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寫在前面 想看三角函數(shù)知識(shí)的讀者可以直接跳過(guò)這段文字,。 和其他文章慘淡的閱讀量相比,，這個(gè)系列的閱讀量簡(jiǎn)直是rocket up——尤其是第一期。這個(gè)公號(hào)的根本目的確實(shí)不是獲取流量,，但是這樣帶有一點(diǎn)科普性質(zhì)的內(nèi)容,，能夠得到推廣，也確實(shí)是達(dá)到了這幾篇文章的目的了,。只是我對(duì)往期內(nèi)容閱讀量的差異尤為好奇——為什么看起來(lái)枯燥的三角函數(shù)知識(shí)竟然會(huì)廣受歡迎,？對(duì)比（一）（二）兩期內(nèi)容，我似乎發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)端倪（兩期內(nèi)容的閱讀量都不同尋常,，但第一期仍然是第二期的五倍之多?。芸赡芘c標(biāo)題中的“三角函數(shù)的拓展”有關(guān)。 這里有兩個(gè)對(duì)比引發(fā)的問(wèn)題：一,，為什么這兩期數(shù)學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)超其他文章的閱讀量,；二，為什么這個(gè)系列的閱讀量遠(yuǎn)超同為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的《圓錐曲線論》,，以及為什么第一期的閱讀量遠(yuǎn)超第二期,。 首先第一個(gè)問(wèn)題使我想起了我暑期做輔導(dǎo)的經(jīng)歷,。當(dāng)時(shí)我的“簡(jiǎn)歷”上掛的是擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)和英語(yǔ)閱讀理解。包括與我“共事”的其他“同僚”中,，有人擅長(zhǎng)理科,，也有人擅長(zhǎng)文科。一個(gè)很明顯的現(xiàn)象是,，來(lái)咨詢理科的人遠(yuǎn)超咨詢文科的人,。這當(dāng)然與理科的顯然難度與其輔導(dǎo)的容易性有關(guān)，但更深層次地,，我還是認(rèn)為目前人們（在輔導(dǎo)事件中,，指的是學(xué)生）對(duì)文科的重視程度遠(yuǎn)低于理科。 第二個(gè)問(wèn)題,，顯然這個(gè)系列的內(nèi)容與廣大師生（尤其是學(xué)生）密切相關(guān),，而至于為什么第一期的閱讀量遠(yuǎn)超第二期，上面說(shuō)過(guò),，與“三角函數(shù)的拓展”這個(gè)標(biāo)題有關(guān)系——本文的主要受眾是初高等數(shù)學(xué)銜接階段的人群,，但我相信有一大批仍處于初等數(shù)學(xué)階段的讀者，看到這個(gè)標(biāo)題非常高興,。就像他們看到類似“更高更妙的數(shù)學(xué)解題方法”的題目一樣高興,。自然，這體現(xiàn)了廣大學(xué)生的上進(jìn)心,，但是如果被這樣的標(biāo)題吸引,，卻是值得警惕的。事實(shí)上,，有太多這樣的所謂“拓展知識(shí)”“巧妙解法”在坑害同學(xué)們,，往往使同學(xué)們學(xué)了以后忘了知識(shí)的基礎(chǔ)與通解——而這是初高中數(shù)學(xué)的大忌。不過(guò)還是怪我取題目時(shí)考慮不夠周到,，不知道有多少人點(diǎn)進(jìn)這篇文章,，發(fā)現(xiàn)跟自己想看的不太一樣。當(dāng)然,，多了解一些課外的知識(shí)是不錯(cuò)的,，只是要在基礎(chǔ)牢固的前提下，也要在保證考試得分的情況下——這是應(yīng)試的現(xiàn)狀,。不過(guò)這驚人的閱讀量確實(shí)暴露了群眾的功利心,，這功利心大概也怪不了讀者本身，上面說(shuō)了,，這是應(yīng)試的現(xiàn)狀,。 這兩個(gè)問(wèn)題并不是毫無(wú)關(guān)聯(lián)的。簡(jiǎn)單地講,，正是功利心的上位,，導(dǎo)致了重心向理科的偏斜,。中國(guó)自古以來(lái)強(qiáng)調(diào)“學(xué)以致用”，因此一切學(xué)問(wèn),，或?yàn)榭既」γ?，“學(xué)而優(yōu)則仕”，或?yàn)閷?shí)際生產(chǎn)所用,，但沒(méi)有純粹的為了學(xué)術(shù)的學(xué)術(shù),。這樣的結(jié)果,，是我國(guó)古代科技一度領(lǐng)先世界,，但真正的科學(xué)精神又沒(méi)有得到涵養(yǎng)。體現(xiàn)在當(dāng)下,，仍然是功利主義,、實(shí)用主義占主流，選專業(yè)時(shí)的重理輕文就是典例……不過(guò)這也扯遠(yuǎn)了,。 閑話已經(jīng)太多,，以下是本期目錄及正文。
1 回顧：反三角函數(shù)的定義域與值域 上次說(shuō)過(guò),，定義域是函數(shù)的靈魂,。因此我們有必要回顧一下反三角函數(shù)的定義域，以及值域：
并且再次貼上上次歸納的特點(diǎn)： （3）“弦”的三角函數(shù)都為閉區(qū)間,，“切”的三角函數(shù)都為開區(qū)間,。 2 從y=sin(arcsin x)與y=arcsin(sin x)說(shuō)起 高中和大學(xué)都不講的三角函數(shù)知識(shí)（二）——反三角函數(shù)的定義與基本運(yùn)算 2.1 y=sin(arcsin(x))與y=arcsin(sin(x)) 這里我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,，作出下面兩個(gè)函數(shù)的圖象：
這兩個(gè)問(wèn)題放在一起的時(shí)候看起來(lái)非常迷惑,，但是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/span>換元法會(huì)幫助我們解決這個(gè)問(wèn)題?；镜乃枷刖褪前选癮rcsin XX”設(shè)為α,。第（1）個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，過(guò)程如下：
注意：任何換元伴隨著新元的取值范圍,。 最終的圖象是直線y=x在(-1,-1)到(1,1)的一段。 但是第二個(gè)問(wèn)題沒(méi)有表面上看起來(lái)那么簡(jiǎn)單,，按照一般的換元思路,，我們首先得到：
而g(x)=α，也就是說(shuō),，圖象是α與x的關(guān)系,，而且α必須在一定范圍內(nèi),。首先根據(jù)sin α=sin x可以得到
根據(jù)α的范圍又有
即
綜上,，得到g(x)的表達(dá)式為
至于圖象，大致如下：
2.2 三角函數(shù)與反三角函數(shù)的混合運(yùn)算 利用換元法,，我們可以得到以下混合運(yùn)算的結(jié)果：
過(guò)程就不再贅述,。這里只列舉了“三角函數(shù)(反三角函數(shù)(x))”的結(jié)果，是因?yàn)樗鼈兊亩x域是有限的,，較為簡(jiǎn)單,；而“反三角函數(shù)(三角函數(shù)(x))”則較為復(fù)雜，有興趣的讀者可以自行研究,。 有了前面定義域和值域的鋪墊,，再加上反函數(shù)的兩條性質(zhì)： （2）相同區(qū)間內(nèi)反函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性一致. 性質(zhì)（1）已經(jīng)在高中數(shù)學(xué)課程中學(xué)過(guò),，性質(zhì)（2）是顯然的。從感性的角度理解,，“x越大y越大”和“y越大x越大”都是單調(diào)遞增,，單調(diào)遞減同理。 于是,，我們根據(jù)對(duì)稱性得到下列反三角函數(shù)的圖象： 3.1 函數(shù)y=arcsin(x)的圖象
3.2 函數(shù)y=arccos(x)的圖象
3.3 函數(shù)y=arctan(x)的圖象
3.4 函數(shù)y=arccot(x)的圖象
4 反三角函數(shù)的公式 最后,，我們來(lái)學(xué)習(xí)反三角函數(shù)的一些基本公式。 4.1 負(fù)數(shù)關(guān)系 顯然反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)是奇函數(shù),，所以有
從圖上可以看出反余弦函數(shù)與反余切函數(shù)有對(duì)稱中心(0,π/2),，故有
但這一點(diǎn)最好還是加以嚴(yán)格的證明：
上面四個(gè)公式稱為反三角函數(shù)的負(fù)數(shù)關(guān)系。 4.2 余角關(guān)系 同樣地,，運(yùn)用換元法,，可以得到下列反三角函數(shù)的余角關(guān)系：
其中f(x)與g(x)互為反函數(shù)。由此可以得到反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表：
5 總結(jié) 本節(jié)在回顧反三角函數(shù)的定義域和值域的基礎(chǔ)上,，通過(guò)三角函數(shù)與反三角函數(shù)的混合運(yùn)算加深了對(duì)換元法應(yīng)用的認(rèn)識(shí),，并借此研究三角函數(shù)的圖象與相關(guān)公式。 |
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