必刷小題13　立體幾何

一、單項選擇題

1．如圖,，用斜二測畫法作水平放置的正三角形A₁B₁C₁的直觀圖,，則正確的圖形是(　　)

答案　A

解析　以B₁C₁所在直線為x軸,，以B₁C₁邊上的高為y軸建立坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的x′,，y′軸,，使夾角為45°，畫直觀圖時與x軸平行的線段長度保持不變,，與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄缓笕サ糨o助線即可得到正三角形的直觀圖,，如圖．

2．下列四個命題中,，正確的是(　　)

A．各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱

B．對角面是全等矩形的六面體一定是長方體

C．有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

D．長方體一定是直四棱柱

答案　D

解析　對于A，底面是菱形的直平行六面體,，滿足條件但不是正棱柱,；對于B，底面是等腰梯形的直棱柱,，滿足條件但不是長方體,；C顯然錯誤；長方體一定是直四棱柱,，D正確．

3．從平面外一點P引與平面相交的直線,，使P點與交點的距離等于1，則滿足條件的直線可能有(　　)

A．0條或1條                                 B．0條或無數(shù)條

C．1條或2條                                 D．0條或1條或無數(shù)條

答案　D

解析　當(dāng)點P到平面的距離大于1時,，沒有滿足條件的直線,；當(dāng)點P到平面的距離等于1時，滿足條件的直線只有1條,；當(dāng)點P到平面的距離小于1時,，滿足條件的直線有無數(shù)條．

4．已知m，n表示兩條不同的直線,，α,，β表示兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　)

A．若m∥α,，n⊥β,，m∥n，則α⊥β

B．若m⊥n,，m⊥α,，n∥β，則α∥β

C．若α⊥β,，m⊥α,，m⊥n，則n∥β

D．若α⊥β,，α∩β＝m,，n⊥m,，則n⊥β

答案　A

解析　對于A，由m∥α,，m∥n,，得到：

若n∥α，過n的平面γ∩α＝l,，則n∥l,，

又n⊥β，則l⊥β,，l?α,，則α⊥β，

若n?α,，又n⊥β,，則α⊥β.綜上，α⊥β,，故A正確,；

對于B，若m⊥n,，m⊥α,，n∥β，則α與β相交或平行,，故B錯誤,；

對于C，若α⊥β,，m⊥α,，m⊥n，則n與β相交,、平行或n?β,，故C錯誤；

對于D,，若α⊥β,，α∩β＝m，n⊥m,，則n與β相交或n?β,，故D錯誤．

5．已知直線a，b,，l和平面α,，β，a?α,，b?β,，α∩β＝l,，且α⊥β.對于以下命題，判斷正確的是(　　)

①若a,，b異面,，則a，b至少有一個與l相交,；

②若a,，b垂直，則a,，b至少有一個與l垂直．

A．①是真命題,，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

C．①是假命題,，②是假命題

D．①是真命題,，②是真命題

答案　D

解析　對于①,，若a,，b都不與l相交，

則只有一種可能,，即a,，b均平行于l，則a∥b,，

∴若a,，b異面，則a,，b至少有一個與l相交,，故①正確；

對于②,，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得：

若a,，b垂直，則a⊥β,，或b⊥α,，故a，b至少有一個與l垂直,，故②正確．

6．(2023·徐州模擬)圓柱形玻璃杯中盛有高度為10 cm的水,，若放入一個玻璃球(球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同)后，水恰好淹沒了玻璃球,，則玻璃球的半徑為(　　)

A. cm  B．15 cm  C．10 cm  D．20 cm

答案　B

解析　根據(jù)題意,，玻璃球的體積等于放入玻璃球后水柱的體積減去原來水柱的體積；

設(shè)玻璃球的半徑為r,，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為r,；

則玻璃球的體積為πr³,，圓柱的底面面積為πr²，

放入一個玻璃球后,，水恰好淹沒玻璃球,，

此時水面的高度為2r，所以πr³＝πr²(2r－10),，解得r＝15(cm)．

7．蹴鞠,，又名蹴球，踢圓等,，蹴有用腳蹴,、踢、蹋的含義,，鞠最早系外包皮革,、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋,、踢皮球的活動,，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠的表面上有五個點P,，A,，B，C,，D恰好構(gòu)成一正四棱錐P－ABCD,，若該棱錐的高為8，底面邊長為4,，則該鞠的表面積為(　　)

A．64π  B．100π  C．132π  D．144π

答案　B

解析　正四棱錐P－ABCD的底面是正方形,，底面邊長為4，高為8,，如圖所示,，

所以正四棱錐P－ABCD的底面對角線的長為4×＝8，

設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R,，則R²＝(8－R)²＋4²,，解得R＝5，

所以球的表面積為S＝4π·R²＝4π×25＝100π,，即該鞠的表面積為100π.

8. 某同學(xué)畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱,，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體)，發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓(如圖所示)．若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為,，則“切面”所在平面與底面所成的角為(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示,，作DE⊥BC交BC于點E，則∠CDE為“切面”所在平面與底面所成的角,，設(shè)為θ.

設(shè)底面圓的直徑為2r,，則CD為橢圓的長軸2a,，短軸為2b＝DE＝2r，

則橢圓的長軸長2a＝|CD|＝,，即a＝,，

所以橢圓的離心率為e＝＝＝＝＝sinθ，所以θ＝.

9．(2023·安慶模擬)已知球O的半徑為R,，A,，B，C三點在球O的球面上,，球心O到平面ABC的距離為R,，AB＝AC＝，∠BAC＝120°,，則球O的表面積為(　　)

A．48π  B．16π  C．32π  D.π

答案　A

解析　在△ABC中,，由余弦定理，得BC＝＝3,，

設(shè)△ABC外接圓半徑為r,，

由正弦定理2r＝＝2，得r＝,，

又R²＝R²＋3,，∴R²＝12,，

∴球O的表面積為4πR²＝48π.

10. (2022·北京模擬)在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示,，VA，VB,，VC兩兩垂直,，VA＝VB＝VC＝1(單位：dm)，小明同學(xué)計劃通過側(cè)面VAC內(nèi)任意一點P將木塊鋸開,，使截面平行于直線VB和AC,，則該截面面積(單位：dm²)的最大值是(　　)

A. dm²                                           B. dm²

C. dm²                                         D. dm²

答案　B

解析　根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi),，過點P作EF∥AC分別交VA,，VC于點F，E,，

在平面VBC內(nèi),，過點E作EQ∥VB交BC于點Q，

在平面VAB內(nèi),，過F作FD∥VB交AB于點D,，連接DQ，如圖所示,，

因為EF∥AC,，

所以△VEF∽△VCA,，設(shè)其相似比為k，

則＝＝＝k,，

因為VA＝VB＝VC＝1,，所以AC＝，即EF＝k,，

因為FD∥ VB,，

所以△AFD∽△AVB，即＝＝,，

因為＝＝1－k,，

所以＝＝1－k，即FD＝1－k,，

同理△CEQ∽△CVB,，即＝＝＝1－k，

即EQ＝1－k,，

所以FD∥EQ,，且FD＝EQ，

所以四邊形FEQD為平行四邊形,，

因為VB⊥VC,，VB⊥VA，VA∩VC＝V,，VA?平面VAC,，VC?平面VAC，

所以VB⊥平面VAC,，

因為FD∥VB,，

所以FD⊥平面VAC，

因為EF?平面VAC,，

所以FD⊥EF,，

所以四邊形FEQD是矩形，即S_矩形FEQD＝FD·EF＝(1－k)·k＝－²＋,，

所以當(dāng)k＝時,，S_矩形FEQD有最大值.

故該截面面積的最大值是 dm².

二、多項選擇題

11. 如圖所示,，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,，E是平面ADD₁A₁的中心，M,，N,，F分別是B₁C₁，CC₁，AB的中點,，則下列說法正確的是(　　)

A．MN＝EF

B．MN≠EF

C．MN與EF異面

D．MN與EF平行

答案　BC

解析　設(shè)正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2a,，

則MN＝＝＝a，

作點E在平面ABCD內(nèi)的射影點G,，

連接EG,，GF，

所以EF＝＝

＝a,，

所以MN≠EF,，故選項B正確，A錯誤,；

連接DE,，因為E為平面ADD₁A₁的中心，

所以DE＝A₁D,，

又因為M,，N分別為B₁C₁，CC₁的中點,，

所以MN∥B₁C,，

又因為B₁C∥A₁D，所以MN∥ED,，

且DE∩EF＝E,，

所以MN與EF異面，故選項C正確,，D錯誤．

12．(2023·忻州模擬)如圖,，已知在邊長為6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°,，點E,，F分別是線段AD,，BC上的點．且AE＝BF＝2.將四邊形ABFE沿EF翻折,，當(dāng)折起后得到的幾何體AED－BFC的體積最大時，給出下列說法,，其中正確的說法有(　　)

A．AD⊥EF

B．BC∥平面ADE

C．平面DEFC⊥平面ABFE

D．平面ADE⊥平面ABFE

答案　BC

解析　將四邊形ABFE沿EF翻折,，得到幾何體AED－BFC，

在幾何體AED－BFC中,，DE∥CF,，CF?平面CFB，DE?平面CFB,，

∴DE∥平面CFB,，又AE∥BF，BF?平面CFB，AE?平面CFB,，∴AE∥平面CFB,，

∵AE∩DE＝E，∴平面CFB∥平面ADE,，

∵BC?平面CFB,，∴BC∥平面ADE，故B正確,；

如圖,，過點D作DH⊥EF，交EF于H,，過H作HG⊥AB,，交AB于點G，

過點C作CN⊥EF,，交EF的延長線于N,，過點N作NM⊥AB，交AB的延長線于點M,，如圖所示,，

則四棱錐C－BFNM與D－AEHG是全等的兩個四棱錐，

∵NM⊥AB,，則NM⊥EF,，又CN⊥EF，NM∩CN＝N,，

∴EF⊥平面CMN,，∴EF⊥平面DHG，

∵D∈平面DHG,，A?平面DHG,，則AD與EF不垂直，故A錯誤,；

三棱柱CNM－DHG為直三棱柱,，

幾何體AED－BFC的體積與三棱柱CNM－DHG體積相同，

三棱柱CNM－DHG的體積V＝S_△CNM·NH,，

在Rt△DEH中,，DE＝4，∠EDH＝30°,，∴EH＝2,，

又EF＝6，NF＝EH,，∴NH＝6,，

當(dāng)S_△CNM面積最大時,，幾何體AED－BFC的體積最大，

當(dāng)NM⊥CN時,，S_△CNM面積取最大值,，

∵NM⊥NE，NE∩CN＝N,，則MN⊥平面DEFC,，

又NM?平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面DEFC,，故C正確,；

若平面ADE⊥平面ABFE，由平面ADE∩平面ABFE＝AE,，

過D有兩條直線DH′,，DH與平面ABFE垂直，

這與過平面外一點有且只有一條直線與平面垂直相矛盾,，故D錯誤．

三,、填空題

13．(2023·榆林模擬)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形,，PA⊥底面ABCD,，且PA＝AB，AD＝AB,，則tan∠APC＝________.

答案　2

解析　∵PA⊥底面ABCD,，AC?底面ABCD，∴PA⊥AC,，

設(shè)AB＝1,，則PA＝1，AD＝,，AC＝＝2,，∴tan∠APC＝＝2.

14.(2022·安慶模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中,，點O為AB的中點,，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰為OB的中點E，已知AB＝2PO＝2,，點C到OP的距離為,，則當(dāng)∠ACB最大時，直線PC與平面PAB所成角的大小為 ________.

答案　

解析　∵點C到OP的距離為,，

∴點C是以OP為旋轉(zhuǎn)軸，為底面半徑的圓柱與平面ABC的公共點,，

即點C的軌跡是以AB為焦距,，以2為短軸長的橢圓，

由橢圓的對稱性可知，

當(dāng)∠ACB最大時,，AC＝BC＝2,，CO⊥AB，

∵點P在平面ABC內(nèi)的射影恰為OB的中點E,，

∴PE⊥平面ABC,，

∵PE?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC,，

平面PAB∩平面ABC＝AB,，OC?平面ABC，

∴CO⊥平面PAB,，

∴∠CPO是直線PC與平面PAB所成的角,，

∵CO＝，OP＝1,，

∴tan∠CPO＝＝,，∴∠CPO＝.

15. 如圖所示，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,，AB＝3,，AD＝4，AA₁＝5,，點E是棱CC₁上的一個動點,，若平面BED₁交棱AA₁于點F，則四棱錐B₁－BED₁F的體積為________,，截面四邊形BED₁F的周長的最小值為 ________.

答案　20　2

解析　由題意可得,，D₁F∥BE，

則

＝×

＝×＝20,；

將長方體展開,，如圖所示，當(dāng)點E為BD₁與CC₁的交點,，F為BD₁與AA₁的交點時,，截面四邊形BED₁F的周長最小，最小值為2BD₁＝2＝2.

16. (2023·北京模擬)如圖,，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2,，點O為底面ABCD的中心，點P在側(cè)面BB₁C₁C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動．給出下列四個結(jié)論：

①D₁O⊥AC,；

②存在一點P,，D₁O∥B₁P；

③若D₁O⊥OP,，則△D₁C₁P面積的最大值為,；

④若P到直線D₁C₁的距離與到點B的距離相等,，則P的軌跡為拋物線的一部分．

其中所有正確結(jié)論的序號是 ________.

答案　①③

解析　對于①，連接AD₁,，CD₁,，如圖，由正方體的性質(zhì)知△ACD₁為等邊三角形,，由于O為底面ABCD的中心,，故O為AC的中點，故AC⊥D₁O,，①正確,；

對于②，將D₁O 進(jìn)行平移到過B₁點,，使之與B₁P 具有公共頂點,，如圖，根據(jù)立體圖形判斷,，無論如何也不可能滿足B₁H平行或重合于B₁P,，所以D₁O不可能平行于B₁P，②錯誤,；

對于③,，取B₁B的中點E，連接OE,，EC,，BD，D₁E,，如圖,，易證明D₁O⊥平面OEC，所以P在線段EC上運(yùn)動,，當(dāng)點P到點E位置時,，C₁P最大，此時△D₁C₁P的面積最大為＝×2×＝,，所以③正確,；

對于④，P到直線D₁C₁的距離為線段PC₁的長度,，所以|PC₁|＝|PB|,，判定出P點在直線BC₁的垂直平分線上，故④錯誤．