1引言

在當前的計算科學和工程領域中,，代理模型發(fā)揮著越來越重要的作用，特別是在需要處理復雜物理過程和大數(shù)據(jù)分析的情況下,。神經(jīng)網(wǎng)絡作為一種強大的機器學習工具,，已廣泛應用于模擬復雜的系統(tǒng)動態(tài)，但在精確遵守物理定律方面,，傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡模型往往存在不足,。物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（Physics-Informed Neural Networks，簡稱PINNs）的出現(xiàn),，正是為了解決這一問題,，它通過將物理定律直接嵌入到網(wǎng)絡訓練過程中，提供了一個創(chuàng)新的解決方案。

PINNs的核心思想是利用已知的物理定律（如偏微分方程）來指導和約束神經(jīng)網(wǎng)絡的學習過程,。這種方法不僅能增強模型的泛化能力,，還能在數(shù)據(jù)稀缺的環(huán)境中提高模型的預測精度，這在傳統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型中是很難實現(xiàn)的,。例如,，在流體動力學和材料科學等領域，實驗數(shù)據(jù)的獲取可能非常昂貴或技術上不可行,，PINNs提供了一種有效的替代方案,。

此外，PINNs的應用也展示了其在多學科交叉問題中的巨大潛力,。在生物醫(yī)學工程,、地球科學、金融工程等領域,，PINNs能夠整合來自不同領域的知識,，通過物理定律強化學習過程，從而更準確地描述和預測復雜現(xiàn)象,。例如,，它們可以用于心臟電生理學中的信號傳播模擬，或者在氣候模型中預測極端天氣事件,。

盡管PINNs帶來了許多優(yōu)勢,，但在實際應用中仍面臨諸多挑戰(zhàn)。這包括如何有效地將復雜的物理定律編碼至神經(jīng)網(wǎng)絡架構中,，以及如何處理高維度和非線性問題的計算復雜性,。此外，教育和研究領域在培養(yǎng)能夠跨領域應用和開發(fā)PINNs的人才上也面臨挑戰(zhàn),。

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡代表了人工智能與傳統(tǒng)科學研究之間的橋梁,，它不僅推動了計算方法的發(fā)展，也為多個學科的研究提供了新的視角和工具,。隨著計算能力的提高和算法的進一步優(yōu)化,，預計PINNs將在未來的科學研究和工程應用中扮演更加重要的角色。

2神經(jīng)網(wǎng)絡基礎

神經(jīng)網(wǎng)絡是一種模擬人腦工作機制的算法結構,，用于識別模式和數(shù)據(jù)中的關系,，這種模式和關系對于人類來說是難以使用傳統(tǒng)編程語言明確表達的。它們是深度學習技術中的核心,，廣泛應用于圖像識別,、語音處理、自然語言理解等領域,。

神經(jīng)網(wǎng)絡的工作原理基于大量的處理單元—神經(jīng)元,，這些神經(jīng)元通常分布在不同的層次上,。每個神經(jīng)元接收輸入，對輸入進行處理后再將結果輸出到下一層神經(jīng)元,。神經(jīng)元之間的連接（稱為權重）可以在學習過程中調(diào)整,，以最小化網(wǎng)絡輸出和實際數(shù)據(jù)之間的差異，這一過程稱為訓練神經(jīng)網(wǎng)絡,。

在神經(jīng)網(wǎng)絡的常見架構中,，全連接網(wǎng)絡（也稱為多層感知機，F(xiàn)ully Connected Networks, FCNs）是最簡單的一種形式,，每一層中的每個神經(jīng)元都與前一層的所有神經(jīng)元相連接。這種架構在處理簡單模式時非常有效,，但在處理復雜數(shù)據(jù)（如圖像或音頻）時可能會遇到性能瓶頸,。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（Convolutional Neural Networks,CNN）則是專為處理具有明顯空間關系的數(shù)據(jù)（如圖像）設計的。它們通過卷積層來提取輸入數(shù)據(jù)中的局部特征,，每個卷積層會應用多個卷積濾波器,，這些濾波器可以捕捉到圖像中的基本形狀如邊緣、角點等信息,。隨后的池化層則負責降低數(shù)據(jù)的空間維度,，增強模型的泛化能力。CNN在圖像分類,、視頻分析等多個領域表現(xiàn)出了極高的效率和準確性,。

除全連接網(wǎng)絡和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡外，還有循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡（Recurrent Neural Networks,RNN）,，特別適合處理序列數(shù)據(jù)如時間序列分析,、語言模型等。RNN能夠在其隱藏層維持一個內(nèi)部狀態(tài),，該狀態(tài)能夠捕獲序列中時間上的動態(tài)變化,。

神經(jīng)網(wǎng)絡的設計和優(yōu)化是一個復雜的過程，需要考慮到網(wǎng)絡的深度,、寬度,、激活函數(shù)的選擇、優(yōu)化算法等多個方面,。隨著研究的深入和技術的發(fā)展,，更多高效的網(wǎng)絡架構和訓練方法正在不斷被開發(fā)出來，使得神經(jīng)網(wǎng)絡在處理更復雜的問題時更加高效和精確,。

3物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINN）

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（Physics-Informed Neural Networks,，簡稱PINNs）是一種結合了傳統(tǒng)數(shù)學物理模型和現(xiàn)代深度學習技術的新型網(wǎng)絡結構。PINNs的核心思想是在神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練過程中,，不僅考慮數(shù)據(jù)的擬合效果,，還強制網(wǎng)絡輸出滿足某些物理定律，如守恒定律、動力學方程等,。這種方法有效地將數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型與基于知識的模型結合起來,，旨在解決傳統(tǒng)機器學習模型在處理復雜物理問題時的不足。

傳統(tǒng)的代理模型,，例如多項式回歸,、高斯過程回歸（Gaussian Processes Regression, GPR）和基于決策樹的方法等，通常在特定的應用場景下表現(xiàn)良好,，能夠快速預測復雜系統(tǒng)的行為,。然而，這些模型大多數(shù)基于統(tǒng)計假設,，對數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量有較高的依賴,。在數(shù)據(jù)稀缺或質(zhì)量不高的情況下，傳統(tǒng)代理模型的預測準確性和可靠性通常會大打折扣,。此外,，這些模型缺乏物理意義上的解釋能力，不能保證預測結果符合物理定律,，這在工程和科學研究中是一個重要的限制,。

PINNs的設計理念是在神經(jīng)網(wǎng)絡模型中引入物理知識，通過差分方程,、邊界條件和初始條件等強制約束來指導學習過程,。具體來說，PINNs的網(wǎng)絡結構通常由輸入層,、若干隱藏層和輸出層組成,，其中每一層都包含多個神經(jīng)元。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡不同的是,，PINNs在損失函數(shù)中加入了一個物理信息項,。這個物理信息項是基于網(wǎng)絡輸出和物理定律之間的偏差計算得來，如通過對網(wǎng)絡輸出應用物理定律（通常是偏微分方程）形成的殘差,。訓練過程中,，網(wǎng)絡不僅要減少對訓練數(shù)據(jù)的預測誤差，還要最小化物理信息項的誤差,，從而確保模型輸出不僅與數(shù)據(jù)相符,，同時也遵守相關的物理定律。

例如,，在流體動力學問題中,，PINNs可以通過整合納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）來預測流體流動。在訓練這種網(wǎng)絡時,，會將納維-斯托克斯方程的殘差作為額外的損失函數(shù),，迫使網(wǎng)絡輸出的速度場和壓力場滿足這些方程,。這種方法可以顯著提高模型在數(shù)據(jù)稀缺區(qū)域的預測能力和泛化能力。

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡通過將物理定律整合入學習過程,，提供了一種強大的工具來解決傳統(tǒng)代理模型無法有效應對的復雜物理問題,。這種網(wǎng)絡不僅能夠提高預測的準確性和可靠性，還能在數(shù)據(jù)有限的情況下進行有效學習,，是科學研究和工程應用中的一個重要發(fā)展方向,。

4 PINNs架構

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINNs）代表了一種新興的深度學習模型，旨在將傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動的神經(jīng)網(wǎng)絡模型與物理定律結合起來,，以解決一些在純數(shù)據(jù)驅(qū)動模型中無法有效解決的問題,。下面將詳細介紹PINNs的架構，解釋如何將物理信息嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡,，并與常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡架構進行比較,。

（1）PINNs架構

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡的架構通常包括輸入層、若干隱藏層和輸出層,。這與常規(guī)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡架構相似，但PINNs的獨特之處在于其訓練過程中同時考慮了數(shù)據(jù)的擬合和物理定律的遵守,。

輸入層和輸出層

輸入層的設計取決于特定的問題和問題中涉及的物理變量,，如時間、空間位置或任何其他相關的量度,。輸出層的設計則基于所需要預測的物理量,，如溫度、壓力,、速度等,。

隱藏層

隱藏層是神經(jīng)網(wǎng)絡的核心，其中的每個神經(jīng)元通過激活函數(shù)處理輸入信號,。PINNs通常使用像ReLU（Rectified Linear Unit）這樣的非線性激活函數(shù)來增加網(wǎng)絡的表達能力,。

（2）物理信息的嵌入

物理信息的嵌入是通過定義一個損失函數(shù)來實現(xiàn)的，該損失函數(shù)不僅包括對訓練數(shù)據(jù)的預測誤差,，還包括一個或多個物理殘差項,。這些殘差項是基于網(wǎng)絡輸出和物理定律（如守恒定律、動力學方程等）之間的關系構建的,。

守恒定律的嵌入

例如,，在流體動力學中，可以將質(zhì)量守恒和動量守恒方程作為殘差項加入損失函數(shù),。這些方程通常以偏微分方程的形式出現(xiàn),，網(wǎng)絡需要輸出一個速度場和壓力場，這些字段必須滿足這些守恒方程,。

邊界條件的處理

處理邊界條件是通過在損失函數(shù)中添加特定于邊界的項來實現(xiàn)的,。例如,，如果問題的邊界條件是固定溫度，則網(wǎng)絡在邊界點的輸出應該與這個溫度值相匹配,。

（3）與常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡架構的比較

數(shù)據(jù)依賴性

常規(guī)的神經(jīng)網(wǎng)絡架構主要依賴于大量的訓練數(shù)據(jù)來學習數(shù)據(jù)之間的關系和模式,。然而，PINNs在數(shù)據(jù)稀缺的情況下仍能夠通過物理定律來引導學習過程,，這減少了對大量數(shù)據(jù)的依賴,。

泛化能力

由于PINNs在設計時考慮了物理定律，它們通常在未見過的數(shù)據(jù)上具有更好的泛化能力,。常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡可能會在面對與訓練數(shù)據(jù)分布不同的數(shù)據(jù)時表現(xiàn)不佳,。

計算復雜性

引入物理定律通常會增加模型的計算復雜性，因為除了常規(guī)的反向傳播外,，還需要計算物理殘差,。這可能需要更多的計算資源和時間。

調(diào)優(yōu)難度

PINNs的訓練涉及到多個損失項的權衡,，這可能使得調(diào)優(yōu)過程比常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡更為復雜,。正確的權衡不同損失項對實現(xiàn)最佳性能至關重要。

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡提供了一種強大的方法,，通過結合物理定律和數(shù)據(jù)驅(qū)動的學習過程,，可以有效解決許多傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡難以處理的復雜物理問題。雖然它們在實現(xiàn)和訓練上可能比常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡更為復雜,，但它們在提高預測精度和可靠性方面的潛力是巨大的,。隨著計算技術的進步和模型設計方法的改進，預計PINNs在科學和工程領域的應用將會越來越廣泛,。

5 PINNs應用

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINNs）是一種融合了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡和物理法則的前沿技術,，它通過直接將物理定律嵌入到學習過程中，解決了許多科學和工程問題中的關鍵挑戰(zhàn),。PINNs的應用領域涵蓋了流體動力學,、材料科學、生物醫(yī)學工程等多個領域,，下面我們將詳細探討這些應用及其帶來的好處,。

流體動力學

流體動力學是研究流體（氣體和液體）在各種條件下的行為。傳統(tǒng)的流體動力學模型需要解決復雜的偏微分方程,，這在數(shù)學和計算上都是極具挑戰(zhàn)的,。PINNs在這一領域的應用，如模擬飛機周圍的氣流或水力發(fā)電站的水流,，展示了其強大的計算能力,。通過將納維-斯托克斯方程等流體動力學基本方程直接整合到神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練中，PINNs可以精確預測流體行為,，同時減少對高性能計算資源的需求,。這不僅加速了模擬過程,，還提高了模擬的準確性，尤其是在處理復雜邊界條件或自由表面流動時,。

材料科學

在材料科學領域,，PINNs用于模擬材料在不同環(huán)境條件下的行為，如溫度,、壓力變化對材料性能的影響,。傳統(tǒng)的模擬方法通常依賴于大量實驗數(shù)據(jù)來校準模型，而這些數(shù)據(jù)獲取成本高昂且耗時,。PINNs通過引入基于物理的約束,，如材料的應力-應變關系，可以在數(shù)據(jù)稀缺的情況下提供準確的預測,。這種方法特別適合用于新材料的設計和優(yōu)化,，能夠顯著縮短從實驗室到市場的時間，并降低研發(fā)成本,。

生物醫(yī)學工程

生物醫(yī)學工程是另一個PINNs發(fā)揮重要作用的領域,，特別是在模擬人體內(nèi)部流體動力學（如血流動力學）和組織工程中。例如,，在心臟病治療和手術規(guī)劃中,，精確模擬血流對于優(yōu)化手術方法和預測手術結果至關重要。PINNs可以整合心血管系統(tǒng)的物理和生物力學行為,，提供比傳統(tǒng)方法更精確的模擬結果。此外,，它們還可以用于藥物輸送系統(tǒng)的設計,，通過模擬藥物在體內(nèi)的傳輸和分布，幫助科學家設計更有效的藥物釋放策略,。

6挑戰(zhàn)與局限性

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINNs）在解決多種科學和工程問題中展現(xiàn)了巨大的潛力,，特別是在將物理定律與機器學習模型相結合方面。然而,，盡管它們在多個領域表現(xiàn)出色,，PINNs在設計和訓練過程中仍面臨多種技術挑戰(zhàn)，并受到計算資源和可擴展性的限制,。此外,，PINNs在某些特定應用中可能不適用或需要進行顯著的適應。

技術挑戰(zhàn)

（1） 復雜的損失函數(shù)：PINNs的核心是一個包含物理定律約束的損失函數(shù),。這些物理約束通常由偏微分方程（PDEs）表示,，需要精確地在神經(jīng)網(wǎng)絡訓練中加以實現(xiàn)。這導致?lián)p失函數(shù)變得非常復雜,，難以優(yōu)化,。例如,，損失函數(shù)可能存在多個局部最小值，或者不同部分的梯度規(guī)模差異很大,，這會使得訓練過程變得不穩(wěn)定,。

（2） 超參數(shù)調(diào)優(yōu)：PINNs的訓練涉及大量超參數(shù)，如學習率,、網(wǎng)絡深度和寬度,、正則化系數(shù)等，這些參數(shù)需要仔細調(diào)整以確保模型既能學習到數(shù)據(jù)特征,，又能滿足物理約束,。超參數(shù)的選擇對模型性能有極大影響，而且往往需要大量的試驗和錯誤來確定最佳配置,。

（3）訓練數(shù)據(jù)的依賴性：雖然PINNs可以減少對數(shù)據(jù)的依賴,，但在實際應用中，它們?nèi)匀恍枰銐虻臄?shù)據(jù)來訓練模型,，尤其是在沒有明確物理定律或這些定律難以準確描述復雜系統(tǒng)行為時,。數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量直接影響到PINNs的性能和準確性。

計算資源和可擴展性限制

（1） 高昂的計算成本：PINNs的訓練通常需要大量計算資源,。尤其是在處理高維數(shù)據(jù)和復雜物理過程時,，所需的計算量大幅增加。這不僅增加了研究和開發(fā)的成本,，也限制了PINNs在資源有限的環(huán)境中的應用,。

（2）可擴展性問題：隨著問題規(guī)模的增大，PINNs需要更多的網(wǎng)絡層和神經(jīng)元來捕捉復雜的物理過程,。這可能導致網(wǎng)絡過于龐大,，難以有效訓練和部署。此外,，大規(guī)模并行處理和高效的硬件加速也是實現(xiàn)PINNs可擴展性的挑戰(zhàn),。

不適用或需顯著適應的領域

（1）非物理問題：PINNs主要適用于那些可以通過物理定律明確描述的問題。在一些社會科學,、金融或其他非物理領域,，這些方法可能不適用，或者效果不如傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動模型,。

（2）極端復雜的物理系統(tǒng)：在一些極端條件下,，如超高速流體動力學、量子物理等領域,，現(xiàn)有的物理定律可能無法完全描述系統(tǒng)的全部行為,，或者方程過于復雜，難以整合到PINNs中,。在這些情況下,，PINNs需要與其他模型或方法結合,，或者需要開發(fā)新的理論和算法來適應這些特殊情況。

雖然PINNs在多個領域顯示出巨大潛力,，但它們在技術實現(xiàn),、計算資源需求和適用范圍上仍面臨許多挑戰(zhàn)和限制。理解這些挑戰(zhàn)并尋找有效的解決方案是未來研究的重要方向,。

7未來方向與創(chuàng)新

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINNs）作為一種融合了物理定律和機器學習技術的前沿模型,，在科學和工程計算領域產(chǎn)生了顯著影響。隨著技術的持續(xù)發(fā)展和創(chuàng)新,，PINNs預計將在多個方向上展開深入研究,，并與其他先進的機器學習框架和技術整合，以解決更加復雜和多樣化的問題,。

近年來,，PINNs的發(fā)展集中在提高其效率、精確度和可用性上,。例如,，研究人員已經(jīng)開始探索自適應網(wǎng)絡架構，這種架構能夠根據(jù)問題的復雜性動態(tài)調(diào)整,，從而提高計算效率,。此外，新的正則化技術和優(yōu)化算法被開發(fā)出來,，以更好地處理物理約束和改善訓練過程中的數(shù)值穩(wěn)定性,。

PINNs在處理單一物理場問題（如流體動力學或結構力學）中已顯示出巨大潛力，未來將向多物理場問題擴展,，如耦合熱力學和力學問題,。這種復雜的問題在工程應用中非常常見，例如在航空航天,、汽車工業(yè)和能源領域。由于PINNs天然融合了物理定律,，它們在提供可解釋預測和分析方面具有獨特優(yōu)勢,。隨著可解釋性在機器學習中的重要性日益增加，PINNs預計將在醫(yī)療診斷,、金融風險評估等領域發(fā)揮重要作用,。環(huán)境模型通常涉及復雜的物理和化學過程。PINNs能夠整合這些過程的底層物理定律,，為氣候變化評估,、污染物擴散預測等提供更精確的模型。

將PINNs與強化學習整合,，可以在不完全了解環(huán)境模型的情況下,，利用物理知識指導策略學習,。這種整合尤其適用于機器人控制和自動駕駛車輛，其中物理定律（如動力學和控制理論）對提高決策質(zhì)量至關重要,。監(jiān)督學習技術,，特別是生成對抗網(wǎng)絡（GANs）和自編碼器，可以與PINNs結合用于復雜數(shù)據(jù)集的特征學習和數(shù)據(jù)生成,。例如,，在材料科學中，可以通過這種整合方法自動生成符合物理法則的新材料結構,。PINNs的框架提供了一種機制,，可以通過物理定律作為先驗知識，將在一個領域?qū)W到的模型應用到另一個領域,。這種跨領域的應用能夠顯著提高模型的泛化能力,，特別是在數(shù)據(jù)稀缺的新領域。

PINNs作為一種新興的模型,，其整合了深度學習的強大能力和物理定律的嚴格約束,，未來有望在更廣泛的領域內(nèi)發(fā)揮作用，尤其是在需要高度精確和可解釋性的應用中,。隨著計算技術的進步和理論的深入,，PINNs將繼續(xù)在科學計算和工程實踐中展現(xiàn)出更大的潛力。

8結論

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡（PINNs）代表了在科學計算和人工智能領域的一種創(chuàng)新,，通過將深度學習技術與傳統(tǒng)的物理定律相結合,，開創(chuàng)了一條解決復雜科學問題的新途徑。這種網(wǎng)絡模型不僅強化了數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的預測能力,，而且通過物理定律的約束,，增加了模型預測的可靠性和解釋性。

PINNs的應用已經(jīng)涵蓋了從流體動力學到材料科學,，再到生物醫(yī)學工程等多個領域,，它們在這些領域中展示了能夠處理高度復雜系統(tǒng)的能力。特別是在數(shù)據(jù)稀缺或獲取成本高昂的情況下,，PINNs能夠利用物理知識來彌補數(shù)據(jù)不足,，提供精確的預測，這在傳統(tǒng)方法中是難以實現(xiàn)的,。盡管PINNs展現(xiàn)出巨大的潛力和優(yōu)勢,，它們在實際應用中仍面臨一些挑戰(zhàn)，包括復雜的損失函數(shù)設計,、計算資源的高需求以及對超參數(shù)調(diào)優(yōu)的敏感性,。此外，PINNs的效果很大程度上依賴于所嵌入的物理定律的準確性和適用性，這可能限制了它們在某些領域的應用,。未來,，隨著計算技術的進步和理論研究的深入，我們可以預見PINNs將在模型的可擴展性,、效率以及與其他先進機器學習技術的整合方面取得進一步的進展,。這不僅會擴大PINNs的應用范圍，還將提高它們在實際應用中的表現(xiàn),，使其成為解決科學和工程問題的一個強大工具,。

PINNs是科學計算與人工智能交叉領域的一顆新星，它們?yōu)閭鹘y(tǒng)的計算模型帶來了新的視角和方法,。隨著技術的不斷發(fā)展和優(yōu)化,，PINNs有望在未來的科研和工程實踐中發(fā)揮更重要的作用，推動相關領域的發(fā)展與創(chuàng)新,。

(本文譯自國外網(wǎng)站,，文中觀點不代表譯者與《系統(tǒng)仿真學報》期刊立場。)