珠算是我國優(yōu)秀文化遺產(chǎn),，被譽(yù)為“最古老的計(jì)算機(jī)”“中國第五大發(fā)明”，蘊(yùn)含著巨大的文化價(jià)值和強(qiáng)大的數(shù)理功能,。在電子計(jì)算機(jī)發(fā)達(dá)的時(shí)代,，珠算逐漸淡出了人們的視野，珠算文化難以為繼,，珠算“無用論”的觀點(diǎn)在大眾中蔓延開來,。誠然，珠算的計(jì)算作用逐漸被削弱,，但作為中華傳統(tǒng)文化的優(yōu)秀代表,，珠算集中國古代算學(xué)之精華，凝結(jié)了中華民族對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用實(shí)踐,，已然成為民族記憶與身份認(rèn)同的重要文化“標(biāo)識(shí)”,，其在教育啟智、體驗(yàn)中國古代數(shù)學(xué)之美,、傳播中國傳統(tǒng)文化等方面一直都蘊(yùn)含著巨大的價(jià)值,。珠算是以算盤為工具的進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種方法，從籌算演變而來,，最早在東漢徐岳所著《數(shù)術(shù)記遺》^[1]中有記載,，于明代開始流行，在很長一段歷史階段內(nèi)是社會(huì)主流的計(jì)算方法,。古代珠算多用口訣描述和記錄各種算法的撥珠規(guī)則,，如大家耳熟能詳?shù)摹叭叨弧薄岸惶碜魑濉倍际侵樗阒械目谠E,，九九乘法表也脫胎于珠算乘法的大九九口訣。珠算主要分為初級(jí)方法如加法,、減法,、乘法、除法,，高級(jí)方法如開平方,、開立方等，每種方法因計(jì)算方式不同,，又有多種算法可選：如乘法有空盤前乘法,、后乘法、留頭乘法等,；除法有商除法,、歸除法、省除法等,；開平方有歸除開平方,、商除開平方、折半開平方等,。

在珠算形式化方面,，文獻(xiàn)^[2]中認(rèn)為珠算不只是形而下的“器”，更蘊(yùn)含著高明的“道”,，而展現(xiàn)珠算的道需要把算珠從算盤這個(gè)器中解脫出來,，將古珠算的觀念升華為現(xiàn)代珠算，即將珠算符號(hào)化：算盤上一檔可表示 0—9 十個(gè)數(shù),，10 種算珠組合稱作10 個(gè)珠碼（如圖1所示），將表示 0,、1 和 5 的 3 個(gè)珠碼作為基數(shù)（稱珠母）,，然后只需珠母累積即可得 10 個(gè)珠碼，10 個(gè)珠碼并排組合可衍生各種運(yùn)算,。

市面上的珠算模擬軟件眾多,，PC 平臺(tái)上的“珠心算大師”^[3]實(shí)現(xiàn)了珠算四則運(yùn)算的自動(dòng)計(jì)算和演示，并配有出題功能,；“珠心算大師”的亮點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)了兩種乘算和三種除算算法,，能夠滿足用戶多樣的需求。Android 平臺(tái)的珠算模擬軟件“Simple Soroban”^[4]界面美觀,，并配有詳細(xì)的珠算四則運(yùn)算教學(xué)和練習(xí)題庫,；網(wǎng)站“sorobanexam”^[5]也對(duì)珠算四則運(yùn)算進(jìn)行了可分步演示的實(shí)現(xiàn),。市面上缺乏實(shí)現(xiàn)珠算開方運(yùn)算模擬的軟件,，沒有完全展現(xiàn)出珠算強(qiáng)大的數(shù)理功能。

算盤由算珠,、梁和框組成,，珠算就是在這一結(jié)構(gòu)之上通過撥動(dòng)算珠（撥珠靠梁為加,，撥珠離梁為減）改變珠和梁的關(guān)系以形象化數(shù)學(xué)的各種運(yùn)算。本文在抽象層面首先通過對(duì)算盤進(jìn)行建模,，建立起阿拉伯?dāng)?shù)字和用算盤表示的數(shù)字之間的映射,，然后基于算盤的形式模型建立珠算加減乘除和開平方運(yùn)算的形式模型與相應(yīng)的算法；在設(shè)計(jì)層面,，基于 C++語言和可視化庫 EasyX^[6]研制了一套珠算可視化演示與學(xué)習(xí)系統(tǒng),，實(shí)現(xiàn)了所建立的珠算形式模型與算法,。珠算加法和減法的建模主要依據(jù)《新刻訂正家傳秘訣盤珠算士民利用》^[7]（簡稱《盤珠算法》）中的加法和減法口訣,，乘法以現(xiàn)代的空盤前乘法為基礎(chǔ)，除法以商除法為基礎(chǔ),，開平方算法以折半開平方算法為基礎(chǔ),。

本文的主要貢獻(xiàn)：①建立算盤、珠算四則運(yùn)算和開平方運(yùn)算的形式模型,，降低珠算的復(fù)雜度,，使珠算可復(fù)現(xiàn)，具有可操作性,；②基于 C++語言和可視化庫 EasyX 研制一套珠算可視化演示與學(xué)習(xí)系統(tǒng)^[8],，實(shí)現(xiàn)珠算的形式模型與算法，特別是實(shí)現(xiàn)珠算開平方算法的自動(dòng)化和可視化,。

珠算的本質(zhì)是通過一定的規(guī)則（即算法）,，增減算珠，從而完成特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算,。珠算的各種算法是在算盤這個(gè)實(shí)體上進(jìn)行的,，為了實(shí)現(xiàn)珠算算法的形式化，首先需要對(duì)算盤進(jìn)行完整的抽象,，即把算盤符號(hào)化,，然后在算盤形式模型的基礎(chǔ)上建立珠算四則運(yùn)算和開平方運(yùn)算所對(duì)應(yīng)的形式模型與算法。本文使用 5 珠×15 檔算盤,，左邊表示高檔（高位）,，右邊表示低檔（低位）,，每檔梁上 1 珠（每珠表示 5），梁下 4 珠（每珠表示 1）,。

根據(jù)算盤的結(jié)構(gòu),，可以將算盤的上珠和下珠作為符號(hào)化的基本單元。算盤共有 15 檔,，因此上珠符號(hào)和下珠符號(hào)各有 15 個(gè),。這樣一個(gè)上珠符號(hào)和一個(gè)下珠符號(hào)便構(gòu)成了數(shù)學(xué)中“位”的概念，而各個(gè)位又組成了數(shù),，如此便可剝?nèi)ニ惚P的“形”,，留下算盤的“神”。數(shù) 17 從算盤抽象出來就是兩個(gè)數(shù)組類型的元組如圖 2 所示,。Upper 存儲(chǔ)了上珠符號(hào)的值,，Lower 存儲(chǔ)了下珠符號(hào)的值，不同位置的算珠符號(hào)代表不同的位,，左為高位,，右為低位，且規(guī)定小數(shù)位在第 13 檔和 14 檔之間,，這樣算盤便可表示最高兩位小數(shù),，以此為基礎(chǔ)，可以建立起算盤的形式模型：

j：i,、j  和 d,、Upper、Lower 配合使用,，表示算盤上的檔位,。規(guī)定算盤最左邊是第 1 檔，1 ≤ i ≤ 15,，1 ≤ j ≤ 15,。

d：算盤上所表示的阿拉伯?dāng)?shù)字。為防止溢出,，d 的小數(shù)部分不超過 2 位,，整數(shù)部分不超過 13 位。為方便運(yùn)算,，規(guī)定 d 有一個(gè)長度固定為 15 位的填充序列,，其第 i 位用 d[i] 表示，d[i] = 5*U_i+L_i（U_i,、L_i 在下文解釋）,；第 i—j 位用 d[i, j] 表示。例如 d=17.2時(shí)，其填充序列為000000000001720,，d[14]=2,，d[12,14]=172。

len：表示 d 整數(shù)部分的位數(shù),。例如 d=17.2 時(shí)，len=2,。

Upper：數(shù)字 d 在算盤梁上部分的表示,，是一個(gè)從左至右各檔梁上靠近梁的算珠數(shù)構(gòu)成的 1×15 數(shù)組，表示為0 ≤ U_i ≤ 1,，為方便表示,，將 U_i 記作 Upper[i]。

Lower：數(shù)字 d 在算盤梁下部分的表示,，是一個(gè)從左至右各檔梁下靠近梁的算珠數(shù)構(gòu)成的 1×15 數(shù)組,，表示為 0 ≤ L_i ≤ 4。為方便表示,，將 L_i 記作 Lower[i],。

為了用數(shù)學(xué)語言描述模型中各個(gè)元組間的計(jì)算，還需要在阿拉伯?dāng)?shù)字（d）和從算盤抽象出來的符號(hào)（Upper,，Lower）之間建立起一座互通的“橋梁”,，使得這兩種表示數(shù)的方式能夠相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)算盤的結(jié)構(gòu),，設(shè)計(jì)了公式（1）和（2）成 d 與 Upper,、Lower 之間的轉(zhuǎn)換。公式（1）計(jì)算算盤每一檔所表示的數(shù),，并與其十進(jìn)制的計(jì)量單位相乘,，將每一檔的積累加，最終得到算盤上所表示的數(shù),。為避免無效計(jì)算,，i 的范圍為 15~13-len。公式（2）中的意為首先依次取 d 的每一位,，然后將其除以 5（“/5”）可得上珠（U_i）個(gè)數(shù),，用 5 取余（“%5”）可得下珠個(gè)數(shù)（L_i），對(duì)于 d 所不存在的位（即 0≤i≤13-len 時(shí)）,，U_i,、L_i 皆為 0。

加法有兩個(gè)操作數(shù),，被加數(shù)和加數(shù),，自然地可以在算盤的形式模型（下文稱基礎(chǔ)模型）之上建立珠算加法的形式模型：被加數(shù)和加數(shù)分別用一個(gè)基礎(chǔ)模型表示，然后添加一個(gè)元組存儲(chǔ)加法運(yùn)算的結(jié)果。由于加法有進(jìn)位,，為方便計(jì)算,，再添加一個(gè)基礎(chǔ)模型表示進(jìn)位數(shù)，據(jù)此,，珠算加法的形式模型如下：

i,，j：表示算盤上的擋位，基礎(chǔ)模型中已寫明,，此處不再贅述,。

Aug：被加數(shù)的算盤形式，Aug=<Aug.d, Aug.len, Aug.Upper, Aug.Lower>,，為避免溢出,，規(guī)定Aug.d 整數(shù)部分的位數(shù)小于等于 12，小數(shù)部分的位數(shù)小于等于 2,。

Add：加數(shù)的算盤形式,，Add=<Add.d, Add.len, Add.Upper, Add.Lower>，為避免溢出,，規(guī)定 Add.d  整數(shù)部分的位數(shù)小于等于 12,，小數(shù)部分的位數(shù)小于等于 2。

Ca：進(jìn)位數(shù)的算盤形式,，Ca=<Ca.d, Ca.len, Ca.Upper, Ca.Lower>,。若本位（第 i 檔）產(chǎn)生進(jìn)位，設(shè)上檔（本檔的前一檔）為第 j（j=i-1）位,，則有公式（3）,。

r：存儲(chǔ)珠算加法的結(jié)果，用阿拉伯?dāng)?shù)字形式表示,。

《盤珠算法》上所載加法口訣“一上一……一下五去四……一去九進(jìn)一……”描述了進(jìn)行珠算加法時(shí)的撥珠規(guī)則,，對(duì)其歸類整理成表 1。表中每句口訣的第一個(gè)數(shù)字是加數(shù),，其余為撥珠動(dòng)作,。表示撥珠動(dòng)作的有“上”“下”“去”“進(jìn)”4 個(gè)字?！吧稀奔醇由?；“下”為把上珠撥下一個(gè)；“去”即減去,；“進(jìn)”為本檔滿十時(shí)在左邊一檔加一,。

根據(jù)是否進(jìn)位，表 1 將加法運(yùn)算的情況分為兩大類,、四小類：直接加,，即只需撥動(dòng)一次算珠的；湊五加，即下珠不夠加,，需要下上珠的,；進(jìn)十加，即產(chǎn)生進(jìn)位的,；進(jìn)十破五加,，即產(chǎn)生進(jìn)位且需要撥去上珠的。這 4 種情況在實(shí)際打算盤時(shí),，并不需要嚴(yán)格記憶,，只需觀察盤面就可做到心中有數(shù)，但如果脫離算盤這個(gè)實(shí)體,，將珠算符號(hào)化，則需要給定具體的判定條件,。在何種條件下使用何種口訣（規(guī)則）改變算珠符號(hào)的值,，是形式化和自動(dòng)化珠算算法的主要內(nèi)容和難點(diǎn)。

珠算加法的運(yùn)算過程首先是將被加數(shù)布于盤面,，然后從左至右和加數(shù)依次做一位加法,。為方便描述，設(shè)當(dāng)前需要計(jì)算的檔位為 i,，則被加數(shù)所在位由 Aug.Upper[i] 和 Aug.Lower[i] 表示,，加數(shù)所在位由 Add.Upper[i] 和 Add.Lower[i] 表示。根據(jù)推理和驗(yàn)算,，珠算加法各撥珠規(guī)則的判定流程圖如圖 3 所示,。受限于版面，算法的偽代碼描述已上傳到系統(tǒng)的源代碼倉庫,，下文的其他 4 個(gè)算法同理,。

珠算減法與加法在結(jié)構(gòu)上相似，只是“加”變?yōu)椤皽p”,，“進(jìn)位”變?yōu)椤敖栉弧?。為避免贅述，直接給出珠算減法的形式模型：

受限于版面,，珠算減法形式模型與算法的完整介紹請(qǐng)參考源代碼倉庫中的完整版論文,。

我國珠算乘法所用算法眾多,，分類繁雜,，按計(jì)算順序可分為“前乘法”和“后乘法”兩大類?！侗P珠算法》中最早記載了用累加實(shí)現(xiàn)乘法的“二字奇法”,，即“凡用分物，進(jìn)一隔位而除之。凡用見總,，退一隔位而加之……”,，而國人所熟悉的小九九乘法口訣，在南宋楊輝所著《乘除通算變寶》^[9]中有言：“因九九錯(cuò)綜而有合數(shù)陰陽,，凡八十一句,，今人求簡，止年四十五句,，余置不用……”,，這說明乘法口訣早在南宋以前就有了。20 世紀(jì) 50 年代,，珠算工作者施劍揚(yáng)和翁長金兩位打破傳統(tǒng)乘法的約束,，創(chuàng)作了“空盤前乘法”，華印椿對(duì)此酌加改進(jìn)充實(shí),，在《珠算教程》^[10]一書中加以介紹和推廣,。“空盤前乘法”在運(yùn)算時(shí),，乘數(shù)和被乘數(shù)都不撥在算盤上,，故有“空盤”之稱。所謂“前乘”,，即從乘數(shù)的首位乘起,，直到末位，把每一位與被乘數(shù)相乘的結(jié)果錯(cuò)位相加,，最后得到乘積,。這種算法相對(duì)傳統(tǒng)的珠算乘法減少了撥珠次數(shù)，提高了計(jì)算速度,，簡單易學(xué),，適合大眾。

珠算除法主要有“歸除法”（簡稱歸除）和“商除法”（簡稱商除）兩種,。因歸除熟練后運(yùn)算較快,，明代多用歸除，然而歸除所需口訣眾多（一位除時(shí)用“九歸訣”,，立商時(shí)用“撞歸口訣”,，需退商時(shí)用“退商口訣”），且口訣條目也分類繁雜,，形式化難度較大,。“商除法”起源于籌算商除法,，不用歸除口訣,，比歸除簡便,，計(jì)算方法與筆算除法相似，是筆算除法的珠算化,。商除的核心是商量而除之,，即“商除”是用心算權(quán)衡估量被除數(shù)和除數(shù)以確定商數(shù)。商除法與筆算除法相似,，易于理解,，形式化也較為簡單，故選商除法作為珠算除法形式模型的基礎(chǔ),。

有人以為算盤只能加減乘除,，不能開方，這其實(shí)是誤解,。1996年出版的《世界珠算通典》^[11]和 2002 年出版《數(shù)學(xué)辭?！?/span>^[12]都記錄了一種叫“折半開平方”的方法，但華印椿 1987 年所著《中國珠算史稿》--^[13]的珠算開方的歷史部分對(duì)其并沒有介紹,，推測可能是現(xiàn)代人所創(chuàng)之法,，該法所用口訣很少，運(yùn)算簡練,，以此設(shè)計(jì)珠算開平方的基礎(chǔ)模型，可降低建模的難度,。

同樣由于版面原因,，珠算空盤前乘法、商除法和折半開平方的形式模型與算法描述請(qǐng)讀者移步至源代碼倉庫,，閱讀完整版論文,。

中國珠算所形成的一套計(jì)算體系實(shí)際上是一種用中國古文表述的公理體系，這種體系（一種計(jì)算模型和算法）因其簡單性和便利性而被人們所采用,，并在中國古代的經(jīng)濟(jì)生活中不斷發(fā)展,、演變直到成熟。本文將這種中國古文表述的公理體系形式化,，對(duì)中國古代靠文字和經(jīng)商之士口口相傳的珠算口訣和規(guī)則的各個(gè)步驟進(jìn)行了明確定義,，將諸多需要心算的部分形式化，使得珠算算法可復(fù)現(xiàn),、可操作,，推翻了江曉原教授在《〈周髀算經(jīng)〉——中國古代唯一的公理化嘗試》^[14]一文所提出的“《周髀算經(jīng)》之后，構(gòu)建幾何模型的公理化方法就在古代中國絕響了”的觀點(diǎn),。

參考文獻(xiàn)：