突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)策略

崔靜靜, 柴文斌, 趙思林

摘要：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有意識地突出并引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)關(guān)注內(nèi)容的整體性,，強化數(shù)學(xué)整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì),；精心構(gòu)建情境問題，凸顯數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根源性本質(zhì),；全面分析概念的內(nèi)涵,，揭示數(shù)學(xué)概念的屬性本質(zhì)；深化認(rèn)識命題的關(guān)系,，構(gòu)建數(shù)學(xué)命題的邏輯本質(zhì),；發(fā)掘思考的美學(xué)指向，提煉數(shù)學(xué)內(nèi)核的思想本質(zhì),。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì)知識結(jié)構(gòu)情境問題數(shù)學(xué)思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“新課標(biāo)”)在“基本理念”中強調(diào)“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”:“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向……引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),。”在“教學(xué)建議”中指出：“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流,?！痹凇懊}建議”中指出：“需要突出內(nèi)容主線和反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論,、通性通法,、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實際應(yīng)用?！蓖瑫r,，在正文部分，“本質(zhì)”一詞共出現(xiàn)了28次,，除了“數(shù)學(xué)(內(nèi)容、知識)(的)本質(zhì)”,還涉及“事物的本質(zhì)”“問題的本質(zhì)”等,。

數(shù)學(xué)本質(zhì)一般是指數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別于其他學(xué)科的特征和屬性,，常常深藏在數(shù)學(xué)現(xiàn)象(情境、問題,、知識等)內(nèi)部,，隱藏在“建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系、感悟數(shù)學(xué)思想,、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問題,、再發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造數(shù)學(xué)”的過程中。數(shù)學(xué)本質(zhì)包括數(shù)學(xué)整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì),、數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根源性本質(zhì),、數(shù)學(xué)概念的屬性本質(zhì)、數(shù)學(xué)命題的邏輯本質(zhì)以及數(shù)學(xué)內(nèi)核的思想本質(zhì)等。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生,、發(fā)展,、應(yīng)用(數(shù)學(xué)問題解決)的探索、發(fā)現(xiàn)過程中,，有意識地突出并引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì),。

關(guān)注內(nèi)容的整體性，強化數(shù)學(xué)整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì)

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維,，它要求教學(xué)要跳出課時的限制,，從整體上把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。顯然,，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),，更上位地認(rèn)識學(xué)科本質(zhì)十分必要。通常教材中的章節(jié)就是天然的單元,，但依據(jù)知識蘊含的思想方法適當(dāng)?shù)貙滩恼鹿?jié)進行改造也很有必要,。

例如，人教版高中數(shù)學(xué)新教材(基于新課標(biāo)編寫)相比于舊教材,，《圓錐曲線的方程》一章刪去了《曲線與方程》一節(jié),，但這部分內(nèi)容是解析幾何的基礎(chǔ)，對學(xué)生理解坐標(biāo)法,，學(xué)習(xí)曲線的性質(zhì),，構(gòu)建嚴(yán)密的邏輯思維體系十分關(guān)鍵，因此,，這一單元的教學(xué)應(yīng)該對這一內(nèi)容進行補充,。同時，橢圓,、雙曲線,、拋物線三部分知識結(jié)構(gòu)極其相似，均從定義,、標(biāo)準(zhǔn)方程,、幾何性質(zhì)、應(yīng)用四個方面展開研究,，有內(nèi)在的統(tǒng)一性,，故建議這一單元的教學(xué)采用“總—分—總”的基本路徑進行整體構(gòu)建(1):

如圖1所示，首先,，利用教材章引言,，通過丹德林雙球模型，整體構(gòu)建圓錐曲線的概念,，以此揭示三種曲線的特性及其統(tǒng)一的內(nèi)在聯(lián)系,，引出大單元(整章)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，搭建大單元的學(xué)習(xí)脈絡(luò),，讓學(xué)生樹立全局意識,；然后，分別進行小單元任務(wù)學(xué)習(xí),，將學(xué)習(xí)內(nèi)容分解,、細化；最后,，引導(dǎo)學(xué)生對整個單元蘊含的思想方法進行總結(jié),，實現(xiàn)深度融合的升華。

精心構(gòu)建情境問題,，凸顯數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根源性本質(zhì)

在新課標(biāo)正文部分,，“情境”一詞共出現(xiàn)了79次，“問題”一詞共出現(xiàn)了335次,，且“情境與問題”位于體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面之首,，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)業(yè)質(zhì)量評價方面起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)要精心設(shè)計情境問題,，讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實情境(含非數(shù)學(xué)的其他科學(xué)情境)→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)模型”的數(shù)學(xué)抽象,、建模過程，體會“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)知識源于問題”等理念,，把握數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的根源性本質(zhì),。

例如，教學(xué)“計數(shù)原理和排列組合”時,，可設(shè)計如下從現(xiàn)實情境到數(shù)學(xué)問題,，再到數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)路徑：

現(xiàn)實情境 (1)將5個學(xué)生安排到4個社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個社區(qū)至少安排一個學(xué)生,，問：共有多少種不同的安排方法?

(2)將5個獎品分配給4個學(xué)生,，每個學(xué)生至少得到一個獎品，問：共有多少種不同的分配方法?

(3)5個人去住4個房間,，每個房間至少住一人,，問：共有多少種不同的住法?

數(shù)學(xué)問題 (1)設(shè)集合A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9},f是以A為定義域且以B為值域的函數(shù)，則這樣的函數(shù)f有多少個?

(2)設(shè)集合A={甲,，乙，丙,，丁,，戊},B={a,b,c,d},f是從A到B的映射且B中的每一個元素都有原象，則這樣的映射f共有多少個?

數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實情境(1)(2)(3)和數(shù)學(xué)問題(1)(2),都可用排列組合模型C 5 2 A 4 4 解決,。

這樣的學(xué)習(xí)過程即“情境—問題化,，問題—模型化”的“水平數(shù)學(xué)化”過程，學(xué)生能夠統(tǒng)一地解決諸如現(xiàn)實情境(1)(2)(3)和數(shù)學(xué)問題(1)(2)等的大量具體問題。反過來,，也可讓學(xué)生對排列組合模型C 5 2 A 4 4 賦予各種實際意義,，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)模型→現(xiàn)實情境”的應(yīng)用遷移過程。

此案例中,，現(xiàn)實情境(1)(2)(3)和數(shù)學(xué)問題(1)(2)的數(shù)學(xué)本質(zhì)是相同的,，它們都能抽象成計數(shù)模型C 5 2 A 4 4 。這樣的教學(xué),，就架起了數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實世界之間雙向溝通的橋梁,，既能增強學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，又為學(xué)生在今后面對新穎情境時能夠創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題打牢根基,。

全面分析概念的內(nèi)涵,，揭示數(shù)學(xué)概念的屬性本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架和思維方式的基石。全面分析概念的內(nèi)涵,，應(yīng)圍繞“是什么”“為什么”“如何用”等基本問題進行思考與探究(2),以揭示數(shù)學(xué)概念的屬性本質(zhì),。

例如，教學(xué)“偶函數(shù)的概念”時,，便可引導(dǎo)學(xué)生圍繞三個基本問題進行思考與探究：

問題1 如圖2,這是函數(shù)f(x)=x²的圖像,，它有什么對稱性?(關(guān)于y軸對稱。)

追問 這種軸對稱性有什么價值?或者說,，為什么要研究這樣的對稱性?(對稱是一種數(shù)學(xué)美,；利用對稱性可以簡便畫出圖像，高效研究性質(zhì),；其他軸對稱性可以通過平移或旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成這樣的軸對稱性,，等等。)

問題2 函數(shù)f(x)=x²的圖像關(guān)于y軸對稱,，如何用數(shù)的形式刻畫?[x²=(-x)²,。]

追問 為什么要用數(shù)的形式刻畫?(一是畫出圖像一般會有誤差，觀察圖像也會產(chǎn)生誤差,，因此僅憑感官獲得的結(jié)論不一定可靠,；二是當(dāng)函數(shù)的圖像難以甚至不能畫出時，就難以甚至不能觀察了,。)

問題3 若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,，則f(x)應(yīng)該滿足怎樣的代數(shù)關(guān)系?[(1)在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點P(x,f(x)),則函數(shù)圖像上的點P′(-x,f(-x))與其關(guān)于y軸對稱，故f(x)=f(-x);(2)在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點Q(x,f(x)),則其關(guān)于y軸對稱的點Q′(-x,f(x))在函數(shù)圖像上,，故f(x)=f(-x),。]

這里，問題1從特例入手,，指向“是什么”,凸顯形的定義,；問題2,、3從特殊到一般，指向“怎么用”,凸顯數(shù)的定義,；兩個追問均指向“為什么”,凸顯偶函數(shù)概念的價值,，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。由此,，深刻地揭示了偶函數(shù)的概念本質(zhì)(同時,，為建構(gòu)奇函數(shù)的概念搭建了可以類比的研究思路和方法)。

深化認(rèn)識命題的關(guān)系,，構(gòu)建數(shù)學(xué)命題的邏輯本質(zhì)

命題是表達(判斷)某些概念之間關(guān)系的語句,。數(shù)學(xué)知識以(真)命題為主，數(shù)學(xué)中的公式,、定理,、性質(zhì)、法則,、推論等都是(真)命題,。數(shù)學(xué)命題揭示了其“條件”與“結(jié)論”之間的關(guān)系本質(zhì)，即“條件”是“結(jié)論”的充分條件,。數(shù)學(xué)命題的獲得,，最好通過實驗、觀察,、推算等方式,，引導(dǎo)學(xué)生先作出猜想，再進行嚴(yán)密的論證,。數(shù)學(xué)命題的證明,，特別是幾何命題的證明，通常先采用分析法思考,，再利用綜合法表述,。命題不是孤立的，而是處在普遍的聯(lián)系,，即大量的相互關(guān)系中,。把握命題的關(guān)系本質(zhì)就是要構(gòu)建若干命題之間的邏輯關(guān)系(先后次序)。

例如,，對數(shù)的定義是構(gòu)建對數(shù)命題網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ),。根據(jù)該定義，可以推出一個等價關(guān)系：a^x=N?x=logaN,?；谶@個等價關(guān)系，又可進一步得到兩個對數(shù)恒等式：a^loga^N=N,logaa^x=x,。二者分別揭示了指數(shù)的算法和對數(shù)的算法,。根據(jù)這兩個對數(shù)恒等式，便可構(gòu)建對數(shù)運算性質(zhì)的命題網(wǎng)絡(luò),。即遵從邏輯順序：定義→等價關(guān)系→對數(shù)恒等式→積的對數(shù)運算性質(zhì)→商的對數(shù)運算性質(zhì)→冪的對數(shù)運算性質(zhì)→換底公式→其他推論形式,。

其中需要明確的是，商的對數(shù)運算性質(zhì)本質(zhì)上等價于積的對數(shù)運算性質(zhì),，冪的對數(shù)運算性質(zhì)實際上是積的對數(shù)運算性質(zhì)的一種推廣形式,，而其他推論又要基于積、商,、冪的對數(shù)運算性質(zhì),。具體教學(xué)時，可設(shè)計以下問題串引導(dǎo)學(xué)生探究：

問題 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,證明：loga(MN)=logaM+logaN,。(*)

追問1 猜想 log a Μ Ν 等于什么,，并仿照以上思路證明之。

追問2 當(dāng)M=N時,，(*)變成了什么?由此猜想并證明logaMⁿ等于什么,，logambⁿ等于什么。

追問3 如何綜合利用以上運算性質(zhì)證明換底公式： log a b= log c b log c a (a>0 且a≠1,c>0且c≠1,b>0) 

追問4 請根據(jù)換底公式推導(dǎo)logab與 1 log b a 之間的關(guān)系,。

追問5 試猜想loga1a2loga2a3loga3a4…·logan-1an等于什么,，并證明之。

追問6 試猜想loga1a2loga2a3…logan-1an·logana1等于什么,，并證明之,。

此外值得一提的是，教材在證明積的對數(shù)運算性質(zhì)時,，一開始就設(shè)M=a^m,N=aⁿ,。實際上，這種證明方法不夠自然,、清晰,，很多學(xué)生都反映自己“課上聽得懂，課下不會證”,。下面對此作出改進：

首先,，出示以下兩組式子，讓學(xué)生計算,，并對計算結(jié)果進行歸納猜想,，得到積的對數(shù)運算性質(zhì)(歸納后，也可讓學(xué)生再舉例子):

(1)log28=______,log232=______,log2(8×32)=______;

(2)log39=______,log327=______,log3(9×27)=______,。

其次,，引導(dǎo)學(xué)生證明積的對數(shù)運算性質(zhì)：

先用分析法思考。要證loga(MN)=logaM+logaN,只需證a^loga^M+loga^N=MN ,只需證a^loga^M·a^loga^N=MN,。因為a^loga^M=M,a^loga^N=N,所以a^loga^M·a^loga^N=MN是成立的,。

再用綜合法表述,。具體從略。

以上先分析后綜合的證明方法,，比一開始就設(shè)M=a^m,N=aⁿ自然多了,。學(xué)生掌握了這種證明方法，對其余幾個運算性質(zhì)的證明也就可以獨立完成了,。

發(fā)掘思考的美學(xué)指向,，提煉數(shù)學(xué)內(nèi)核的思想本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想內(nèi)蘊于數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展,、應(yīng)用(數(shù)學(xué)問題的解決)之中,，是數(shù)學(xué)教育需要幫助學(xué)生感悟(提煉)的重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)兼有科學(xué)和藝術(shù)的雙重特點,，數(shù)學(xué)思想常常表現(xiàn)為對美的追求,，比如喜愛“對稱”“和諧”、希望“簡潔”“統(tǒng)一”,、崇尚“創(chuàng)新”“奇異”等,。著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因認(rèn)為：“進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要驅(qū)動力是對美的追求?！币恍┙艹龅目茖W(xué)家從理論的和諧與簡潔的要求出發(fā),，有時憑一種審美直覺就能提出一個設(shè)想和猜測，而常常后來被證明是真的,。(3)數(shù)學(xué)教學(xué)中,，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思考的美學(xué)指向，從而把握數(shù)學(xué)內(nèi)核的思想本質(zhì),。

例如,，教學(xué)“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”時，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù) (x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a ,通過教材中“平方再平方”的方法得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化這一運算量比較大的方法,，感受審美直覺指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)思想：

師 左邊是兩個根式的和，還有其他更好的處理根號的方法嗎?從對稱美的角度可以想到什么?

生 想到兩個根式的差,。

師 有和有差,，可以怎樣?

生 相乘，通過平方差公式,，使左邊有理化,。

師 寫起來根號太多，不妨令 (x+c) 2 +y 2 =r 1 , (x-c) 2 +y 2 =r 2 ,則r1+r2=2a?(r1+r2)(r1-r2)=2a(r1-r2),然后呢?

生 因為(r1+r2)(r1-r2)=r 1 2 -r 2 2 =4xc,所以 r 1 -r 2 =2x c a ,所以 r 1 =a+x c a ,r 2 =a-x c a ,。后面代入,，就可以得到橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式了。

師 掌聲獻給她!利用對稱性,，由兩式加想到兩式減,，進而利用平方差公式得到比較簡單的結(jié)果,，以利于后續(xù)運算。其實,，這里得到的r1,、r2的表示也具有加減的對稱性。為什么會具有這樣的對稱性?由此,，你還能想到什么解法?

生 因為r1+r2=2a,所以r1、a,、r2是等差數(shù)列,，即r1、r2關(guān)于a對稱,，所以可設(shè)r1=a+t,r2=a-t,。

師 很好!這種處理方式被稱為“和差術(shù)”,在很多等式、不等式的轉(zhuǎn)化,、證明中都會用到,。不過，這里引入了一個參數(shù),，該如何處理呢?

生 還是平方差,，因為這樣算出來結(jié)果比較簡單，即4xc=4at,得 t=x c a ,。接下來,，把t再代回去，就又得到 r 1 =a+x c a , r 2 = a-x c a 了,。

師 他說得太棒啦!其實,，這得到的就是橢圓的焦半徑公式，這樣就很容易推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,?？梢姡恢灰敕朾(令a²-c²=b²,得 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ,并且發(fā)現(xiàn)b的幾何意義)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表達的簡潔美,、統(tǒng)一美,，就連改進橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程也要在對稱美、和諧美的引導(dǎo)下完成,。追求美是一種重要的數(shù)學(xué)思想,。

總之，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)需要教師具有深厚的數(shù)學(xué)功底,，能夠透過各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì),。當(dāng)然，數(shù)學(xué)本質(zhì)具有相對性和層次性等特點,，如可以認(rèn)為數(shù)學(xué)情境(問題)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(模型),數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想或關(guān)聯(lián)(結(jié)構(gòu)),。

參考文獻

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[2]展國培.合理制定教學(xué)目標(biāo)有效培育核心素養(yǎng)——“點到直線的距離”教學(xué)實錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2019(12):5-7。

[3]嚴(yán)加安.科學(xué)與藝術(shù)有共性也有交融[J].數(shù)學(xué)通報,2012(2):1-5,。

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