【學(xué)習(xí)導(dǎo)引】本期課我們學(xué)習(xí)正切函數(shù)和反三角函數(shù),。

一、正切函數(shù)的圖像
對于任意一個實(shí)數(shù)都有唯一確定的值與它對應(yīng).按照這個對應(yīng)法則所建立的函數(shù),，表示為,，叫做正切函數(shù).
我們利用單位圓上的正切線來作,的圖像，如圖所示:

由于,可知正切函數(shù)當(dāng),,...時的圖像與,，的圖像形狀一樣,，只需將后者圖像位置向右平移,、…;同理,，當(dāng),,...時的圖像與,的圖像形狀一樣，只需將后者圖像位置向左平移,、….
這樣就作出正切函數(shù)且的圖像.

因?yàn)?span>的定義域是且,所以它的圖像由無窮多支曲線組成，它們被直線,...,（即直線）隔開.

二、正切函數(shù)的性質(zhì)
（1）周期性
由誘導(dǎo)公式可知正切函數(shù)是周期函數(shù),，是正切函數(shù)的周期,，并且是最小正周期.
（2）奇偶性
由誘導(dǎo)公式可知正切函數(shù)是奇函數(shù).
（3）單調(diào)區(qū)間
在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).
（4）值域
由正切函數(shù)的定義可以得到它的值域是實(shí)數(shù)集,它既沒有最大值也沒有最小值.
類似地，可以研究余切函數(shù)的定義,、圖像和性質(zhì).

三,、反三角函數(shù)
三角函數(shù)都是周期函數(shù)，因此定義三角函數(shù)的映射不是一一對應(yīng)的,，從而三角函數(shù)不存在反函數(shù),。但是我們可以選擇自變量的取值范圍，使定義在此范圍上的函數(shù),，具有一一映射的特點(diǎn).
（1）反正弦函數(shù)
定義:把函數(shù)的反函數(shù),，叫做反正弦函數(shù)，記為:

對定義的理解：
①表示一個區(qū)間內(nèi)的角;
②這個角的正弦值為.
由反正弦函數(shù)的定義有：

由反函數(shù)知識可知:互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,，于是函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,如圖所示：

反正弦函數(shù)的主要性質(zhì):
①定義域和值域：
的定義域是[],值域是[],，且在時取到最小值.
②單調(diào)性:
由于正弦函數(shù)在[]上單調(diào)遞增，故其反函數(shù)在[]上也是單調(diào)遞增的.
③奇偶性:
由,，的圖像可知,，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，它是一個奇函數(shù),，且有.

（2）反余弦函數(shù)
定義:余弦函數(shù)上的反函數(shù),，叫做反余弦函數(shù)，記為:

對定義的理解：
①表示一個區(qū)間內(nèi)的角;
②這個角的余弦值為.

由反余弦函數(shù)的定義有：

反余弦函數(shù)的圖像如圖所示：

反余弦函數(shù)的主要性質(zhì):
①定義域和值域：
的定義域是[],值域是[],，且在時取到最大值,，時取到最小值.
②單調(diào)性:
由于余弦函數(shù)在[]上單調(diào)遞減，故其反函數(shù)在[]上也是單調(diào)遞減的.
③奇偶性:
由,，的圖像可知,，它的圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對稱，也不關(guān)于軸對稱,，它是一個非奇非偶函數(shù),，且有.

（3）反正切函數(shù)
定義:正切函數(shù)上的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù),，記作,它的定義域是,值域是.
對定義的理解：
①表示一個區(qū)間內(nèi)的角;
②這個角的正切值為.

由反正切函數(shù)的定義有：

反正切函數(shù)的圖像如圖所示：

（4）反余切函數(shù)
定義:余切函數(shù)上的反函數(shù),，叫做反余切函數(shù)，記作,它的定義域是,值域是.
對定義的理解：
①表示一個區(qū)間內(nèi)的角;
②這個角的余切值為.

由反余切函數(shù)的定義有：

反余切函數(shù)的圖像如圖所示：

反正切,、余切函數(shù)的性質(zhì):
①定義域和值域：
的定義域是,值域是; 的定義域是,值域是;
②單調(diào)性:
是上的增函數(shù);是上的減函數(shù).
③奇偶性:
是一個奇函數(shù),對任意有;
是一個非奇非偶函數(shù),，且對任意有.