注解

一個以微分形式

表示的一階常微分方程,，它是線性還是非線性并不顯而易見，因為在這個形式中沒有告訴我們哪個符號表示依賴變量,。

在接下來的章節(jié)中,，我們將看到微分方程的解可能涉及到一個由積分定義的函數(shù)。通過一個定積分的方式定義一個關(guān)于單一變量 的函數(shù) 如下：

如果積分被積函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),，并且 ,，那么定積分的基本定理的導(dǎo)數(shù)形式表明 在區(qū)間 上可導(dǎo)，并且

式中的積分通常是非初等的,，即,，一個函數(shù) 的積分沒有初等函數(shù)的原函數(shù)。初等函數(shù)包括在典型的預(yù)微積分課程中學(xué)過的熟悉函數(shù)： 常數(shù),、多項式,、有理函數(shù)、指數(shù),、對數(shù),、三角和反三角函數(shù)， 以及這些函數(shù)的有理冪,；使用加法,、減法、乘法,、除法的這些函數(shù)的有限組合,；以及函數(shù)的復(fù)合。例如,，盡管 和 是初等函數(shù),，但積分 和 是非初等的,。

盡管在本節(jié)強(qiáng)調(diào)了微分方程的解的概念，但您應(yīng)該意識到微分方程并不一定必須具有解,。解是否存在的問題將在下一節(jié)中討論,。

如果 區(qū)間上的 階常微分方程 的每個解都可以從一個 個參數(shù)的族

中通過適當(dāng)選擇參數(shù) 獲得，那么我們稱該族是微分方程的一般解,。在解線性常微分方程時,，我們會對方程的系數(shù)施加相對簡單的限制；在這些限制下,，可以確保不僅在一個區(qū)間上存在解,，而且一組解提供了所有可能的解。非線性常微分方程,，除了一些一階方程外,，通常難以或不可能用初等函數(shù)來解。此外,，如果我們恰好獲得了一個非線性方程的解族,，不清楚該族是否包含所有解。因此,，在實際層面上,，“通解”這個稱號通常只適用于線性常微分方程。