在這個全球化的時代,，船舶與飛機這些現(xiàn)代化的交通工具對我們具有重要的意義。船舶承載著大部分的國際貿(mào)易,，運輸商品和資源,，連接世界各地的港口；飛機則使跨越國界的快速旅行成為可能,，讓人們能夠迅速到達(dá)目的地,。它們的存在極大地方便了我們的生活，并在促進全球化,、旅游業(yè)和經(jīng)濟發(fā)展方面發(fā)揮著不可或缺的作用,。相信大家也多少有乘坐飛機或輪船旅行的經(jīng)歷。但在航行當(dāng)中,，大家有沒有思考過,，我們在地球上以怎樣的方式運動著？

身處交通工具上的我們,，自然而然地感覺自己始終在平面上前進,，但眾所周知，地球是一個橢球體,，船舶始終在海平面上航行,，飛機距離地表的距離也基本穩(wěn)定，實際上我們是在沿球面上的某條弧前進,，旅行距離越遠(yuǎn),，如國際乃至洲際旅行，我們認(rèn)知的二維平面軌跡與實際的三維弧形軌跡相差也就越大。這種不可避免的認(rèn)知錯位正提示我們地圖投影的意義所在,。

從三維角度來說,，地球儀是呈現(xiàn)地球的最佳方式，可對于人類而言,，不僅是在攜帶,、查閱、測距等實際應(yīng)用上并不方便,，也背離了對簡便,、直觀的需要。所以即使在早已認(rèn)識到地球的真實形狀的今天,，我們?nèi)孕枰凸湃艘粯?，采用二維平面的方式呈現(xiàn)地球，也就是地圖,，只是要以科學(xué),、準(zhǔn)確的方式來呈現(xiàn)。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法和過程,，就是地圖投影,。

但曲面展開，其變形是必然的,，我們可以簡單想象一個剝橘子的場景,，不論通過什么方式剝下橘子皮，平攤在桌子上,，它肯定會發(fā)生褶皺,、拉伸或斷裂等現(xiàn)象，導(dǎo)致長度,、角度,、面積等幾何性質(zhì)的變形。所以并不存在完美的投影方法,，只能對不同的情況進行取舍,，將一部分幾何性質(zhì)完整保留。

（圖源 百度搜索）

地圖投影的分類方式有許多種,，如按變形性質(zhì)分為等角投影（角度不變）、等積投影（面積不變）和任意投影,；按投影軸與地軸關(guān)系分為正軸投影（重合）,、斜軸投影（斜交）與橫軸投影（垂直）；按投影面與地球表面關(guān)系分為切投影與割投影,；按正軸投影時經(jīng)緯網(wǎng)的形狀分為幾何投影（圓柱投影,、圓錐投影和方位投影）和條件投影（偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影,、多圓錐投影）,。在確定海空航線時,，最常用到的是墨卡托（Mercator)投影,，也可稱為正軸等角切圓柱投影，由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年首次創(chuàng)建,。由于沒有角度變形,，墨卡托投影地圖上的直線就是等角航線（沿著某一方向一直航行的路線），能夠相對準(zhǔn)確地顯示地點之間的真實方向,，所以在?？蘸叫蟹矫娴玫搅藦V泛應(yīng)用。

（圖源 維基百科）

在明確了地圖投影之后,，我們就可以利用平面地圖來確定航線,。首先，根據(jù)立體幾何原理,，沿兩點之間的大圓上的劣弧航行是最短的路線,，這種航線稱為大圓航線。但在大?；蚋呖罩泻叫?，并沒有地標(biāo)可供參考，只能依靠定位系統(tǒng)計算方位角（航向與北方向的夾角,，順時針方向,，0°-360°）來確定航向。所以最短的大圓航線在實際應(yīng)用中是不太現(xiàn)實的,，我們需要將其與墨卡托投影結(jié)合起來,，即在大圓航線上取若干點作為中途點，量取這些點的坐標(biāo),，并在墨卡托投影上連接這些點得到航線,，最后根據(jù)實際情況微調(diào)即可。如圖所示為西雅圖至倫敦的大圓航線與等角航線,。

（圖源 百度搜索）

更進一步,，能不能利用數(shù)學(xué)方法大概計算出起點與終點之間的航向呢？自然是可以的,，這實際上就是將地球看作正球體,，隨后計算球面上兩點的方位角。如圖所示,，在QGIS軟件中加載底圖,，我們以上海飛往新西蘭奧克蘭的航線為例，在墨卡托投影地圖上定位起點與終點并連線，量算航線的方位角即可得到航向角,，結(jié)果為方位角139.788927°,，即為向南偏東40.22°航行。

設(shè)起點經(jīng)緯度為lonA,，latA,，終點經(jīng)緯度lonB，latB（均為弧度）,，可用兩點間方位角公式計算得到航向角：

θ = arctan (sin(lonB-lonA)*cos(latB),

cos(latA)*sin(latB)-sin(latA)*cos(latB)*cos(lonB-lonA))

如代入上海（121°E,，31N°）與奧克蘭（173°E，36°S）,，南半球的奧克蘭將其緯度記為-36°S得到結(jié)果（角度）約140°,，就驗證了這個公式。