封面｜阿喀琉斯與烏龜?? 來自 Hein de Haan

大家好,，我是科學(xué)羊。

在一個陽光明媚的日子里,，一場看似荒誕的比賽正在進行。挑戰(zhàn)者是一只聰明的烏龜,，而對手是希臘神話中以速度聞名的阿喀琉斯。聽起來毫無懸念,？

但事情沒那么簡單。

“你想和我比賽,？”阿喀琉斯輕蔑地問道,，“我是最快的，你卻是公認的慢動物,，這根本沒有懸念?！?/p>

烏龜卻不以為然：“那當(dāng)然，但如果你讓我先跑10米,，我們的比賽可能會有趣得多...”

阿喀琉斯覺得無妨,，便欣然同意。

比賽開始后,，烏龜一邊跑一邊說道：“你要追上我,，得先跑完我領(lǐng)先的這10米，對吧,？

可是當(dāng)你跑完10米時，我早就又向前爬了一米,。

然后你還要追這一米,，而這時我又爬到了更前方,。這樣下去，你永遠也追不上我,！”

這個看似荒謬的邏輯，讓阿喀琉斯陷入了困惑,。

但直覺告訴我們，怎么可能....他一定能追上烏龜,。

問題是,，烏龜貌似沒有錯,，但它的數(shù)學(xué)推理錯在哪里,？

烏龜邏輯的漏洞：無限循環(huán)的終點

為了弄清問題,，我們可以用數(shù)學(xué)建模來解析（如上圖所示）。

假設(shè)阿喀琉斯的速度是烏龜?shù)?0倍,，那么烏龜每爬行1米時，阿喀琉斯就能跑10米,。

于是，阿喀琉斯需要1秒就能追上烏龜領(lǐng)先的10米,，而在這1秒里，烏龜不過前進了1米,。

隨后阿喀琉斯只需0.1秒追上這一米，再用0.01秒追上下一段距離……如此循環(huán)下去,，盡管時間間隔無限遞減,，總的時間是有限的，通過數(shù)學(xué)計算,，準(zhǔn)確的答案實際是10/9秒，也就是1.1111....秒,。

烏龜?shù)倪壿媶栴}就在于對“無限”的誤解,，它是對這個理論數(shù)字的誤解。

雖然這個過程看似無窮無盡,，但每一步所需的時間越來越短，累加起來不過是有限值,。

希爾伯特酒店的無限客人奇想

如果說烏龜與阿喀琉斯的比賽僅僅是個開胃菜，那么“希爾伯特酒店”的故事則為我們打開了通往無限悖論的奇幻之門,。

想象一個擁有無限房間的酒店,，每個房間都標(biāo)著1,、2、3……以此類推,。

某天，這家酒店客滿了——每個房間都住著客人,。

但這時，又來了一個新客人,。酒店經(jīng)理靈機一動，命令每位住客搬到下一個房間：住在1號房的客人搬到2號房,，2號房的客人搬到3號房,，以此類推,。

如此一來，1號房空了出來,，新客人有了住處,！

這還沒完,。

一輛載有100名乘客的大巴車到達了酒店。經(jīng)理再次動用同樣的方法：讓每位住客搬到自己當(dāng)前房間號加100的房間,，騰出前100個房間給大巴上的乘客。

于是,，每位新來的乘客也都妥善安頓,。

一輛無限長的大巴車

問題逐漸升級,。

一輛無限長的大巴車到達,，每個座位都有一個編號：1、2,、3……經(jīng)理這次想了個新辦法，把每位現(xiàn)有住客搬到房間號為他們當(dāng)前房號的兩倍的房間（即從n號房搬到2n號房）,，讓所有奇數(shù)號房間騰空,。

這樣,，大巴上的乘客就可以分別入住這些奇數(shù)號房間：1號座位的乘客入住1號房，2號座位的乘客入住3號房,，以此類推,。

然而,，真正的挑戰(zhàn)來自無窮的“層級”,。

假如無數(shù)輛無限大巴車同時抵達，每輛車上也有無限多的乘客,。

酒店經(jīng)理依舊有辦法：為每輛大巴分配一個質(zhì)數(shù)，例如第1輛車分配質(zhì)數(shù)3,，第2輛車分配質(zhì)數(shù)5,，第3輛車分配質(zhì)數(shù)7……再用這些質(zhì)數(shù)的冪來分配房間號。

如此,，所有乘客都能找到唯一的房間,。

不過，并非所有無限都是可以這樣安排的,。

例如，如果某輛大巴上的乘客是以無限長小數(shù)（如0.111111…,、0.121212…）編號的,，那么即使酒店有無限房間,，也無法容納這些乘客。

這種無限被稱為“不可數(shù)無限”,，與前面提到的“可數(shù)無限”截然不同。

圣彼得堡悖論：無限中的收益與風(fēng)險

無限悖論不僅出現(xiàn)在空間安排中,，也常常在概率與收益的計算中讓人抓狂。

想象一個賭局：拋一枚硬幣,，如果第一次出現(xiàn)反面,，你贏2美元,；如果第一次是正面,，接著再拋,，直到出現(xiàn)反面，此時獎金翻倍,。例如，第二次出現(xiàn)反面時，你贏4美元,；第三次出現(xiàn)反面時，你贏8美元……這個游戲的預(yù)期收益是無限的,！

然而，大多數(shù)人不會愿意支付高昂的費用來參與這個游戲,。

為什么,？

因為人類對收益的感知并非線性增長,。

換句話說，贏得100美元確實讓人興奮,，但如果已經(jīng)擁有10000美元,，再贏100美元的興奮感會明顯降低,。

這種現(xiàn)象被稱為“邊際效用遞減”，在數(shù)學(xué)上可以用對數(shù)函數(shù)（如ln）來衡量貨幣的實際價值,。

盡管如此,，圣彼得堡悖論依舊提醒我們,，面對“無限”的收益預(yù)期時，人類的直覺往往會被復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念所挑戰(zhàn),。

總結(jié)：

從烏龜與阿喀琉斯到希爾伯特酒店,，再到圣彼得堡悖論,，我們一路探索了無限的奧秘。

無限可以是可數(shù)的,，也可以是不可數(shù)的,，它可以帶來無窮的收益,，也可能讓人陷入悖論。

通過這些看似荒謬的故事,，我們不禁感嘆：無限不僅是一種數(shù)學(xué)概念，更是一扇通向思維深處的大門,。無論是科學(xué)家、哲學(xué)家,，還是普通人,，每個人都能從中發(fā)現(xiàn)屬于自己的奇妙旅程,。

好，今天就先這樣啦～

科學(xué)羊??  2024/11/28

祝幸福~ 

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