1965年一名叫扎德的美國(guó)人向世人公布了題為《模糊集合》的論文,。它像一塊巨石投入寧?kù)o的數(shù)學(xué)水域，頃刻激起軒然大波,。千百年來(lái)數(shù)學(xué)是一門最精確的科學(xué),，這一天經(jīng)地義的觀念牢固地占據(jù)人們的頭腦。難道數(shù)學(xué)還能模糊嗎,？對(duì)此一時(shí)間看法不一,。有反對(duì)，有懷疑,，也有人暗自驚嘆扎德的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí),。

從“禿頭悖論”說(shuō)起

　　其實(shí)事物的模糊性遠(yuǎn)在古代就有人涉足，“禿頭悖論”就是古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)的一種邏輯矛盾,。日常生活中一個(gè)人是否禿頭,，一望便知，但要給禿與不禿下一個(gè)精確的定義,，然后按嚴(yán)格的邏輯推理,，這不僅給判斷造成困難，而且還會(huì)推導(dǎo)出“滿頭烏發(fā)者是禿頭”的笑話來(lái),。

　　另一個(gè)邏輯矛盾是“身高悖論”,。如果以“身高兩米者為高個(gè)子”和“比高個(gè)子矮一毫米者還是高個(gè)子”為前提則可推出“侏儒是高個(gè)子”的矛盾結(jié)果來(lái)。

　　“禿與不禿”,、“高個(gè)子與低個(gè)子”這些概念本身帶有模糊性,，若用傳統(tǒng)的非此即彼的二值邏輯判斷，必然會(huì)引出矛盾的結(jié)果,。在古時(shí)候這種悖論只是引起學(xué)者們喋喋不休的爭(zhēng)論,。到了科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，事物模糊性問(wèn)題的研究與解決已是迫在眉睫了,。

　　1946年人類發(fā)明了電子計(jì)算機(jī),，它給計(jì)算帶來(lái)了高速度和高精確度，當(dāng)然它還有許多優(yōu)點(diǎn)都是人腦所望塵莫及的,，人們親切地稱它為“電腦”,。但是人能聽(tīng)懂不完整的言語(yǔ)，可以辨認(rèn)潦草的字跡,，畫(huà)家不用精確計(jì)算而能畫(huà)出栩栩如生的圖畫(huà)來(lái),，電腦卻無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因?yàn)殡娔X只具備對(duì)界限分明事物的識(shí)別與判斷能力,，而對(duì)界限不分明的事物卻失去判斷能力,。界限分明，能用“是”與“否”得出明確結(jié)論的事物稱為明晰事物,；界限不分明,，不能斷然用“是”或“不是”得出結(jié)論的事物稱為模糊事物,。要提高計(jì)算機(jī)的應(yīng)用范圍就必須對(duì)事物的模糊性作深入研究。有一部分計(jì)算機(jī)專家,、應(yīng)用數(shù)學(xué)家看準(zhǔn)了方向把精力投入到事物模糊性的研究,。

“愚者千慮必有一得”

　　千百年來(lái)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)準(zhǔn)一個(gè)理，數(shù)學(xué)是最精確的科學(xué),，越精確越好,。因而處理“精確數(shù)學(xué)”問(wèn)題的工具，多得不勝枚舉,。如方程,，不等式、導(dǎo)數(shù),、微分,、積分等等。但如何處理模糊事物呢,？人們一籌莫展,。

　　進(jìn)入20世紀(jì)以后，不同領(lǐng)域的學(xué)者從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中逐漸提出關(guān)于精確性和模糊性的新觀點(diǎn),，向傳統(tǒng)思想挑戰(zhàn),。1923年著名英國(guó)邏輯學(xué)家羅素對(duì)盲目崇拜精確性提出批判，發(fā)表了論文《含混性》,。它是模糊數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn),。1937年，布蘭克以相同的題目進(jìn)一步探討了含混性,。1951年法國(guó)學(xué)者日用法文創(chuàng)造了模糊集合這個(gè)術(shù)語(yǔ),。但他們對(duì)模糊數(shù)學(xué)還未能得出系統(tǒng)的理論。

　　這時(shí)美國(guó)有一位叫扎德的學(xué)者,，早年從事計(jì)算機(jī)理論和系統(tǒng)科學(xué)的研究,。在他所研究的領(lǐng)域內(nèi)，模糊概念比比皆是,，開(kāi)始他嘗試用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的方法處理,，但屢屢失敗。為此他絞盡了腦汁,。扎德鉆研了羅素的“含混性”論述,，但羅素并未給出解決含混性的方法。直到1951年日創(chuàng)造了“模糊集合”這個(gè)術(shù)語(yǔ),，并提出了一些解決方法,。開(kāi)始扎德一陣驚喜，然而當(dāng)他仔細(xì)讀完日的大作之后，發(fā)現(xiàn)日將事物的“模糊性”與“隨機(jī)性”兩個(gè)不同的屬性混為一談,，并用概率論的觀點(diǎn)方法去研究解決模糊問(wèn)題，顯然是開(kāi)錯(cuò)了藥方,。扎德又一次陷入困境,。但固執(zhí)的扎德毫不退縮。他在自己研究的領(lǐng)域中苦苦求索,，尋找解決模糊性的工具,。時(shí)間一天天，一年年過(guò)去了……

　　工夫不負(fù)有心人,，扎德用了十幾年時(shí)間潛心研究,，直到1963年他終于找到了解決“模糊事物”的比較成熟的方法。按照他的想法,，對(duì)于明晰事物所構(gòu)成的集合（用A表示）,，有著明確的從屬關(guān)系，要么屬于這個(gè)集合,，要么不屬于這個(gè)集合,，二者必居其一。如果用“1”表示屬于這個(gè)集合時(shí)的狀態(tài),，用“0”表示不屬于這個(gè)集合時(shí)的狀態(tài),。那么A（u）就是集合A的特征函數(shù)。其值只能是0和1中的一個(gè),。

　　對(duì)于由模糊事物所構(gòu)成的模糊集合,，一個(gè)事物沒(méi)有非此即彼這種絕對(duì)明確的隸屬關(guān)系。因而不能用特征函數(shù)來(lái)描述,。于是扎德想出了一個(gè)巧妙的法子,，將只有兩個(gè)值“0”與“1”的特征函數(shù)推廣到從0到1之間的任何一個(gè)可能值，即整個(gè)閉區(qū)間[0,，1]上的所有實(shí)數(shù)值,。將這種關(guān)系表示為：μ（u）∈[0，1]或0≤μ（u）≤1,。將μ（u）叫做模糊集μ的隸屬函數(shù),。

　　扎德將自己的新方法修改整理，于1965年正式在美國(guó)發(fā)表,。扎德終于邁開(kāi)了模糊數(shù)學(xué)的第一步,，但他并沒(méi)有因此而留步，他深知今后的路更長(zhǎng),，更艱難,。

病樹(shù)前頭萬(wàn)木春

　　科學(xué)的發(fā)展總不是一帆風(fēng)順的。往往會(huì)遇到風(fēng)浪和波折。模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展也是如此,。在模糊數(shù)學(xué)誕生初期,，人們由于不懂得模糊性是事物類屬和性態(tài)的不確定性，因而對(duì)模糊性有過(guò)種種誤解,。有的人將事物的模糊性與近似性混為一談,；有的將模糊性與隨機(jī)性、含混性等混為一談,。 隨機(jī)性是在事件能否發(fā)生中表現(xiàn)出來(lái)的條件的不確定性,，而事件本身的性態(tài)和類屬是確定的。比如說(shuō)投擲硬幣,。國(guó)徽是否在上面是隨機(jī)的,，但是每次投擲的結(jié)果，不是朝上便是朝下,，毫不含糊,。而模糊性卻是事物本身的性態(tài)和類屬的不確定引起的。

　　當(dāng)然模糊性與事物的近似性,、含混性也有區(qū)別,。扎德在自己的研究中對(duì)事物的模糊性與隨機(jī)性、近似性,、含混性的異同作了分析比較,，然后給出模糊性的準(zhǔn)確含義?？茖W(xué)地規(guī)定了模糊數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,。從理論上闡明了模糊數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)、獨(dú)立發(fā)展的必要性,。當(dāng)扎德澄清了種種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)后,，使得模糊數(shù)學(xué)從理論上以及與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合上都取得了較大的發(fā)展。理論上分解定理與擴(kuò)張定理的建立,。它與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的結(jié)合中誕生了模糊矩陣,、模糊方程、模糊概率,、模糊算子等等,。它與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合中誕生了模糊語(yǔ)言、模糊識(shí)別,、模糊控制等許多分支,。歷經(jīng)冬日嚴(yán)寒的模糊數(shù)學(xué)，終于將春天的萬(wàn)紫千紅帶給人間,。

模糊數(shù)學(xué)和我們

　　模糊數(shù)學(xué)拓廣了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的分類方法,，給眾多學(xué)科帶來(lái)重大啟示,。從它誕生初期扎德就把模糊數(shù)學(xué)的理論與解決電子計(jì)算機(jī)、控制論等現(xiàn)代科學(xué)的實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合,，使這門學(xué)科盡管起步較晚但迅速得到廣泛應(yīng)用,。在工業(yè)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，各類機(jī)床或機(jī)械設(shè)備的模糊控制,、機(jī)器故障的模糊分析,、雷達(dá)對(duì)探測(cè)目標(biāo)的模糊分析等等。

　　特別是從本世紀(jì)90年代以來(lái)科學(xué)家們將模糊數(shù)學(xué)的理論用于新型計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì),，使得計(jì)算機(jī)向著人工智能化方向迅速發(fā)展。使用模糊數(shù)學(xué)原理設(shè)計(jì)出的具有模糊識(shí)別功能的計(jì)算機(jī)可以直接識(shí)別人們用各種手寫(xiě)體寫(xiě)的字,，可以聽(tīng)懂人們用不同方言說(shuō)的話,；可以控制各種家電；可以對(duì)交通,、生產(chǎn)進(jìn)行管理…… ,在農(nóng)業(yè)方面,，農(nóng)作物產(chǎn)量的預(yù)測(cè)、農(nóng)業(yè)技術(shù)方案的評(píng)估,、病蟲(chóng)害的模糊預(yù)測(cè)與控制……

　　醫(yī)學(xué)方面,，借助于模糊方法可以對(duì)冠心病、肝病等疑難病進(jìn)行診斷,，對(duì)癌細(xì)胞的判定與識(shí)別,，對(duì)針刺麻醉以及手術(shù)效果的評(píng)估等各個(gè)方面。除此而外,，模糊數(shù)學(xué)還用于經(jīng)濟(jì)決策分析,、經(jīng)濟(jì)技術(shù)的可行性研究、氣象預(yù)測(cè),、地質(zhì),、軍事、體育等各個(gè)領(lǐng)域,。

　　總而言之,，模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用前景是廣闊的。它作為數(shù)學(xué)思想方法上的轉(zhuǎn)折與飛躍必將對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的一系列分支產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響,。