999992=9999999800000001 數(shù)去相乘,； 幾個 9 數(shù)去相乘； 位數(shù)減 1 寫成 9,； ,； 9 后寫 8 補一位； 補一位,； 幾個 9 數(shù)幾個 0,； ； 末尾只寫一個 1,；即為乘式最終積,。 ；即為乘式最終積,。 999×587=586413 1.求補數(shù),； 求補數(shù)； 求補數(shù) 999-413（補數(shù)）=586 （補數(shù)） 999×456=455544 × 999-544=455 998×897=895206 × 998-103=895 2（998 的補數(shù)）×103=206 （ 的補數(shù)）

3.補數(shù)相乘寫后邊（先求兩數(shù)各補數(shù),，減另一 補數(shù)相乘寫后邊（先求兩數(shù)各補數(shù),， 補數(shù)相乘寫后邊 數(shù)寫前邊，補數(shù)相乘寫后邊,，是幾位數(shù)錯幾位） ,。 數(shù)寫前邊，補數(shù)相乘寫后邊,，是幾位數(shù)錯幾位）

2.交叉相減減補數(shù)（減一次） 交叉相減減補數(shù)（減一次） 交叉相減減補數(shù) 數(shù)位小的也好算 1062=11236 2072=42849 3072=94249 口訣：百位數(shù)乘以百位數(shù)寫高位,； 口訣：百位數(shù)乘以百位數(shù)寫高位； 百位數(shù)和個位數(shù)相乘擴大兩倍寫中間,； 百位數(shù)和個位數(shù)相乘擴大兩倍寫中間,； 個位數(shù)乘個位數(shù)寫后面。 個位數(shù)乘個位數(shù)寫后面,。 5 單位數(shù)的乘法運算 2 的乘法運算 1234 直寫倍,，1356987×2=2713974 直寫倍， 后數(shù)大 5 前加 1,； ,； 單位數(shù)除法 除數(shù)是 2 的運算 口訣： 折半讀得數(shù),。 

口訣： 除 2 折半讀得數(shù)。 48÷2=24 76÷2=38 ÷ ÷ 5 個為 0,， 個 2,； 6 375696587×2=751393174 ， ,； 除數(shù)是 3 的運算 7 個為 4,，8 個 6；47598×2=95196 ,， ,； 口訣： 9 個為 8 要記牢；算前看后莫忘掉,。 要記牢,；算前看后莫忘掉。 口訣：除 3 一定要細(xì)點算 4÷3=1.333 ÷ 5÷3=1.666 余 1 余 2 有循環(huán) ÷ 3 的乘法運算 余 1 循環(huán) 333,，余 2 循環(huán) 666 25÷3=8.333 ,， ÷ 123 數(shù)直寫倍， 數(shù)直寫倍,， 小數(shù)要求留幾位,， 小數(shù)要求留幾位，余 1 要舍余 2 進(jìn),。 29÷3=9.666 ÷ 后大 34 前加 1,， 1346986×3=4040958 ， 大于 67 要進(jìn) 2,， ,， 除數(shù)是 4 的運算 （循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn)）473968×3=1421904 循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn)） 4 個為 2，5 個 5,， 口訣： 有整也有余,， ， ,， 口訣：除 4 有整也有余， 6 個為 8,，7 個 1,， 余按進(jìn)率讀得數(shù)， 5÷4=1.25 ,， ,， 余按進(jìn)率讀得數(shù)， ÷ 8 個為 4,，9 個 7. 6÷4=1.5 ,， 余 1，便是點 25； ,， ,； ÷ 算前看后別忘掉） 7÷4=1.75 （算前看后別忘掉） 余 2，定是點 50,； ,， ； ÷ 126÷4=31.5 余 3,，就是點 75,； ， ,； ÷ 4 的乘法運算 不需計算便知數(shù),。 438÷4=109.5 不需計算便知數(shù)。 ÷ 1 數(shù) 2 數(shù)直寫倍,； 數(shù)直寫倍,； 后大 25 前加 1； 365478×4=1461912 ,； 除數(shù)是 5 的運算 大于 50 要進(jìn) 2,； ； 口訣： 口訣：任何數(shù)除以 5,，等于這個數(shù) 2 倍后再 ,， 大于 75 要進(jìn) 3；28798649×4=115194596 ,； 偶數(shù)各自皆互補,； 偶數(shù)各自皆互補； 除以 10（被除數(shù)擴大兩倍,，小數(shù)點向左移動 （被除數(shù)擴大兩倍,， 一位） 奇數(shù)各自湊 5 奇； 一位） ,。

一定要記住他的進(jìn)位率,。 18÷5=（18×2）÷（5×2）=36÷10=3.6 一定要記住他的進(jìn)位率。 ÷ （ × ） × ） ÷ 368÷5=（368×2） （5×2） ÷ （ × ）÷ × ）=736÷10=73.6 ÷ 5 的乘法運算 任何數(shù)乘以 5,，等于它的半數(shù)加 0. ,， 除數(shù)是 6 的運算 486×5=2430 口訣： 18×5=（18÷2）×（5×2）=9×10=90 口訣： × （ ÷ ） × ） × 除 6 得整還有余， 得整還有余,， 7÷6=1.166 ÷ 264×5=1320 368×5=1840 × × 余按進(jìn)率讀小數(shù),， 8÷6=1.333 余按進(jìn)率讀小數(shù)， ÷ 7356×5=36780 × 循環(huán),； 9÷6=1.5 余 1,，小數(shù) 166 循環(huán),； ， ÷ 6 的乘法運算 10÷6=1.666 余 2,，33 循環(huán)數(shù),； ， 循環(huán)數(shù),； ÷ 167 數(shù)要進(jìn) 1,； 11÷6=1.833 ； 余 3,，小數(shù)是點 5,； ， ,； ÷ 循環(huán),； 余 4 小數(shù) 666 循環(huán)； 后大 34 將 2 進(jìn),； 3768×6=22608 大于 50 要進(jìn) 3,； ； 余 5,，循環(huán) 833,； ， ,； 要求幾位定進(jìn)舍,。 要求幾位定進(jìn)舍。 后大 67 要進(jìn) 4,； 671589×6=4029534 ,； 834 數(shù)要進(jìn) 5； ,； 循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn),；偶數(shù)各自皆本身； 循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn),；偶數(shù)各自皆本身,； 奇數(shù)和 5 來相比；小于 5 數(shù)身減 5,； 來相比,； ； 循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn),。 循環(huán)小數(shù)要記準(zhǔn)。

6 7 的乘法運算 三位三位比 142857---進(jìn) 1 進(jìn) 285714—進(jìn) 2 進(jìn) 428571—進(jìn) 3 進(jìn) 571428—進(jìn) 4 進(jìn) 714285—進(jìn) 5 進(jìn) 857142—進(jìn) 6 進(jìn) 125—進(jìn) 1 進(jìn) 25---進(jìn) 2 進(jìn) 375—進(jìn) 3 進(jìn) 5—進(jìn) 4 進(jìn) 625—進(jìn) 5 進(jìn) 75----進(jìn) 6 進(jìn) 875—進(jìn) 7 進(jìn) 16758×7=117306 365475×7=2558325 除數(shù)是 7 的運算 口訣： 口訣： 整數(shù)需要認(rèn)真除,，余數(shù)循環(huán)六位數(shù),， 整數(shù)需要認(rèn)真除,，余數(shù)循環(huán)六位數(shù)， 乘法進(jìn)率記得準(zhǔn),，余幾循環(huán)進(jìn)率幾 進(jìn)率幾,； 乘法進(jìn)率記得準(zhǔn)，余幾循環(huán)進(jìn)率幾,； 余 1 是 142857 循環(huán) 8÷7=1.142857 ÷ 76÷7=10.857142 ÷ 搬后位,；——285714 循環(huán) 余 2 是 14 搬后位；—— 9÷7=1.285714 137÷7=19..571428 ÷ ÷ 是將頭按在尾,；——428571 余 3 是將頭按在尾,；—— 10÷7=1.428571 225÷7=32.142857 ÷ ÷ 移前位；——571428 余 4 是 57 移前位,；—— 11÷7=1.571428 ÷ 是將尾按在首,；——714285 余 5 是將尾按在首；—— 12÷7=1.714285 ÷ 是分半前后移,?！?57142 余 6 是分半前后移?！?13÷7=1.857142 ÷ 先看小數(shù)留幾位 決定是舍還是進(jìn),。 

幾位， 先看小數(shù)留幾位,，決定是舍還是進(jìn),。 8 的乘法運算 3658×8=29264 47586×8=380688 9 的乘法運算 兩位數(shù)之間前后比 5477 前小于后照數(shù)進(jìn)； 前小于后照數(shù)進(jìn),；365478×9=3289302 ,； 前大于后腰減 1； 745632 各數(shù)個位皆互補,； 27159867×9=244438803 各數(shù)個位皆互補,； 83951243 算到末尾必減 1。 ,。 除數(shù)是 8 的運算 口訣： 口訣： 8 除有整還有余,， 除有整還有余， 余 1,，小數(shù)點 125,； ， ,； 余 1 是.125 9÷8=1.125 ÷ 余 2 小數(shù)是點 25,， ， 余 2 是.25 10÷8=1.25 ÷ 余 3,，小數(shù)點 375,； ,， ； 余 3 是.375 11÷8=1.375 ÷ 余 4 它是點 5 數(shù),， 余 4 是.5 12÷8=1.5 ÷ 余 5,，小數(shù)點 625； ,， ,； 余 5 是.625 13÷8=1.625 ÷ 余 6 小數(shù)是點 75， ,， 余 6 是.75 14÷8=1.75 ÷ 余 7,，小數(shù)點 878； ,， ,； 余 7 是.875 15÷8=1.875 ÷ 8 的余數(shù)雖然大， 的余數(shù)雖然大,， 132÷8=16.5 ÷ 但是都能除盡它,。 但是都能除盡它。 

除數(shù)是 9 的運算 口訣： 口訣：任何數(shù)除以 9,，余幾循環(huán)幾,。 ，余幾循環(huán)幾,。 去除除不盡,； ——111 循環(huán) 用 9 去除除不盡； 余 1—— —— 82÷9=9.111 ——222 ÷ 余 2—— —— 余幾循環(huán)就是幾,； ——333 余幾循環(huán)就是幾,； 余 3—— —— 83÷9=9.222 ——444 ÷ 余 4—— —— 需看小數(shù)留幾位； ——555 需看小數(shù)留幾位,； 余 5—— —— 58÷9=6.444 ——666 ÷ 余 6—— —— 決定是舍還是進(jìn),。 ——777 決定是舍還是進(jìn)。 余 7—— —— 64÷9=7.111 ——888 ÷ 余 8—— —— 7 特殊數(shù)的除法運算 口訣： 口訣： 任何數(shù)除以 15,，等于它的 2 倍再除 30. ,， 任何數(shù)除以 25，等于它的 4 倍再除 100. ,， 任何數(shù)除以 35,，等于它的 2 倍再除 70 ， 任何數(shù)除以 45,，等于它的 2 倍再除 90. ,， 任何數(shù)除以 125，等于它的 8 倍再除 1000 ， 375÷15=（375×2）÷（15×2）=750÷30=25 ÷ （ × ） × ） ÷ 136÷25=（136×4）÷（25×4）=544÷100=5.44 ÷ （ × ） × ） ÷ 250÷35= 250×2） （35×2） =500÷70=7.142857 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷ 350÷45=（350×2）÷（45×2）=700÷90=7.777 ÷ （ × ） × ） ÷ 105÷125= 105×8） （125×8） =840÷1000=0.84 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷ 擴展思維,，數(shù)學(xué)計算可用多種方法,，這是另一本書的介紹，有的方法相同,，有的方法不同， 擴展思維,，數(shù)學(xué)計算可用多種方法,，這是另一本書的介紹，有的方法相同,，有的方法不同,， 認(rèn)為簡單的就可以用，復(fù)雜的就放棄,。 認(rèn)為簡單的就可以用,，復(fù)雜的就放棄。

數(shù)學(xué)神算兩位數(shù)乘法 一． 被乘數(shù)和乘數(shù)的十位數(shù) 相同 個位數(shù) 之和等于 10 的兩位數(shù)乘法,； 十位數(shù)字相同 個位數(shù)字之和等于 十位數(shù) 相同,，個位數(shù) 方法： （1）乘數(shù)的個位數(shù)字與被乘數(shù)的個位數(shù) 相乘 個位數(shù)字相乘 個位數(shù) 相乘得一數(shù)。 （2）被乘數(shù)十位數(shù) 加 1 的和與乘數(shù)的十位數(shù) 相乘 被乘數(shù)十位數(shù)字加 乘數(shù)的十位數(shù)字相乘 被乘數(shù)十位數(shù) 乘數(shù)的十位數(shù) 相乘又得一數(shù),。 （3）兩數(shù)相連 兩數(shù)相連即為所求之積,。 兩數(shù)相連 如：27×23=621 27×23=（2+1）×2×100+7×3=600+21=621 74×76=（7+1）×7×100+4×6=5600+24=5624 一和二采用以下方法： 一和二采用以下方法：十位： 被乘數(shù)×（乘數(shù)＋1） 個位： 被乘數(shù)×乘數(shù) （兩位數(shù)） 下同） 注：如果個位數(shù)字相乘積不滿 10，十位數(shù)字將用 0 補（下同 ,。 如果個位數(shù)字相乘積不滿 十位數(shù)字將用 下同 如 31×39=（3+1）×3×100+1×9=1200+9=1209 ① 兩位數(shù)的平方,，個位數(shù)是 5 的也可用此法 ② 35×35=1225 75×75=5625 95×95=9025 ③ 此法也可以推廣到多位數(shù)。 如：498×492=[49×{49+1}]×100+2×8=245016 二． 被乘數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字相同 乘數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和等于 10 被乘數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字相同,， 的兩位數(shù)乘法,。

方法：①乘數(shù)的個位數(shù)字與被乘數(shù)的個位數(shù)相乘 個位數(shù)相乘得一積； 個位數(shù)相乘 ②乘數(shù)的十位數(shù)字加 1 的和與被乘數(shù)的十位數(shù)相乘又得一積,。 乘數(shù)的十位數(shù)字加 的和與被乘數(shù)的十位數(shù)相乘 8 如：44×28=1232 66×73=4818 33×82=2706 三． 被乘數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)字相同 十位數(shù) 個位數(shù)字相同,，十位數(shù) 個位數(shù)字相同 十位數(shù)字之和等于 10 的兩位數(shù)乘法： 和等于 

方法： （1）乘數(shù)的個位數(shù)與被乘數(shù)的個位數(shù)字相乘得一數(shù) 個位數(shù)字相乘得一數(shù)。 個位數(shù)字相乘得一數(shù) （2）乘數(shù)的十位數(shù)字與被乘數(shù)的十位數(shù)字相乘之積加上一個個位 十位數(shù)字相乘之積加上一個個位數(shù)字得一數(shù),。 十位數(shù)字相乘之積加上一個個位十位數(shù)相 乘的積＋ 兩位數(shù)的平方,， 的也可用此方法。 注：①兩位數(shù)的平方,，十位數(shù)字是 5 的也可用此方法,。 一個個位 2 數(shù) 58 =3364 58×58=（5×5+8）×100+8×8=3364 如：76×36=2736 47×67=3149 57×57=3249 個 位 數(shù)相 乘 得 兩 位數(shù) 的 積 ②兩位數(shù)的平方，十位數(shù)是 4 的,，其方法為 25 減去其個位數(shù)的補數(shù),，后面連上補 兩位數(shù)的平方 十位數(shù)是 減去其個位數(shù)的補數(shù) 補 數(shù)自乘的積。如：472=（25-3）×100+32=2200+9=2209 數(shù)自乘的積 四． 被乘數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)字相同 十位數(shù) 個位數(shù)字相同,，十位數(shù) 個位數(shù)字相同 十位數(shù)字之和不等于 10 的兩位數(shù)乘法,。 和不等于 

方法： （1）乘數(shù)的個位數(shù)字與被乘數(shù)的個位數(shù)相乘得一積 個位數(shù)相乘得一積,； 個位數(shù)相乘得一積 （2）兩十位數(shù)字之和與一個位數(shù)字相乘得一積； 兩十位數(shù)字之和與一個位數(shù)字相乘得一積 兩十位數(shù)字之和與一個位數(shù)字相乘得一積十位數(shù) （3）乘數(shù)的十位數(shù)與被乘數(shù)的十位數(shù)相乘得一積 十位數(shù)相乘得一積： 相乘 十位數(shù)相乘得一積 兩個不同數(shù)字 之和與一個相 同的數(shù)字相乘 個位數(shù)相 乘得一積,， 一位數(shù)要 進(jìn)位 如：23×43=989 26×36=936 五． 被乘數(shù)和乘數(shù)的十位數(shù)字相同 個位數(shù)字之和不等于 10 的兩位數(shù)乘法： 被乘數(shù)和乘數(shù)的十位數(shù)字相同,，個位數(shù) 個位數(shù) 和不等于 

方法： （1）乘數(shù)的個位數(shù)與被乘數(shù)的個位數(shù)相乘得一積 個位數(shù)相乘得一積。 個位數(shù)相乘得一積 （2）乘數(shù)的個位數(shù)字加上被乘數(shù)的個位數(shù)字之和與 乘數(shù)的十位數(shù) 相乘得 乘數(shù)的個位數(shù)字加上被乘數(shù)的個位數(shù)字之和與被乘數(shù)的十位數(shù) 乘數(shù)的個位數(shù)字加上被乘數(shù)的個位數(shù)字之和與 乘數(shù)的十位數(shù)字相乘得 一積,； 一積 （3）乘數(shù)的十位數(shù)與被乘數(shù)的十位數(shù)相乘 十位數(shù)相乘又得一積,。 十位數(shù)相乘 任意兩位數(shù)的平方， 注：① 任意兩位數(shù)的平方,，也可用此方法 如： 12×12=144 31×31=961 26×26=676 六． ②兩位數(shù)的平方十位是 9 的,，其方法為：原數(shù)減去其補數(shù)，后面連上補數(shù)自 原數(shù)減去其補數(shù),， 原數(shù)減去其補數(shù) 乘的積,。

乘的積 如： 922=8464 972=9409 七． 被乘數(shù)和乘數(shù)的十位數(shù)字相差為 1，個位數(shù)字之和等于 10 的兩位數(shù)乘法： 十位數(shù)字相差為 個位數(shù)字之和等于 方法：校用兩平方差公式： 用兩平方差公式： （A— ） 用兩平方差公式 （A+B） —B）=A2—B2 （ ） （ — 如： 52×48=2496,，分解為 (50+2)(50—2)=502—22=2496 注：①個位數(shù)字之差為 2,，4，6,，8,，10 的兩個數(shù)相乘也可用此法： ① ， ,， ,， ， 的兩個數(shù)相乘也可用此法： 24×28=（26-2）×（26+2）=262-22=676-4=672 ②此方法還可以推廣到多位數(shù)乘法 此方法還可以推廣到多位數(shù)乘法： 此方法還可以推廣到多位數(shù)乘法 9 592×608=（600-8） （600+8）=6002—82=359936 

八． 任意兩位數(shù)乘法：

任意兩位數(shù)乘法： 方法： 

（1） 被乘數(shù)的十位數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)相乘之積加上被乘數(shù)的個位數(shù)字與乘數(shù) 的十位數(shù)相乘之積的和得一數(shù)（即交叉相乘積相加×10） 交叉相乘積相加× ,。 

交叉相乘積相加 

（2）兩個位數(shù)字相乘得一數(shù),，兩十位數(shù)字相乘得一數(shù)×100。 兩十位數(shù)字相乘得一數(shù)× 兩十位數(shù)字相乘得一數(shù) 

（3）三位數(shù)相加就是所求之積 三位數(shù)相加就是所求之積,。 三位數(shù)相加就是所求之積 如：24×35=22+620=840 兩十位數(shù)相乘＋ 進(jìn)位 （百位） 兩數(shù)字十位和個 位交叉相乘＋進(jìn) 位 （十位） 個位數(shù)相乘得 一個數(shù)字并進(jìn) 位 （個位） 24×35=（2×5+3×4）×10+2×3×100+4×5=220+600+20=840 以上各種方法,，可應(yīng)用小數(shù)乘法，計算結(jié)果按“計數(shù)定位法”定出小數(shù)點的位 置（多位數(shù)乘法也如此） ,。

多位數(shù)乘法 

一． 1. 運算中涉及的問題： 運算中涉及的問題： 什么叫補數(shù),？ 什么叫補數(shù)？ 湊數(shù)整十,、整百,、整千、整萬……的數(shù),，叫補數(shù),。即：兩數(shù)之和等于 10、100、 1000,、10000……,，它們互為補數(shù)。 2. 3. 找補數(shù)的方法：前位湊九,，末（個）位湊十,。 補數(shù)的特點：某數(shù)是幾位，補數(shù)一定是幾位,。例如： 98 的補數(shù)的 02,、9985 的補數(shù)是 0015 等。 4.

二． 1. 補數(shù)乘法的定位：乘數(shù)是幾位,，被乘數(shù)的個位向右移幾位就是積的個位。 運算方法： 運算方法： 112=121,、 1112=12321,、 111112=1234321……類推。 如果不是 11 相連,，可把它們變成 11 相連,、分二步計算 如：2222×5555=1111×2×1111×5=1234321×10=12343210 2. 任何數(shù)乘以 11，首尾（末）兩位數(shù)字不變,，中間的數(shù)字就是相鄰的兩數(shù)之和： 如：63×111=6993 

三． 相連（不管多少位） ,，都在被乘數(shù)的首位減去乘數(shù)的補數(shù)、 如果被乘數(shù)是 99 相連（不管多少位） 然后再在所得差的后面把補數(shù)昉上,。如： （1） 99999×99999=9999800001（99999 的補數(shù)是 00001） 10 （2） 999×65=96435（65 的補數(shù)是 35,，999—35=964） （3） 999999×726485=726484273515（726485 的補數(shù)是 273515） （999999—273515=726484） 

四． 中間數(shù)字是大數(shù)相連時， 如果被乘數(shù)遇到前 4 后 5 中間數(shù)字是大數(shù)相連時,， 其方法為：前 4 本位減補數(shù)一半,，后 5 本位加補數(shù)一半，中間是 9 不動,，中間數(shù) 字不足 9 的在下位按 0 補加補數(shù)次數(shù),，最后再擴大 10 倍。如：4995×758=3786210 （785 的補數(shù)是 242,、一半 121） 五． 兩個乘數(shù)都接近數(shù)百,、數(shù)千……的乘法： 兩個乘數(shù)都接近數(shù)百、數(shù)千……的乘法： ……的乘法 1,、 兩乘數(shù)都比數(shù)百數(shù)千數(shù)萬……小的計算方法： 兩乘數(shù)都比數(shù)百數(shù)千數(shù)萬……小的計算方法 ……小的計算方法 ① 一乘數(shù)減去另一乘數(shù)的補數(shù) 一乘數(shù)減去另一乘數(shù)的補數(shù)（接近 100 數(shù)字的乘以 1,，接近 200 數(shù)字的乘以 2……） 。 ② 在所得的數(shù)后面補一些 0（接近數(shù)百的補兩個 0,，數(shù)千的補三個 0……） 在所得的數(shù)后面補一些 ……） ,。 ③ 再加上兩個數(shù)的補數(shù)相乘之積 再加上兩個數(shù)的補數(shù)相乘之積。 例：1、987×986=973182（987 的補數(shù)是 013,、986 的補數(shù)是 014） 987—014=973000+182=973182 987×986=（987—014）×1000+013×014=973000+182=973182 例 2,、 1968×1972=3880896 1968×1972=（1968-28）×2×1000+32×28÷=3880000+896=3880896(1968 的 補數(shù)是 32、1972 的補數(shù)是 28) 2. 兩個數(shù)都比數(shù)百,、數(shù)千……大的 兩個數(shù)都比數(shù)百,、數(shù)千……大的。 ……大的

其方法： 

（1） 將一乘數(shù)的零頭與另一乘數(shù)相加 接近 100 數(shù)的乘 1,，接近 200 的乘 將一乘數(shù)的零頭與另一乘數(shù)相加（接近 ,， 2…… ……） …… 

（2） 在所得數(shù)的后面補一些 0 同（上） （3） 再加上兩個數(shù)的零頭之積 再加上兩個數(shù)的零頭之積。 例：1,、112×105=11760 例 2,、204×215=43860 112×105=（105+12）×1×100+12×5=11700+60=11760 204×215=（204+15）×2×100+4×15=43800+60=43860 3、一個乘數(shù)比數(shù)百,、數(shù)千,、整萬……大而另一個乘數(shù)比數(shù)百、數(shù)千,、數(shù)萬…… 個乘數(shù)比數(shù)百,、數(shù)千、整萬……大而另一個乘數(shù)比數(shù)百,、數(shù)千,、數(shù)萬…… 個乘數(shù)比數(shù)百 ……大而另一個乘數(shù)比數(shù)百 小。 11 其方法： （1） 先將較大數(shù)的零頭與較小數(shù)相加,， 先將較大數(shù)的零頭與較小數(shù)相加,， （接近 100 的數(shù)乘以 1，接近 200 的數(shù) 乘以 2……） （2） 在所得數(shù)的后面補一些 0（接近數(shù)百的數(shù)補兩個零,、接近數(shù)千的補三個 ） （接近數(shù)百的數(shù)補兩個零,、 零……） ……） 

（3） 最后再減去較大數(shù)的零頭與較小數(shù)的補數(shù)之積。 ） 最后再減去較大數(shù)的零頭與較小數(shù)的補數(shù)之積,。 例：①256236（489 的補是 11） 524×489=（489×24）×5×100-24×11=256500-264=256236 ②1015×998=1012970 1015×998=（998+15）×100—15×2=1013000-30=1012970 （按大中小組進(jìn)行計算 六,、任意多位數(shù)乘法： 按大中小組進(jìn)行計算） 任意多位數(shù)乘法： 按大中小組進(jìn)行計算） （ 1、2,、3 為小數(shù)組,，4、5,、5 為中數(shù)組,，7、8,、9 為大數(shù)組（一般把數(shù)位少的做 作被乘數(shù)） ,。 

其方法為： 

（1） 凡被乘數(shù)遇到 1,、2、3 時,，其方法為： 是 1：下位減補數(shù)一次（或 1 倍） 被乘數(shù) 是 2：下位減補數(shù)二次（或 2 倍） 是 3：下位減補數(shù)三次（或 3 倍） 231 - 021 079 ①在被乘數(shù)個位數(shù)字 1 的下位減去補數(shù)一次（21） ,，得 23—079（破 23079 - 063 折號前為被乘數(shù)，破折號后為乘積,，下同） ,； 22449 2449 -042 ②在被乘數(shù)十位 3 的下位減去補數(shù)三次（21×2=63）得 2-2449； 18249 ③在被乘數(shù)百位 2 的下位減去補數(shù)二次（21×4=42）得 18249（乘 算序： 積） ,。 例如：231×79（79 的補數(shù)是 21）

其方法為：

（2）凡是被乘數(shù)的各位數(shù)字遇到 4,、5、6 時,，其方法為： 是 4：本位減補數(shù)一半,，下位加補數(shù)一次 被乘數(shù) 是 5：本位減補數(shù)一半 是 6：本位減補數(shù)一半，下位減補數(shù)一次 12 456 - 121 算序： 242 4548 ① 在被乘數(shù)個位 6 的本位減補數(shù)一半 121.下位減 242 得 45—4548,； 454548 - 121 ② 在被乘數(shù)十位數(shù) 5 的本位減 121,，得 4—42448； 442448 42448 -121 ③ 在被乘數(shù)百位 4 的本位減 121,，下位加 242 得 345648（積） 。 + 242 345648 例如：456×758=345648（758 的補數(shù)是 242） 其方法為; 

（3）凡是被乘數(shù)的各位數(shù)遇到 7,、8,、9 時，其方法為; 是 9：本位減補數(shù)一次,，下位加補數(shù)一次,。 被乘數(shù) 是 8：本位減補數(shù)一次，下位加補數(shù)二次,。 是 7：本位減補數(shù)一次,，下位加補數(shù)三次。 

例如：987×879=867573 算序： ① ② ③ 987 - 121 + 363 986153 6153 被乘數(shù)個位 7 的本位減 121,，下位加 363 得 98-6153,； - 121 被乘數(shù)十位 8 的本位減 121，下位加 242 得 9-76473,； + 242 被乘數(shù)百位 9 的本位減 121,，下位加 121 得 867573（積） 976473 。 76473 -121 + 121 867573 （879 的補數(shù)是 121） 等大數(shù)聯(lián)運算時,，其方法為：

（4）凡是被乘數(shù)遇到 989697 等大數(shù)聯(lián)運算時,，其方法為： 被乘數(shù)后位按 10 補加補數(shù)，前位遇到 9 不動,，前位遇到 6,、7,、8 時，按 9 補加 補數(shù)次數(shù)（均由下位補加補數(shù)次數(shù)） ,，最后被乘數(shù)首位減補數(shù)一次,。 

例如：9798×8679=85036842 (8679 的補數(shù) 1321) 算序： ① 被乘數(shù)個位 8 的下位加 2642，得 979-82642,； ② 被乘數(shù)十位 9 不動,； ③ 被乘數(shù)百位 7 的下位加 2642，得 9-8246842,； ④ 被乘數(shù)的首位減 1321,，得 85036842（乘積） 。 9798 + 02642 97982642 82642 + 02642 98246842 8246842 -1321 85036842 注：如果被乘數(shù)首位不是大數(shù)時,，首位是 1,，下位減補數(shù)二次；首位數(shù)是 2,，下 13 位減補數(shù)三次,；首位是 3，本位減補數(shù)一半,；下位加補數(shù)一次,，首位是 4，本位減補 數(shù)一半,；首位是 5,，本位減補數(shù)一半，下位減補數(shù)一次,。 

說明：下位減補數(shù)五次（或 5 倍） ,，等于本位減補數(shù)一半。下位減補數(shù)十次（或 10 倍）等于本位減補數(shù)一次,。 破華口訣 加一,。減一。逢五加五,。 加一,。減一。逢五加五,。 1,、2、3 依次減,，4,、5、6 減一半,，7,、8,、9 當(dāng) 10 看，除法加,，乘法減,，遇到 0 、 ,、 依次減,， 、 ,、 減一半,， 、 ,、 除法加,，乘法減， 全不算,。 全不算,。 多位數(shù)除法 一、 速算法 除法的目的是求商,，但從被除數(shù)中突然看不出含有多少商時,，可用試商，估商 的辦法,，看被乘數(shù)最高幾位數(shù)含有幾個除數(shù)（即含商幾倍） ,，就由本位加補數(shù)幾次， 其得數(shù)就是商,。 計算定位： 二、 計算定位： 除數(shù)是一位,，個位為本位,，除數(shù)是二位，十位為本位,，除數(shù)是三位,，百位為本 位，……類推,。 小數(shù)組： 三,、 小數(shù)組： 1 倍：由本位加補數(shù)一次。 被除數(shù)含商 2 倍：由本位加補數(shù)二次,。 3 倍：由本位加補數(shù)三次,。 7995 +35

①被除數(shù)前兩位 79 中含除數(shù) 65 一倍，加補數(shù)一次（35） ,，得 11495 + 70 1-1495（破折號前為商,，破折號后為被除數(shù),，下同） ； 12195 12 ②被乘數(shù) 149 中含除數(shù)二倍,， 加補數(shù)二次 （35×2=70） 12-195,； + 105 得 12300 123 ③被除數(shù) 195 含除數(shù)三倍， 加補數(shù)三次 （35×3=105） 123 商） 得 （ ,。 算序： 例如：7995÷65=123,， （65 的補數(shù)是 35） 14 四、 中數(shù)組：凡是將除數(shù)含有除數(shù) 4,、5,、6 倍時、其方法為： 中數(shù)組： ,、 ,、 倍時 4 倍：前位加補數(shù)一半，本位減補數(shù)一次,。 被除數(shù)含商 5 倍：前位加補數(shù)一半,，本位不動。 6 倍：前位加補數(shù)一半,，本位加補數(shù)一次,。 35568 +11 

算序：  ① 355 中含有除數(shù) 4 倍， 所以前位加 11,， 本位減 22,， 4-4368； 44368 得 + 11 ② 436 中含除數(shù) 5 倍,，前位加 11,，本位不動，得 45-468,； 45468 45 + 11 ③ 468 中含除數(shù) 6 倍,，前位加 11，本位加 22,，得 456（商） ,。 + 22 45600 456 例如：35568÷78=456（78 的補數(shù)是 22） 大數(shù)組： 五、 大數(shù)組： 9 倍：前位加補數(shù)一次,，本位減補數(shù)一次,。 被除數(shù)含商 8 倍：前位加補數(shù)一次，本位減補數(shù)二次,。 7 倍：前位加補數(shù)一次,，本位減補數(shù)三次。 例如：884352÷896=987（896 的補數(shù)是 104）

算序： ①8843 中含除數(shù) 9 倍,，前位加 104,，本位減 104,，得 9-77952； ②7795 中含除數(shù) 8 倍前位加 104,，本位減 208,，得 98-6272； ③6272 含除數(shù) 7 倍,， 前位加補數(shù)一次 104,， 本位減補數(shù)三次 （104 ×3=312（得 986（商）。 ） + + + 884352 104 104 977952 104 208 986272 98 104 312 986000 986

《幾何證題口訣》 幾何證題口訣》 幾何證題并不難,，首先過好審題關(guān),； 字斟句酌細(xì)鉆研，命題反復(fù)看幾遍,； 看圖正確利思考,，已知求證要寫全； 知識除向更重要,，證明方法要優(yōu)選,； 15 扣緊題意析疑難，根據(jù)結(jié)論尋條件,； 字跡工整層次清,，論證步驟寫周全。 一些數(shù)的和 一,、 二,、 三、 自然數(shù)和：1+2+3……+n=1/2n（n+1） 奇數(shù)和：1+3+5+……+（2n-1）=n2 偶數(shù)和：2+4+6+……+2n=n（n+1） 

《實用知識》 實用知識》 

一,、 速算地畝（以米為單位） 寬的一半再加寬,，得下和數(shù)乘長邊。 向前移動三位點,，地畝面積容易算,。 注：如果是三角形、梯形及其它圖形,，可以這樣計算。 面積一半加面積,，向前移動三位點,。

二、 量豬重 胸圍（厘米）2×體長（厘米）÷7600=豬重（市斤） 三,、 量?；蜓虻捏w重： 胸圍（厘米）2×體長（厘米）÷5400=體重（市斤） 四,、1-14 歲正常人的身長和體重： 身長（厘米）=（年齡×5）+80 體重（市斤）=（年齡×4）×+16 數(shù)學(xué)游戲 一、 猜年齡及出生月份： （出生月份×2+5）×50+年齡-365 二,、 猜男女?dāng)?shù)： （總?cè)藬?shù)×2+5）×50＋女?dāng)?shù)－365 

三、 猜住房數(shù)： （大小總房數(shù)×2＋7）×5＋大房數(shù)－20 四,、 猜及排行數(shù)： （姊妹總數(shù)×2＋3）×5+排行數(shù) 習(xí)題 16 一、 兩位數(shù)乘法： 63×67= 42×43= 42×48= 24×84= 88×64= 32×27= 66×37= 54×38= 21×23= 二、 多位數(shù)乘法： 113×108= 9999×4268= 998×985= 1012×997= 趣味算術(shù) 一根竹竿二丈一,，三分之一插進(jìn)泥； 七分之一露出水,， 問你井水有幾尺深,。 答： （11） 一個老頭來賣梨，連筐共重一百一,， 賣去梨的整一半,，連筐還有五十七， 這個梨筐幾斤重,？請你給回回皮,。 答： 斤） （4 三個閨女來看娘，三五七天各一趟,， 今日一同娘家走,，何日一齊來看娘。 答：(105) 出了十道考試題,，每對一題得五分,， 錯答不但不給分，總分里面扣三分,， 小華不知對幾道,，得了二分哭回門。 三只貓吃三只老鼠用了三分鐘時間,，按 同樣的速度,，一百只貓吃一百只老鼠需 要 用 多 少 分 鐘 時 間 ？ 答： （用了三分鐘） 一條繩子不知央,，三折來與四折量,， 三比四折長二尺，這條繩子有多長,。 答： （24） 答： （對 4 道） 速效秒開方 口訣 加一,。減一。逢五加五,。逢偶配系,。逢質(zhì)配奇。 加一,。減一,。逢五加五。逢偶配系。逢質(zhì)配奇,。 秒開方：在一秒鐘之內(nèi)能把一個數(shù)字的根開出來的方,。 平方：一個數(shù)的本身自乘的積。 平方：一個數(shù)的本身自乘的積,。 17 速效秒開方：迅速有效的在一秒鐘內(nèi),，能夠把一個數(shù)值的根開出來的方。

一,、 加一計算的開根的辦法 加一定理： 加一定理 ： 凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時,，給它的第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的和， 凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時,，給它的第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的和,，就是 個數(shù)大于正整數(shù)時 這個數(shù)的開放根。 這個數(shù)的開放根,。 例如：√121 √441 √961 √1681 √2601 √3721 √5041 =11 =21 =31 =41 =51 =61 =71 10×10=100<121 20×20=400<441 30×30=<900<961 40×40=1600<1681 50×50=2500<2601 60×60=3600<3721 70×70=4900<5041 80×80=6400<6561 90×90=8100<8281 10+1=11 20+1=21 30+1=31 40+1=41 50+1=51 60+1=61 70+1=71 80+1=81 90+1=9 √6561 =81 √8281 =91 減一定理：

二,、 減一定理 ： 凡是這個數(shù)小于正整數(shù)時，給它的第一位數(shù)減去最后一位數(shù)的個位數(shù)的差,， 凡是這個數(shù)小于正整數(shù)時,，給它的第一位數(shù)減去最后一位數(shù)的個位數(shù)的差，就 是這個數(shù)的開放根,。 是這個數(shù)的開放根,。 例如：√361 √841 √1521 √2401 √3481 √4761 √6241 √7921 √9801 =19 =29 =39 =49 =59 =69 =79 =89 =99 20×20=400>361 30×30=900>841 40×40=1600>1521 50×50=2500>2401 60×60=3600>3481 70×70=4900>4761 80×80=6400>6241 90×90=8100>7921 100×100=8100<9801 20-1=19 30-1=29 40-1=39 50-1=49 60-1=59 70-1=69 80-1=79 90-1=89 100-1=99 逢五加五： 

三、 逢五加五 ： 18 定理： 定理： 凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時,， 凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時,， 給它第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的五， 給它第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的五,， 就是這個數(shù)的開放根,。 就是這個數(shù)的開放根。 例如： √225 √625 √1225 √2025 √3025 √4225 √5625 √7225 √9025 =15 =25 =35 =45 =55 =65 =75 =85 =95 10×10=100<225 20×20=400<625 30×30=900<1225 40×40=1600<2025 50×50=2500<3025 60×60=3600<4225 70×70=4900<5625 80×80=6400<7225 90×90=8100<9025 10+5=15 20+5=25 30+5=35 40+5=45 50+5=55 60+5=65 70+5=75 80+5=85 90+5=95 

四,、逢偶配系： 逢偶配系： 定理：凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時,，給它的第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的 開方根，就是這個數(shù)的開方根,。 例如：√144 √484 √1024 √1764 √2704 √3844 √5184 √6724 √8464 =12 =22 =32 =42 =52 =62 =72 =82 =92 10×10=100<144 20×20=400<484 30×30=900<1024 40×40=1600<1764 50×50=2500<2704 60×60=3600<3844 70×70=4900<5184 80×80=6400<6724 90×90=8100<8464 10+2=12 20+2=22 30+2=32 40+2=42 50+2=52 60+2=62 70+2=72 80+2=82 90+2=92 √196 √876 √1656 √1936 =14 =24 =34 =44 10×10=100<196 20×20=400<876 30×30=900<1656 40×40=1600<1936 10+4=14 20+4=24 30+4=34 40+4=44 19 √2916 √4096 √5476 √7056 √8836 =54 =64 =74 =84 =94 50×50=2500<2916 60×60=3600<4096 70×70=4900<5476 80×80=6400<7056 90×90=8100<8836 50+4=54 60+4=64 70+4=74 80+4=84 90+4=94 √256 √676 √1296 √2116 √3136 √4356 √5776 √7396 √9216 =16 =26 =36 =46 =56 =66 =76 =86 =96 10×10=100< 256 20×20=400< 676 30×30=900<1296 40×40=1600<2116 50×50=2500<3136 60×60=3600<4356 70×70=4900<5776 80×80=6400<7396 90×90=8100<9216 10+6=16 20+6=26 30+6=36 40+6=46 50+6=56 60+6=66 70+6=76 80+6=86 90+6=96 √324 √784 √1444 √2304 √3364 √4624 √7744 √6724 √9604 =18 =28 =38 =48 =58 =68 =78 =88 =98 10×10=100<324 20×20=400<784 30×30=900<1444 40×40=1600<2304 50×50=2500<3364 60×60=3600<4624 70×70=4900<7744 80×80=6400<6724 90×90=8100<8464 10+8=18 20+8=28 30+8=38 40+8=48 50+8=58 60+8=68 70+8=78 80+8=88 90+8=98 五,、逢質(zhì)配奇： 逢質(zhì)配奇 定理：凡是這個數(shù)大于正整數(shù)時，給它的第一位數(shù)加上最后一位數(shù)的個位數(shù)的 和（這個數(shù)是用 2 除不盡的）就是這個數(shù)的開方根,。 例如： 20 √289 √729 √1369 √2209 √3249 √4489 √5929 √7569 √9409 =17 =27 =37 =47 =57 =67 =77 =87 =97 10×10=100<289 20×20=400<729 30×30=900<1369 40×40=1600<2209 50×50=2500<3249 60×60=3600<4489 70×70=4900<5929 80×80=6400<7569 90×90=8100<9409 10+7=17 20+7=27 30+7=37 40+7=47 50+7=57 60+7=67 70+7=77 80+7=87 90+7=97 √169 √529 √1089 √2209 √2809 √3069 √5329 √6889 √8649 =13 =23 =33 =43 =53 =63 =73 =83 =93 10×10=100<169 20×20=400<529 30×30=900<1089 40×40=1600<2209 50×50=2500<2809 60×60=3600<3069 70×70=4900<5329 80×80=6400<6889 90×90=8100<8649 10+3=13 20+3=23 30+3=33 40+3=43 50+3=53 60+3=63 70+3=73 80+3=83 90+3=93 以尾數(shù)定根 特殊定理 不是 3×3=9 是 7×7=49,，二者必居其一 × × ， 數(shù)字 開方根個位數(shù) 1,、9 1 2、8 4 3,、9 7 4,、6 6 5 5 （任何數(shù)字相開都是壓住最后兩位數(shù),，假設(shè)個數(shù)和十位都是 0 來開這個數(shù)值。 只能小于這個數(shù)的整數(shù)根,。 ） 

【速算技巧一：估算法】 

“估算法”毫無疑問是資料分析題當(dāng)中的速算第一法,， 在所有計算進(jìn)行之前必須考慮能否 先行估算。所謂估算,，是在精度要求并不太高的情況下,，進(jìn)行粗略估值的速算方式，一般在選項 相差較大,，或者在被比較數(shù)據(jù)相差較大的情況下使用,。估算的方式多樣，需要各位考生在實戰(zhàn)中 多加訓(xùn)練與掌握,。 進(jìn)行估算的前提是選項或者待比較的數(shù)字相差必須比較大,， 并且這個差別的大小決定 了“估算”時候的精度要求。

【速算技巧二：直除法】 

李委明提示： “直除法” 是指在比較或者計算較復(fù)雜分?jǐn)?shù)時,， “直接相除” 通過 的方式得到商的首位 （首 一位或首兩位） ,，從而得出正確答案的速算方式。 “直除法”在資料分析的速算當(dāng)中有非常廣泛的 用途,，并且由于其“方式簡單”而具有“極易操作”性,。 “直除法”從題型上一般包括兩種形式： 一、比較多個分?jǐn)?shù)時,，在量級相當(dāng)?shù)那闆r下,，首位最大/小的數(shù)為最大/小數(shù)； 二,、計算一個分?jǐn)?shù)時,，在選項首位不同的情況下，通過計算首位便可選出正確答案,。 “直除法”從難度深淺上來講一般分為三種梯度： 一,、簡單直接能看出商的首位； 二,、通過動手計算能看出商的首位,； 三、某些比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù),，需要計算分?jǐn)?shù)的“倒數(shù)”的首位來判定答案,。

【例 1】 中最大的數(shù)是（ ） 。 

【解析】直接相除： ＝30＋,， ＝30-,， ＝30-， ＝30-， 明顯 為四個數(shù)當(dāng)中最大的數(shù),。

【例 2】32409/4103,、32895/4701、23955/3413,、12894/1831 中最小的數(shù)是（

【解析】 32409/4103,、23955/3413、12894/1831 都比 7 大,，而 32895/4701 比 7 小,， 因此四個數(shù)當(dāng)中最小的數(shù)是 32895/4701。 李委明提示： 即使在使用速算技巧的情況下,，少量卻有必要的動手計算還是不可避免的,。 ） 。 

【例 3】6874.32/760.31,、3052.18/341.02,、4013.98/447.13、2304.83/259.74 中最大的數(shù)是（ ） ,。 在本節(jié)及以后的計算當(dāng)中由于涉及到大量的估算,，因此我們用 a+表示一個比 a 大的數(shù)， 用 a-表示一個比 a 小的數(shù),。

【解析】 只有 6874.32/760.31 比 9 大,，所以四個數(shù)當(dāng)中最大的數(shù)是 6874.32/760.31。 

【例 4】5794.1/27591.43,、3482.2/15130.87,、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46 中最大的數(shù) 是（ ） ,。 

【解析】本題直接用“直除法”很難直接看出結(jié)果,，我們考慮這四個數(shù)的倒數(shù)： 27591.43/5794.1、15130.87/3482.2,、20788.33/4988.7,、26458.46/6881.3， 利用直除法,，它們的首位分別為“4”“4”“4”“3” ,、 、 ,、 ,， 所以四個倒數(shù)當(dāng)中 26458.46/6881.3 最小，因此原來四個數(shù)當(dāng)中 6881.3/26458.46 最大,。 

【例 5】閱讀下面餅狀圖,，請問該季度第一車間比第二車間多生產(chǎn)多少,？（ A.38.5％ B.42.8% C.50.1% 

【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4＋=40%+，所以選 B,。 D.63.4% ） 

【例 6】某地區(qū)去年外貿(mào)出口額各季度統(tǒng)計如下,，請問第二季度出口額占全年的比例為多 少？（ ） 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 全年 出口額（億元） 4573 5698 3495 3842 17608 A.29.5％ B.32.4% C.33.7% D.34.6% 

【解析】5698/17608＝0.3＋=30%+,，其倒數(shù) 17608/5698＝3＋，所以 5698/17608＝(1/3)-,， 所以選 B,。 

【例 7】根據(jù)下圖資料，己村的糧食總產(chǎn)量為戊村糧食總產(chǎn)量的多少倍,？（ A.2.34 B.1.76 C.1.57 

【解析】直接通過直除法計算 516.1÷328.7： 根據(jù)首兩位為 1.5*得到正確答案為 C,。 D.1.32 ） 

【速算技巧三：截位法】

所謂“截位法” ，是指“在精度允許的范圍內(nèi),，將計算過程當(dāng)中的數(shù)字截位（即只看或者 只取前幾位） ,，從而得到精度足夠的計算結(jié)果”的速算方式。在加法或者減法中使用“截位法” 時,，直接從左邊高位開始相加或者相減（同時注意下一位是否需要進(jìn)位與錯位） ,，知道得到選項 要求精度的答案為止。在乘法或者除法中使用“截位法”時,，為了使所得結(jié)果盡可能精確,，需要注意截位近似的方向：

一、擴大（或縮?。┮粋€乘數(shù)因子,，則需縮小（或擴大）另一個乘數(shù)因子,；

二,、擴大（或縮小）被除數(shù),，則需擴大（或縮?。┏龜?shù)。 如果是求“兩個乘積的和或者差（即 a*b+/-c*d） ,，應(yīng)該注意： 

三,、擴大（或縮小）加號的一側(cè),，則需縮?。ɑ驍U大）加號的另一側(cè)； 四,、擴大（或縮?。p號的一側(cè),，則需擴大（或縮小）減號的另一側(cè),。 到底采取哪個近似方向由相近程度和截位后計算難度決定,。 一般說來，在乘法或者除法中使用”截位法“時,，若答案需要有 N 位精度,，則計算過程 的數(shù)據(jù)需要有 N+1 位的精度，但具體情況還得由截位時誤差的大小以及誤差的抵消情況來決定,； 在誤差較小的情況下,，計算過程中的數(shù)據(jù)甚至可以不滿足上述截位方向的要求。所以應(yīng)用這種方 法時,， 需要考生在做題當(dāng)中多加熟悉與訓(xùn)練誤差的把握,， 在可以使用其它方式得到答案并且截位 誤差可能很大時，盡量避免使用乘法與除法的截位法,。

【速算技巧四：化同法】

所謂”化同法” ,，是指“在比較兩個分?jǐn)?shù)大小時，將這兩個分?jǐn)?shù)的分子或分母化為相 同或相近,，從而達(dá)到簡化計算”的速算方式,。一般包括三個層次： 一、將分子（分母）化為完全相同,，從而只需要再看分母（或分子）即可,； 二、將分子（或分母）化為相近之后,，出現(xiàn)“某一個分?jǐn)?shù)的分母較大而分子較小”或“某 一個分?jǐn)?shù)的分母較小而分子較大”的情況,，則可直接判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小。 

【速算技巧五：差分法】

李委明提示： “差分法”是在比較兩個分?jǐn)?shù)大小時,，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式難以 解決時可以采取的一種速算方式,。 適用形式： 兩個分?jǐn)?shù)作比較時， 若其中一個分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個分?jǐn)?shù)的分子與分母分別僅 僅大一點,，這時候使用“直除法”“化同法”經(jīng)常很難比較出大小關(guān)系,，而使用“差分法”卻可 、 以很好地解決這樣的問題,。 基礎(chǔ)定義： 在滿足“適用形式”的兩個分?jǐn)?shù)中,，我們定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)” ， 分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)” ,，而這兩個分?jǐn)?shù)的分子,、分母分別做差得到的新的分?jǐn)?shù) 我們定義為 “差分?jǐn)?shù)” 例如： 。 324/53.1 與 313/51.7 比較大小,， 其中 324/53.1 就是 “大分?jǐn)?shù)” 313/51.7 ,， 就是“小分?jǐn)?shù)” ,，而 324-313/53.1-51.7=11/1.4 就是“差分?jǐn)?shù)” 。 

“差分法”使用基本準(zhǔn)則—— “差分?jǐn)?shù)”代替“大分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”作比較： 1,、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大,，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大；2,、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小,，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小,； 3,、若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等,。 比如上文中就是“11/1.4 代替 324/53.1 與 313/51.7 作比較” ，因為 11/1.4＞313/51.7（可以 通過“直除法”或者“化同法”簡單得到） ,，所以 324/53.1＞313/51.7,。

特別注意：

一、 “差分法”本身是一種“精算法”而非“估算法” ,，得出來的大小關(guān)系是精確的關(guān)系而 非粗略的關(guān)系,；

二、 “差分法”與“化同法”經(jīng)常聯(lián)系在一起使用,， “化同法緊接差分法”與“差分法緊接 化同法”是資料分析速算當(dāng)中經(jīng)常遇到的兩種情形,。 三、 “差分法”得到“差分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”做比較的時候,，還經(jīng)常需要用到“直除法” ,。 四、如果兩個分?jǐn)?shù)相隔非常近,，我們甚至需要反復(fù)運用兩次“差分法” ,，這種情況相對比 較復(fù)雜，但如果運用熟練,，同樣可以大幅度簡化計算,。

【例 1】比較 7/4 和 9/5 的大小 

【解析】運用“差分法”來比較這兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系： 大分?jǐn)?shù) 小分?jǐn)?shù) 9/5 7/4 9－7/5－1=2/1(差分?jǐn)?shù)) 根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=2/1＞7/4=小分?jǐn)?shù) 因此：大分?jǐn)?shù)=9/5＞7/4=小分?jǐn)?shù) 李委明提示： 使用“差分法”的時候，牢記將“差分?jǐn)?shù)”寫在“大分?jǐn)?shù)”的一側(cè),，因為它代替的是“大 分?jǐn)?shù)” ,，然后再跟“小分?jǐn)?shù)”做比較。

【例 2】比較 32.3/101 和 32.6/103 的大小 

【解析】運用“差分法”來比較這兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系： 小分?jǐn)?shù) 大分?jǐn)?shù) 32.3/101 32.6/103 32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分?jǐn)?shù)) 24 根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分?jǐn)?shù)（此處運用了“化同法” ） 因此：大分?jǐn)?shù)=32.6/103＜32.3/101=小分?jǐn)?shù) 〔注釋〕 本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時,，還可采用直除法,，讀者不妨自己試試。 李委明提示（ “差分法”原理） ： 以例 2 為例,，我們來闡述一下“差分法”到底是怎樣一種原理,，先看下圖： 上圖顯示了一個簡單的過程：將Ⅱ號溶液倒入Ⅰ號溶液當(dāng)中,，變成Ⅲ號溶液。其中Ⅰ號溶 液的濃度為“小分?jǐn)?shù)” ,，Ⅲ號溶液的濃度為“大分?jǐn)?shù)” ,，而Ⅱ號溶液的濃度為“差分?jǐn)?shù)” 。顯然,， 要比較Ⅰ號溶液與Ⅲ號溶液的濃度哪個大,，只需要知道這個倒入的過程是“稀釋”還是“變濃” 了，所以只需要比較Ⅱ號溶液與Ⅰ號溶液的濃度哪個大即可,。 

【例 3】比較 29320.04/4126.37 和 29318.59/4125.16 的大小 

【解析】運用“差分法”來比較這兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系： 29320.04/4126.37 29318.59/4125.16 1.45/1.21 根據(jù)：很明顯,，差分?jǐn)?shù)=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù) 因此：大分?jǐn)?shù)=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù) 〔注釋〕 本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時，還可以采用“直除法” （本質(zhì)上與插一個“2” 是等價的） ,。 

【例 4】下表顯示了三個省份的省會城市（分別為 A,、B、C 城）2006 年 GDP 及其增長情 況,，請根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)回答： 1.B,、C 兩城 2005 年 GDP 哪個更高？ 2.A,、C 兩城所在的省份 2006 年 GDP 量哪個更高,？ GDP（億元） GDP 增長率 占全省的比例 A城 873.2 12.50% 23.9% B城 984.3 7.8% 35.9% C城 1093.4 17.9% 31.2% 

【解析】

一、B,、C 兩城 2005 年的 GDP 分別為：984.3/1＋7.8%,、1093.4/1＋17.9%；觀察 特征（分子與分母都相差一點點）我們使用“差分法” ： 984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9% 109.1/10.1% 運用直除法,，很明顯：差分?jǐn)?shù)＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分?jǐn)?shù),，故大分?jǐn)?shù) ＞小分?jǐn)?shù) 所以 B、C 兩城 2005 年 GDP 量 C 城更高,。 

二,、A、C 兩城所在的省份 2006 年 GDP 量分別為：873.2/23.9%,、1093.4/31.2%,；同樣我 們使用“差分法”進(jìn)行比較： 873.2/23.9% 1093.4/31.2% 220.2/7.3%=660.6/21.9% 212.6/2%=2126/20% 上述過程我們運用了兩次“差分法” ，很明顯：2126/20%＞660.6/21.9%,，所以 873.2/23.9% ＞1093.4/31.2%,； 因此 2006 年 A 城所在的省份 GDP 量更高。 

【例 5】比較 32053.3×23487.1 和 32048.2×23489.1 的大小

【解析】32053.3 與 32048.2 很相近,，23487.1 與 23489.1 也很相近,，因此使用估算法或者 截位法進(jìn)行比較的時候，誤差可能會比較大,，因此我們可以考慮先變形,，再使用“差分法” ,，即 要比較 32053.3×23487.1 和 32048.2×23489.1 的大小，我們首先比較 32053.3/23489.1 和 32048.2/23487.1 的大小關(guān)系： 25 32053.3/23489.1 32048.2/23487.1 5.1/2 根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù) 因此：大分?jǐn)?shù)=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù) 變型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1 李委明提示（乘法型“差分法”： ） 要比較 a×b 與 a′×b′的大小,，如果ａ與ａ’相差很小,，并且ｂ與ｂ’相差也很小，這 時候可以將乘法 a×b 與 a′×b′的比較轉(zhuǎn)化為除法 ab′與 a′b 的比較,， 這時候便可以運用 “差 分法”來解決我們類似的乘法型問題,。我們在“化除為乘”的時候，遵循以下原則可以保證不等 號方向的不變： “化除為乘”原則：相乘即交叉,。

【速算技巧六：插值法】 

“插值法” 是指在計算數(shù)值或者比較數(shù)大小的時候,， 運用一個中間值進(jìn)行 “參照比較” 的速算方式，一般情況下包括兩種基本形式： 一,、在比較兩個數(shù)大小時,，直接比較相對困難，但這兩個數(shù)中間明顯插了一個可以進(jìn)行參 照比較并且易于計算的數(shù),，由此中間數(shù)可以迅速得出這兩個數(shù)的大小關(guān)系,。比如說 A 與 B 的比 較，如果可以找到一個數(shù) C,，并且容易得到 A>C，而 BB,。 二,、在計算一個數(shù)值 F 的時候，選項給出兩個較近的數(shù) A 與 B 難以判斷,，但我們可以容 易的找到 A 與 B 之間的一個數(shù) C,， 比如說 AB>0，且 C>D>0,，則有： 1）A+C>B+D 2）A-D>B-C 3）A*C>B*D 4）A/D>B/C 這四個關(guān)系式即上述四個例子所想要闡述的四個數(shù)學(xué)不等關(guān)系,， 是我們在做題當(dāng)中經(jīng)常需 26 要用到的非常簡單、非?；A(chǔ)的不等關(guān)系,，但確實考生容易忽略，或者在考場之上容易漏掉的數(shù) 學(xué)關(guān)系,，其本質(zhì)可以用“放縮法”來解釋,。

【速算技巧九：增長率相關(guān)速算法】 

李委明提示： 計算與增長率相關(guān)的數(shù)據(jù)是做資料分析題當(dāng)中經(jīng)常遇到的題型， 而這類計算有一些常用的 速算技巧,，掌握這些速算技巧對于迅速解答資料分析題有著非常重要的輔助作用,。 兩年混合增長率公式： 如果第二期與第三期增長率分別為 r1 與 r2，那么第三期相對于第一期的增長率為： r1＋r2＋r1× r2 增長率化除為乘近似公式： 如果第二期的值為 A,，增長率為 r,，則第一期的值 A′： A′＝A/1＋r≈A×（1-r） （實際上左式略大于右式,，r 越小，則誤差越小,，誤差量級為 r2） 平均增長率近似公式： 如果 N 年間的增長率分別為 r1,、r2、r3……rn,，則平均增長率： r≈r1＋r2＋r3＋……rn/n （實際上左式略小于右式,，增長率越接近，誤差越?。?求平均增長率時特別注意問題的表述方式,，

例如：

1.“從 2004 年到 2007 年的平均增長率”一般表示不包括 2004 年的增長率；

2.“2004,、2005,、2006、2007 年的平均增長率”一般表示包括 200４年的增長率,。 “分子分母同時擴大/縮小型分?jǐn)?shù)”

變化趨勢判定： 1.A/B 中若 A 與 B 同時擴大,，則①若 A 增長率大，則 A/B 擴大②若 B 增長率大,，則 A/B 縮?。籄/B 中若 A 與 B 同時縮小,，則①若 A 減少得快,，則 A/B 縮小②若 B 減少得快,，則 A/B 擴 大,。 2.A/A＋B 中若 A 與 B 同時擴大，則①若 A 增長率大,，則 A/A＋B 擴大②若 B 增長率大,， 則 A/A＋B 縮小,；A/A＋B 中若 A 與 B 同時縮小,，則①若 A 減少得快，則 A/A＋B 縮?、谌?B 減少得快,，則 A/A＋B 擴大。 

多部分平均增長率： 如果量 A 與量 B 構(gòu)成總量“A＋B” ,，量 A 增長率為 a,，量 B 增長率為 b，量“A＋B”的 增長率為 r，則 A/B=r-b/a-r,，一般用“十字交叉法”來簡單計算： A：a r-b A r = B：b a-r B 注意幾點問題： 1.r 一定是介于 a,、b 之間的， “十字交叉”相減的時候,，一個 r 在前,，另一個 r 在后； 2.算出來的 A/B=r-b/a-r 是未增長之前的比例,， 如果要計算增長之后的比例,， 應(yīng)該在這個比 例上再乘以各自的增長率，即 A′/B′=（r-b）×（1＋a）/（a-r）×（1＋b） ,。 等速率增長結(jié)論： 如果某一個量按照一個固定的速率增長,，那么其增長量將越來越大， 并且這個量的數(shù)值成 27 “等比數(shù)列” ,，中間一項的平方等于兩邊兩項的乘積,。 

【例 1】2005 年某市房價上漲 16.8%，2006 年房價上漲了 6.2%,，則 2006 年的房價比 2004 年上漲了（ ） ,。 A.23% B.24% C.25% D.26% 

【解析】16.8%＋6.2%＋16.8%×6.2%≈16.8%＋6.2%＋16.7%×6%≈24%，選擇 B,。

【例 2】2007 年第一季度,，某市汽車銷量為 10000 臺，第二季度比第一季度增長了 12%,， 第三季度比第二季度增長了 17%,，則第三季度汽車的銷售量為（ ） 。 A.12900 B.13000 C.13100 D.13200 

【解析】12%＋17%＋12%×17%≈12%＋17%＋12%×1/6＝31%,，10000×(1＋31%)＝ 13100,，選擇 C,。 

【例 3】設(shè) 2005 年某市經(jīng)濟(jì)增長率為 6%,，2006 年經(jīng)濟(jì)增長率為 10%。則 2005,、2006 年,， 該市的平均經(jīng)濟(jì)增長率為多少？（ ） A.7.0% B.8.0% C.8.3% D.9.0% 

【解析】r≈r1＋r2/2=6%＋10%/2=8%,，選擇 B,。 

【例 4】假設(shè) A 國經(jīng)濟(jì)增長率維持在 2.45％的水平上，要想 GDP 明年達(dá)到 200 億美元的 水平,，則今年至少需要達(dá)到約多少億美元,？（ ） A.184 B.191 C.195 D.197 

【解析】200/1＋2.45%≈200×（1-2.45%）=200-4.9=195.1，所以選 C。 〔注釋〕 本題速算誤差量級在 r2=(2.45%)2≈6/10000,， 億的 6/10000 大約為 0.12 億元,。 200 

【例 5】如果某國外匯儲備先增長 10％，后減少 10％,，請問最后是增長了還是減少了,？ ） A.增長了 B.減少了 C.不變 D.不確定 【解析】A×（1＋10％）×（1－10％）＝0.99A，所以選 B,。 李委明提示： 例 5 中雖然增加和減少了一個相同的比率,， 但最后結(jié)果卻是減少了， 我們一般把這種現(xiàn)象 總結(jié)叫做“同增同減,，最后降低” ,。即使我們把增減調(diào)換一個順序，最后結(jié)果仍然是下降了,。 

【速算技巧十：綜合速算法】

李委明提示： “綜合速算法” 包含了我們資料分析試題當(dāng)中眾多體系性不如前面九大速算技巧的速算方 式,，但這些速算方式仍然是提高計算速度的有效手段。 

平方數(shù)速算： 牢記常用平方數(shù),，特別是 11~30 以內(nèi)數(shù)的平方,，可以很好地提高計算速度： 121、144,、169,、196、225,、256,、289、324,、361,、400 441、484,、529,、576、625,、676,、729、784,、841,、900 尾數(shù)法速算： 因為資料分析試題當(dāng)中牽涉到的數(shù)據(jù)幾乎都是通過近似后得到的結(jié)果， 所以一般我們計算 的時候多強調(diào)首位估算,， 而尾數(shù)往往是微不足道的,。因此資料分析當(dāng)中的尾數(shù)法只適用于未經(jīng)近 似或者不需要近似的計算之中。歷史數(shù)據(jù)證明，國考試題資料分析基本上不能用到尾數(shù)法,，但在 地方考題的資料分析當(dāng)中,，尾數(shù)法仍然可以有效地簡化計算。

28 錯位相加/減： A×9 型速算技巧：A×9=A×10-A,；

如：743×9=7430-743=6687 A×9.9 型速算技巧：A×9.9=A×10+A÷10,；如：743×9.9=7430-74.3=7355.7 A×11 型速算技巧：A×11=A×10+A；如：743×11=7430+743=8173 A×101 型速算技巧：A×101=A×100+A,； 如：743×101=74300+743=75043 乘/除以 5,、25、125 的速算技巧： A×5 型速算技巧：A×5=10A÷2,；A÷5 型速算技巧：A÷5=0.1A×2 例 8739.45×5=87394.5÷2=43697.25 36.843÷5=3.6843×2=7.3686 A× 25 型速算技巧：A×25=100A÷4,；A÷ 25 型速算技巧：A÷25=0.01A×4 例 7234×25=723400÷4=180850 3714÷25=37.14×4=148.56 A×125 型速算技巧：A×125=1000A÷8；A÷125 型速算技巧：A÷125=0.001A×8 例 8736×125=8736000÷8=1092000 4115÷125=4.115×8=32.92 減半相加： A×1.5 型速算技巧：A×1.5=A+A÷2,； 例 3406×1.5=3406＋3406÷2=3406＋1703＝5109 “首數(shù)相同尾數(shù)互補”型兩數(shù)乘積速算技巧： 積的頭＝頭×（頭+1） ,；積的尾=尾×尾 例： “23×27” ，首數(shù)均為“2” ,，尾數(shù)“3”與“7”的和是“10” ,，互補 所以乘積的首數(shù)為 2×(2＋1)=6，尾數(shù)為 3×7=21,，即 23×27=621 

【例 1】假設(shè)某國外匯匯率以 30.5％的平均速度增長,，預(yù)計 8 年之后的外匯匯率大約為現(xiàn) 在的多少倍？（ ） A.3.4 B.4.5 C.6.8 D.8.4 

【解析】 （1＋30.5％）8＝1.3058≈1.38＝（1.32）4＝1.694≈1.74＝2.892≈2.92＝8.41,，選 擇D 〔注釋〕 本題速算反復(fù)運用了常用平方數(shù),， 并且中間進(jìn)行了多次近似，這些近似各自只忽略了非常 小的量,，并且三次近似方向也不相同,，因此可以有效的抵消誤差，達(dá)到選項所要求的精度,。 

【例 2】根據(jù)材料,，9～10 月的銷售額為（ ）萬元。 A.42.01 B.42.54 C.43.54 D.41.89 

【解析】257.28－43.52－40.27－41.38－43.26－46.31 的尾數(shù)為“4” ,，排除 A,、D,，又從圖 像上明顯得到,，9-10 月份的銷售額低于 7-8 月份，選擇 B,。 

〔注釋〕 這是地方考題經(jīng)常出現(xiàn)的考查類型,，即使存在近似的誤差，本題當(dāng)中的簡單減 法得出的尾數(shù)仍然是非常接近真實值的尾數(shù)的，至少不會離 關(guān)閉相關(guān)文章速算技巧二,、平方速算--藍(lán)色理想 2010-02-07 超棒 [數(shù)學(xué)速算法 速算技巧]2010-02-09 博元 速算方法（乘法）2009-11-19 ry1688888 

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