笛友劉先生寫(xiě)的頻率音分計(jì)算的文章,對(duì)做笛簫很有指導(dǎo)意義.相信大家看了都會(huì)有收獲,在此我代表笛友們向劉先生致敬,并希望大家也能將自己的體會(huì)寄我,只要是有關(guān)笛簫的,內(nèi)容形式不限.............周林生

音 程 與 數(shù) 學(xué) 運(yùn) 算
劉利華 于廈門

多數(shù)的音樂(lè)愛(ài)好者對(duì)于音高與音程可能只有感性的認(rèn)識(shí)，對(duì)于它們的絕對(duì)頻率及頻率之間的數(shù)學(xué)關(guān)系可能知之甚少,，我今天就來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題,，這是純粹的數(shù)學(xué)運(yùn)算，與笛子無(wú)關(guān),。
一,、十二平均律小二度的比例系數(shù)
音的高低其實(shí)就是頻率的高低，比如b1(小字一組的b調(diào))比a1高,，就是b1的頻率比a1的頻率高,。那么這些音的頻率大小之間在數(shù)學(xué)上有否規(guī)律呢？答案是肯定的,。如果按照小二度的關(guān)系來(lái)排列這些音：
……,a1,bb1(=#a1),b1,c2,#c2,d2,#d2,e2,f2,，……
按十二平均律，這些音的頻率是等比的,，（十二平均律之外的其它律制,，雖不等比但也有固定的比值），相信大家對(duì)等比的概念比較清楚：
一串有序的數(shù),，后一個(gè)與前一個(gè)的比如果都相同,，此這個(gè)序列就叫等比序列，這個(gè)比就叫公比,。
舉例：
1,，3，9,，27,，81，243,，……
就是一個(gè)等比數(shù)列,，公比為3。
那么十二平均律中小二度的頻率公比是多少,？
我們知道,，某音的高八度與它自身（舉例：以唱名來(lái)講如高音1與中音1；以音名如a2與a1,c3與c2）的頻率之比為2,，而從a1到a2,恰好經(jīng)過(guò)了十二次的頻率升高,。
假設(shè)a1的頻率為F,，則a2的頻率就是2F，設(shè)小二度頻率公比為k,，則有：
F*k^12=2*F
以上*為乘法,，^為乘方，k^12即k的12次方,，
從而k^12=2
因此k等于2開(kāi)12次方,也就是k為2的十二分之一次方,，k=2^(1/12)。
通過(guò)查表或用計(jì)算器可知此k=1.05946309435929……實(shí)際應(yīng)用中取1.06或者1.05946都可,。
易知,，大二度的頻率比就是以上k的二次方，或者2開(kāi)六次方,，即1.122462048,。
通常我們以a1=440Hz(是否“中央標(biāo)準(zhǔn)音”？)作為參考,，按以上公比我們可得到：
bb1=466.1638
b1=493.8833
c2=523.2511
d2=587.3295
e2=659.2551
……
以上各數(shù)作了舍入,，在一般應(yīng)用中我們可以取整，如認(rèn)為b1=494Hz,e2=659Hz,，但在頻率比較低的時(shí)候,，最好多加幾位小數(shù)。
需要說(shuō)明的是十二均律的“平均”是指指數(shù)的平均,，指數(shù)均分為十二份就是1/12,，而不是數(shù)學(xué)的除法平均，即以上音列的頻率關(guān)系是等比而不是等差,。
（等差數(shù)列舉例：2,，4,，6,，8，10,，12,，14，……）
為何取a1=440Hz,？我認(rèn)為是一種約定,，另外還有取a1=442Hz的，二者相差不大,，一般都可接受,。有人發(fā)表長(zhǎng)篇大論說(shuō)442相對(duì)于440的好處，我覺(jué)得不可信,，可能是作者心理作用吧,。

二,、音分的概念與計(jì)算
用小二度來(lái)討論音程，是一種太粗略的方法,，如果不用數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系,，還有沒(méi)有更精確的公認(rèn)的音程概念呢？有,，那就是音分,。
“音分”這個(gè)概念，相對(duì)“小二度”,，使用的人更少,，對(duì)于它的具體含義知道的人也就少了。
音分,，也是對(duì)頻率比例（音程）的一種描述方式,，它的精度是“小二度”的百倍。
在小二度的兩個(gè)音之間插入99個(gè)音,，使他們的頻率成等比關(guān)系,，那么相鄰兩音的音程關(guān)系就是相差一音分。
小二度是100音分的關(guān)系,，大二度是200音分的關(guān)系,，八度是1200音分的關(guān)系。
假設(shè)這個(gè)比例是K2,，那么按小二度：
K2^100=2^(1/12)=1.05946309435929
按八度：
K2^1200=2
都可算得K2為2開(kāi)1200次方,，即
K2=2^(1/1200)=1.00057778950655486 (作了舍入)
實(shí)際應(yīng)用中小數(shù)位可不取這么多。

這里再次強(qiáng)調(diào),，音程的數(shù)學(xué)表現(xiàn)是比例關(guān)系而非加減關(guān)系,，所以2音分差別不是1音分差別的兩倍，而是用以上比例系數(shù)再乘一次,。

三,、兩音音高差（按音分）的計(jì)算
我們知道了音分的概念，那么可否知道兩音之間的差多少音分,？如a1=440與a1=442,，這二者相差多少音分呢？
用一個(gè)最笨的辦法,，就是用440乘以1.00057779,，看要乘多少次可以達(dá)到442，以下列出各次運(yùn)算得到的值（近似到小數(shù)點(diǎn)后四位）：
440.2542
440.5086
440.7631
441.0178
441.2726
441.5276
441.7827
442.0379
我們看到,，七次運(yùn)算后結(jié)果比442低,，八次則高，而八次運(yùn)算后最接近，那么我們可知442Hz比440Hz約高八音分,，但不到八音分,。
有沒(méi)有更好的方法算出更準(zhǔn)確的音高差別呢？當(dāng)然有,。
上面從440起一次次地乘以1.00057779,，算到442.0379，其實(shí)相當(dāng)于一種指數(shù)運(yùn)算,，現(xiàn)在我們不乘,，而要求出從440經(jīng)幾次這樣的運(yùn)算得到442.0379，這就是指數(shù)的反運(yùn)算——對(duì)數(shù)運(yùn)算,。
舉例說(shuō)明：求2的3次方,，這就是指數(shù)運(yùn)算，結(jié)果是2^3=8,；反過(guò)來(lái),，2的多少次方等于8？就要用到對(duì)數(shù)運(yùn)算log(2,8)=3,。
求音分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法為：
1,、求出兩個(gè)音的頻率之比假定為R；
2,、求以2為底的R的對(duì)數(shù)L（八度音程頻率之比為2）,；
3、此對(duì)數(shù)乘以1200（因1200音分為八度音程）,，得到相差的音分?jǐn)?shù)D,。
現(xiàn)在我們?cè)俅伟创朔▉?lái)求442Hz與440Hz的音程關(guān)系。
第一步：R=442/440=1.00454545454545(后面是“45”的循環(huán))
第二步：求對(duì)數(shù)L=log(2,1.00454545455)=0.006542845866772
第三步：D=0.006542845866772*1200=7.851415
這樣我們知道了442Hz比440Hz約高7.85音分,。

再舉例：已知在常溫下氣溫每升高一度,，空氣中聲音速度增加0.61米/秒，求常溫下空氣溫度每升高一度,，笛子頻率升高幾音分,？
這里我用兩個(gè)不同的空氣中聲音速度來(lái)計(jì)算，說(shuō)明不同氣溫下升高的音分是不同的,。
分析：笛子頻率與管長(zhǎng)成反比,，與空氣中的聲音速度成正比,，在這個(gè)升高一度的過(guò)程中,，笛子管長(zhǎng)可以近似為不變（其實(shí)是增長(zhǎng)，會(huì)抑制其頻率的增高）,，那么剩下的只有速度的變化,，那么前后音高變化的比其實(shí)就是兩次速度的比。
當(dāng)空氣中聲音速度為334.4米/秒時(shí)，升高一度后速度變?yōu)?35.01米/秒,，按以上過(guò)程求解：
R=335.01/334.4=1.0018242
L=log(2,1.0018242)=0.002629313
D=0.002629313*1200=3.1552
空氣中聲音速度為340米/秒時(shí)：
R=340.61/340=1.00179411765
L=log(2,1.00179411765)=0.002586
D=0.002586*1200=3.1033
我們可以看出,，在兩種速度下，增加的音分?jǐn)?shù)有細(xì)微差別,，但這與大家聽(tīng)說(shuō)的“氣溫每升高一攝氏度,，笛子頻率升高約三音分”的論點(diǎn)是一致的。
[思考]：某個(gè)氣溫下,，空氣中聲音速度為334.4米/秒,，氣溫升高10攝氏度，求笛子頻率平均每攝氏度升高了多少音分,？
提示：先求得總的升高多少音分,，再求平均。

四,、如何用“計(jì)算器”程序?qū)崿F(xiàn)以上計(jì)算,？
各位朋友看了我的演算可能會(huì)問(wèn)如何我的運(yùn)算保留那么多的有效位數(shù)，難道不怕后面的數(shù)字是不精確的嗎,？
我可以負(fù)責(zé)任地告訴大家,，那些數(shù)字是精確的，因?yàn)槲沂褂昧擞?jì)算機(jī)中的“計(jì)算器”程序,，如果手邊有常用對(duì)數(shù)表等,，查到的結(jié)果不會(huì)有這么精確。
我來(lái)講講“計(jì)算器”程序的用法：
首先,，從電腦的菜單打開(kāi)計(jì)算器程序：
“開(kāi)始”\“程序”\“附件”\“計(jì)算器”
您看到的“計(jì)算器”可能只是標(biāo)準(zhǔn)型,，只有加、減,、乘,、除等常用運(yùn)算，沒(méi)有指數(shù),、對(duì)數(shù)運(yùn)算,，沒(méi)關(guān)系，在“查看”菜單中選取“科學(xué)型”,，就得到我們要的工作平臺(tái)了,。
請(qǐng)注意我們用的是十進(jìn)制，在運(yùn)算前先檢查是否選擇的是“十進(jìn)制”,。
這個(gè)計(jì)算器的對(duì)數(shù)運(yùn)算有兩種,，一種是以e為底的自然對(duì)數(shù)，就是按鈕中的第二行第四列的“ln”,；另一個(gè)是以10為底的常用對(duì)數(shù),，就是第三行第四列的“log”,，在“ln”下面。
舉例說(shuō)明對(duì)數(shù)的操作,，我們知道100是10的2次方,，我們?nèi)绾卧谟?jì)算機(jī)上求得呢？我們先用鼠標(biāo)點(diǎn)出100,，然后再用鼠標(biāo)點(diǎn)一下“log”按鈕,，2馬上出來(lái)了。
細(xì)心的讀者馬上會(huì)問(wèn)我一個(gè)問(wèn)題：這計(jì)算器上的兩個(gè)對(duì)數(shù)分別以10和e為底,，而我們要求的是以2為底的對(duì)數(shù)呀,？
在數(shù)學(xué)上有以下公式：
log(A,B)=log(C,B)/log(C,A)
即要求以A為底B的對(duì)數(shù)，我們引入第三個(gè)數(shù)C,，分別對(duì)B及A取對(duì)數(shù),，相除即得結(jié)果。我們不要去證明,，但可小做驗(yàn)證,，觀察以下等試是否成立？
log(3,81)=log(9,81)/log(9,3) …………4=2/0.5
log(4,16)=log(2,16)/log(2,4) …………2=4/2
顯然是成立的,。
那么我們就可以把以2為底的對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)到自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)的計(jì)算,，如我們要求以2我底1.059463的對(duì)數(shù)，可以先求得以10為底1.059463的對(duì)數(shù),，再除以以10為底2的對(duì)數(shù)即可,。
舉例：在“計(jì)算器”上演示求442Hz與440Hz音高差的過(guò)程。
1,、按照上面第三部分的方法,，先求出頻率比：
用鼠標(biāo)點(diǎn)出442，點(diǎn)“/”按鈕,，再用鼠標(biāo)點(diǎn)出440,，然后點(diǎn)一下“=”按鈕(注意“=”不要點(diǎn)兩次或更多次，否則為連除440),，比例就出來(lái)了,，顯示為1.0045454545454545454545455
2、現(xiàn)在要求它以2為底的對(duì)數(shù),，我們化為求以10為底的對(duì)數(shù),。
點(diǎn)“log”按鈕（不要點(diǎn)多次），屏幕顯示結(jié)果
0.0019695928629……
點(diǎn)“/”按鈕,，表示除以,；
點(diǎn)“2”，點(diǎn)“log”,；
這里對(duì)數(shù)運(yùn)算優(yōu)先于除法運(yùn)算,，因此沒(méi)有加括號(hào),。
這時(shí)可以點(diǎn)一下“=”把這個(gè)對(duì)數(shù)log(2,1.00454545454545454545)算出來(lái),，也可不點(diǎn),；
3、乘以1200,，得到音分
點(diǎn)“*”,，這時(shí)看到了對(duì)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果
0.00654284586677……，事實(shí)上如果上一步中點(diǎn)了那個(gè)“=”,，那么這個(gè)結(jié)果在上一步結(jié)束時(shí)就看到了,。
點(diǎn)出數(shù)值1200；
點(diǎn)“=”號(hào),，得到7.851415040126……
至此一個(gè)完整求解過(guò)程結(jié)束,，如果上述過(guò)程中“log”按鈕都換成“ln”按鈕，最后的結(jié)果也是一樣的,，科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性之一在于它能自圓其說(shuō),，互相印證。

五,、降低多少音分的計(jì)算
其實(shí),，降低多少音分的運(yùn)算就可按升高多少音分的運(yùn)算來(lái)求得，如要求440Hz是在442Hz的基礎(chǔ)上降低了多少音分,，因?yàn)槿缟侠?42Hz是在440Hz的基礎(chǔ)上約升高了7.85音分,，那么我就可以說(shuō)440Hz是在442Hz的基礎(chǔ)上降低了7.85音分。
如果非得要我不用升的方法來(lái)計(jì)算,，那么我用下面的計(jì)算來(lái)再次說(shuō)明科學(xué)的理論是“互相印證”的道理：
按以上三步曲,，不過(guò)這次的第一步的除法倒過(guò)來(lái)，用440除以442
1,、R=440/442 = 0.995475113……
2,、L=log(2,0.995475113)=-0.00654284586677……
3、D=-0.00654284586677*1200=-7.851415
其實(shí)到第二步您就看出來(lái)了,，它與上一個(gè)例子的數(shù)值絕對(duì)值是相同的,，只是符號(hào)為負(fù)而已，那么到第三步也必然是兩次絕對(duì)值一樣,，只是符號(hào)不一,，結(jié)果約為負(fù)7.85,表示音高“降低”了約7.85音分。

最后,，再次強(qiáng)調(diào)音程的關(guān)系是比例關(guān)系,，而不是加減關(guān)系，如果有人說(shuō)他能區(qū)分10Hz的頻率差,，您應(yīng)當(dāng)知道這人不懂什么（如果他說(shuō)在哪個(gè)頻率上能聽(tīng)到多少赫茲的差別,，那又是另一回事）,，因?yàn)樵?00Hz時(shí)10Hz的差別接近于一個(gè)大二度，1000Hz時(shí)升高10Hz,，約升高了17音分,，而5000Hz升高到5010Hz，則升高了3.459音分,，恭喜了,，厲害，“金耳朵”,！10000Hz時(shí),，升高1.73音分，可能嗎,？

思考：如果六孔笛的各音音高符合“三分損益”的原則,，以第三孔做基準(zhǔn)，其它各音孔的音高與符合“十二平均律”的笛子（哈哈,，不可能有笛子完全符合十二平均律,，符合的笛子就是“音高誤差0音分”的笛子）相對(duì)應(yīng)的音孔的音高各相差多少音分？（要回答此問(wèn)題,，首先要知道什么是“三分損益”,，還是自己去查資料吧。）