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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考版) 第7章 §7-2 球的切,、接問題[培優(yōu)課]

 中小學(xué)知識學(xué)堂 2023-06-29 發(fā)布于云南

§7.2 球的切,、接問題

球的切、接問題,,是歷年高考的熱點內(nèi)容,,經(jīng)常以客觀題出現(xiàn).一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題,,考查球的體積與表面積,,其關(guān)鍵點是確定球心.

題型一 定義法

1 (1)(2023·宣城模擬)在三棱錐PABC中,,PA⊥平面ABC,,PA2,,AB2AC4,,∠BAC45°,則三棱錐PABC外接球的表面積是(  )

A14π  B16π  C18π  D20π

答案 D

解析 BAC中,,BAC45°,,AB2,,AC4,,

由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos 45°8162×4×2×8,,

BC2AB2AC2,,所以BCAB

PA平面ABC,,BC?平面ABC,,得PABC,又PAABA,,PA,,AB?平面PAB

所以BC平面PAB,,

所以BCPB,,

所以PBC為直角三角形,

PAC為直角三角形,,

所以PC是三棱錐PABC外接球直徑,,設(shè)OPC的中點,即為球心,,

AC4,,PA2

所以PC2,,

所以外接球半徑為,,

所以所求外接球的表面積S×()220π.

(2)(2022·新高考全國)已知正三棱臺的高為1,上,、下底面邊長分別為34,,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(  )

A100π                                          B128π

C144π                                           D192π

答案 A

解析 由題意,,得正三棱臺上,、下底面的外接圓的半徑分別為××33,,××44.

設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1,,O2,,連接O1O2(圖略),則O1O21,,其外接球的球心O在直線O1O2上.

設(shè)球O的半徑為R,,當(dāng)球心O在線段O1O2上時,R232OO42(1OO1)2,,解得OO14(舍去),;

當(dāng)球心O不在線段O1O2上時,R242OO32(1OO2)2,,解得OO23,,

所以R225

所以該球的表面積為R2100π.

綜上,,該球的表面積為100π.

思維升華 到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,,則球心一定在垂線上,,再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑,列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練1 已知直三棱柱ABCA1B1C16個頂點都在球O的球面上,,若AB3,,AC4ABAC,,AA112,則球O的半徑為(  )

A.  B2  C.  D3

答案 C

解析 由題意作圖如圖,,過球心O作平面ABC的垂線,,則垂足為BC的中點M.

AB3AC4,,ABAC,,BC5,又AMBC,,OMAA16,,

O的半徑ROA.

題型二 補形法

2 (1)(2023·大慶模擬)在正方形ABCD中,E,,F分別為線段AB,,BC的中點,連接DE,,DF,,EF,,將△ADE,△CDF,,△BEF分別沿DE,,DFEF折起,,使A,,BC三點重合,,得到三棱錐ODEF,,則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為(  )

A.2  B4  C2  D.

答案 C

解析 因為在正方形ABCD中,ADAE,,CDCF,,BEBF

所以折起后OD,,OE,,OF兩兩互相垂直,

故該三棱錐的外接球,,即以OD,,OEOF為棱的長方體的外接球.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2,,則OD2,,OE1OF1,,

2R,,則R.

設(shè)內(nèi)切球球心為I,由VODEF·SOEF·OD,,三棱錐ODEF的表面積S4,,

VODEFVIODEVIODFVIOEFVIDEFSr

所以r,,則有2.

(2)如圖,,在多面體中,四邊形ABCD為矩形,,CE⊥平面ABCD,,AB2BCCE1,,通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱,,那么添加的三棱錐的體積為________,補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________

答案  

解析 如圖,添加的三棱錐為直三棱錐EADF,,

可以將該多面體補成一個直三棱柱ADFBCE,,

因為CE平面ABCDAB2,,

BCCE1,,

所以SBCECE×BC×1×1

直三棱柱ADFBCE的體積

VSBCE·AB×21,,

添加的三棱錐的體積為V.

方法一 如圖,,分別取AFBE的中點M,,N,,連接MN,與AE交于點O,,

因為四邊形AFEB為矩形,,所以OAEMN的中點,,在直三棱柱ADFBCE中,,CE平面ABCD

所以FD平面ABCD,,即ECBFDA90°,,所以上、下底面為等腰直角三角形,,直三棱柱的外接球的球心即為點O,,AO即為球的半徑,

因為AMAF,,MO1,,

所以AO2AM2MO21

所以外接球的表面積為4π·AO26π.

方法二 因為CE,,CB,,CD兩兩垂直,故將直三棱柱ADFBCE補成長方體,,設(shè)外接球的半徑為R,則4R21212226,,所以外接球的表面積SR26π.

思維升華 (1)補形法的解題策略

側(cè)面為直角三角形,,或?qū)饩嗟鹊哪P秃驼拿骟w,可以還原到正方體或長方體中去求解,;直三棱錐補成三棱柱求解.

(2)正方體與球的切,、接問題的常用結(jié)論

正方體的棱長為a,球的半徑為R

若球為正方體的外接球,,則2Ra,;

若球為正方體的內(nèi)切球,則2Ra,;

若球與正方體的各棱相切,,則2Ra.

(3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為ab,,c,,外接球的半徑為R,則2R.

跟蹤訓(xùn)練2 (1)在三棱錐ABCD中,,側(cè)棱AB,,ACAD兩兩垂直,,△ABC,,△ACD,△ADB的面積分別為,,,,,則三棱錐ABCD的外接球的體積為(  )

A.π  B2π  C3π  D4π

答案 A

解析 在三棱錐ABCD中,,側(cè)棱AB,,ACAD兩兩垂直,,將其補成長方體,,兩者的外接球是同一個,長方體的體對角線就是球的直徑.

設(shè)長方體同一頂點處的三條棱長分別為a,,b,,c,由題意得ab,,ac,,bc

解得a,,b,,c1,所以球的直徑為,,它的半徑為,,球的體積為×3π.

(2)(2023·焦作模擬)已知三棱錐PABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等,且PA3,,PBPC5,,則該三棱錐的外接球的表面積為________

答案 34π

解析 根據(jù)題意,,三棱錐PABC可以嵌入一個長方體內(nèi),且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線,,設(shè)長方體交于一個頂點的三條棱長分別為a,,bc,,如圖所示,,

a2b2PA218a2c2PB225,,b2c2PC225,,解得a3b3,,c4.所以該三棱錐的外接球的半徑R,,所以該三棱錐的外接球的表面積SR2×234π.

題型三 截面法

3 (1)四棱錐PABCD的頂點都在球O的表面上,△PAD是等邊三角形,,底面ABCD是矩形,,平面PAD⊥平面ABCD,若AB2,,BC3,,則球O的表面積為(  )

A12π  B16π  C20π  D32π

答案 B

解析 如圖,連接AC,,BD,,ACBDG,取AD的中點E,,連接PE.

四邊形ABCD為矩形,,G為四邊形ABCD的外接圓圓心;

在線段PE上取MEPE,,

∵△PAD為等邊三角形,,MPAD外接圓圓心,

G,,M分別作平面ABCD和平面PAD的垂線,,則兩垂線的交點即為球O的球心O,連接OP,,

∵△PAD為等邊三角形,,PEAD

平面PAD平面ABCD,,平面PAD平面ABCDAD,,PE?平面PAD

PE平面ABCD,,PEOG,;

同理可得,OMEG,,四邊形OMEG為矩形,;

OMEGAB1PMPE×,,

OP2,,即球O的半徑R2

O的表面積SR216π.

(2)如圖所示,,直三棱柱ABCA1B1C1是一塊石材,,測量得∠ABC90°AB6,,BC8,,AA113.若將該石材切削、打磨,,加工成幾個大小相同的健身手球,,則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為(  )

A.4                                         B.,,3

C,,4                                         D.3

答案 D

解析 依題意知,,當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時,,健身手球的體積最大.易知AC10,設(shè)健身手球的半徑為R,,則×(6810)×R×6×8,,解得R2.

則健身手球的最大直徑為4.

因為AA113,所以最多可加工3個健身手球.

于是一個健身手球的最大體積VπR3π×23.

思維升華 (1)與球截面有關(guān)的解題策略

定球心:如果是內(nèi)切球,,球心到切點的距離相等且為半徑,;如果是外接球,球心到接點的距離相等且為半徑,;

作截面:選準最佳角度作出截面,,達到空間問題平面化的目的.

(2)正四面體的外接球的半徑Ra,內(nèi)切球的半徑ra,,其半徑之比Rr31(a為該正四面體的棱長)

跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·淮北模擬)半球內(nèi)放三個半徑為的小球,,三小球兩兩相切,并且與球面及半球底面的大圓面也相切,,則該半球的半徑是(  )

A1  B.  C.  D.

答案 D

解析 三個小球的球心O1,,O2O3構(gòu)成邊長為2的正三角形,,則其外接圓半徑為2.設(shè)半球的球心為O,,小球O1與半球底面切于點A.

如圖,,經(jīng)過點OO1,,A作半球的截面,,則半圓O的半徑為OCOCOA,,作O1BOC于點B.

OAO1B2.設(shè)該半球的半徑是R,,在RtOAO1中,由(R)222()2可得R.

(2)(2021·天津)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,,頂點均在球面上,,若球的體積為,兩個圓錐的高之比為13,,則這兩個圓錐的體積之和為(  )

A3π  B4π  C9π  D12π

答案 B

解析 如圖所示,,設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點D

設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為31,,

AD3BD,,

設(shè)球的半徑為R,則,,可得R2,,

所以ABADBD4BD4

所以BD1,,AD3,,

因為CDABAB為球的直徑,,

所以ACD∽△CBD,,

所以,所以CD,,

因此,,這兩個圓錐的體積之和為

π×CD2·(ADBD)π×3×44π.

課時精練

1(2023·岳陽模擬)已知一個棱長為2的正方體的頂點都在某球面上,則該球體的體積為(  )

A.π  B4π  C8π  D12π

答案 B

解析 因為正方體的體對角線等于外接球的直徑,,且正方體的棱長為2,,

故該球的直徑2R2.所以R.故該球的體積VπR34π.

2.已知在三棱錐PABC中,AC=,,BC1,,ACBCPA2PBPB⊥平面ABC,,則其外接球體積為(  )

A.  B4π  C.  D4π

答案 A

解析 AB,,設(shè)PBh,則由PA2PB,,可得2h,,解得h1,,可將三棱錐PABC還原成如圖所示的長方體,則三棱錐PABC的外接球即為長方體的外接球,,設(shè)外接球的半徑為R,,則2R2R1,,

所以其外接球的體積VR3.

3(多選)已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,,PA6,,ABACAB2,,AC2,,點DAB的中點,過點D作球O的截面,,則截面的面積可以是(  )

A.  Bπ  C9π  D13π

答案 BCD

解析 三棱錐PABC的外接球即為以AB,,ACAP為鄰邊的長方體的外接球,,

2R2,,

R

BC的中點O1,,

O1ABC的外接圓圓心,,

OO1平面ABC,如圖.

當(dāng)OD截面時,,截面的面積最小,,

OD

2

此時截面圓的半徑為r1,,

截面面積為πr2π,,

當(dāng)截面過球心時,截面圓的面積最大為πR213π,,

故截面面積的取值范圍是,,13π]

4.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合,且內(nèi)切球的半徑為1,,則圓錐的體積為(  )

Aπ  B2π  C3π  D

答案 C

解析 過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面,,得ABC及其內(nèi)切圓O1和外接圓O2

且兩圓同圓心,,即ABC的內(nèi)心與外心重合,,易得ABC為正三角形,

由題意得O1的半徑為r1,∴△ABC的邊長為2,,

圓錐的底面半徑為,,高為3,,

V×π×3×33π.

5.已知一個三棱柱,其底面是正三角形,,且側(cè)棱與底面垂直,,一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切,那么這個三棱柱的表面積是(  )

A6  B12  C18  D24

答案 C

解析 根據(jù)已知可得球的半徑等于1,,故三棱柱的高等于2,,底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1,即底面三角形的高等于3,,邊長等于2,,所以這個三棱柱的表面積等于3×2×22××2×318.

6(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點MN,,若線段MN的最小值為-1,,則下列說法中正確的是(  )

A.正方體的外接球的表面積為12π

B.正方體的內(nèi)切球的體積為

C.正方體的棱長為2

D.線段MN的最大值為2

答案 ABC

解析 設(shè)正方體的棱長為a

則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,,

a,;內(nèi)切球的半徑為棱長的一半,即.

M,,N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點,,

MNminaa1

解得a2,,即正方體的棱長為2,,

正方體外接球的表面積為×()212π,內(nèi)切球的體積為,,則A,,BC正確,;

線段MN的最大值為1,,則D錯誤.

7.(2022·聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體,,這是一個有八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,,若該多面體的棱長為1,,則該多面體外接球的體積為(  )

A.π  B.π  C4π  D

答案 A

解析 將該多面體放入正方體中,如圖所示.

由于多面體的棱長為1,,所以正方體的棱長為,,

因為該多面體是由棱長為的正方體連接各棱中點所得,

所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點,其外接球直徑等于正方體的面對角線長,,即2R,,所以R1

所以該多面體外接球的體積VπR3.

8(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1,,四棱錐的頂點為O,,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,,其高為(  )

A.  B.  C.  D.

答案 C

解析 該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點O組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為h(0<h<1),,底面半徑為r

則圓錐的體積Vπr2hπ(1h2)h,,

Vπ(13h2),,

Vπ(13h2)0,得h,,

所以Vπ(1h2)h上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減,,

所以當(dāng)h時,,四棱錐的體積最大,故選C.

9.如圖,,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,,表面積為S1,,球O的體積為V2,表面積為S2,,則=________,,=________.

答案  

解析 設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,,高為2R,,所以.

10.已知圓錐的底面半徑為1,,母線長為3,,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________

答案 π

解析 因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球,

如圖,,圓錐母線長BS3,,底面半徑BC1,其高SC2,,

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點D,,

ODOCr,由SOD∽△SBC,得,,

,,解得rVπr3π.

11(2023·洛陽模擬)已知在三棱錐PABC中,,AB4,,BC3PAAC5,,當(dāng)該三棱錐體積最大時,,其外接球的表面積為________

答案 50π

解析 因為AB4BC3,,PAAC5,,

所以AB2BC2AC2,所以ABC為直角三角形,,ABC90°,,

所以ABC的面積為定值,

所以當(dāng)PA平面ABC時,,該三棱錐體積最大.

如圖,,取線段PC的中點O

OPOAOBOC,,

所以點O為三棱錐外接球的球心,,

因為PAAC5,所以PC5,,

所以OC,,即外接球的半徑R

所以所求外接球的表面積為R2×250π.

12(2023·濮陽模擬)在三棱錐DABC中,,ABBC2AC2,,BD4BD⊥平面ABC,,則三棱錐DABC外接球的表面積為________

答案 32π

解析 BD平面ABC,,故可將三棱錐補為直三棱柱,,如圖所示,,

ABBC2,,AC2,,故三棱柱的上、下底面三角形的外接圓圓心在底邊中線的延長線上,,設(shè)為O1O2,,易得O1BC60°,,故O1BO1CBC2

三棱柱外接球球心為上,、下底面外心所連線段的中點O,,即為三棱錐DABC外接球球心,,

設(shè)該外接球半徑為R,,則在RtOCO1中,,R22228,,

故三棱錐DABC外接球的表面積為R232π.

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