§7.2 球的切,、接問題球的切、接問題,,是歷年高考的熱點內(nèi)容,,經(jīng)常以客觀題出現(xiàn).一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題,,考查球的體積與表面積,,其關(guān)鍵點是確定球心. 題型一 定義法 例1 (1)(2023·宣城模擬)在三棱錐P-ABC中,,PA⊥平面ABC,,PA=2,,AB=2,AC=4,,∠BAC=45°,則三棱錐P-ABC外接球的表面積是( ) A.14π B.16π C.18π D.20π 答案 D 解析 在△BAC中,,∠BAC=45°,,AB=2,,AC=4,, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 45°=8+16-2×4×2×=8,, 則BC2+AB2=AC2,,所以BC⊥AB, 由PA⊥平面ABC,,BC?平面ABC,,得PA⊥BC,又PA∩AB=A,,PA,,AB?平面PAB, 所以BC⊥平面PAB,, 所以BC⊥PB,, 所以△PBC為直角三角形, 又△PAC為直角三角形,, 所以PC是三棱錐P-ABC外接球直徑,,設(shè)O是PC的中點,即為球心,, 又AC=4,,PA=2, 所以PC===2,, 所以外接球半徑為,, 所以所求外接球的表面積S=4π×()2=20π. (2)(2022·新高考全國Ⅱ)已知正三棱臺的高為1,上,、下底面邊長分別為3和4,,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為( ) A.100π B.128π C.144π D.192π 答案 A 解析 由題意,,得正三棱臺上,、下底面的外接圓的半徑分別為××3=3,,××4=4. 設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1,,O2,,連接O1O2(圖略),則O1O2=1,,其外接球的球心O在直線O1O2上. 設(shè)球O的半徑為R,,當(dāng)球心O在線段O1O2上時,R2=32+OO=42+(1-OO1)2,,解得OO1=4(舍去),; 當(dāng)球心O不在線段O1O2上時,R2=42+OO=32+(1+OO2)2,,解得OO2=3,, 所以R2=25, 所以該球的表面積為4πR2=100π. 綜上,,該球的表面積為100π. 思維升華 到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,,則球心一定在垂線上,,再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑,列關(guān)系式求解即可. 跟蹤訓(xùn)練1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,,若AB=3,,AC=4,AB⊥AC,,AA1=12,則球O的半徑為( ) A. B.2 C. D.3 答案 C 解析 由題意作圖如圖,,過球心O作平面ABC的垂線,,則垂足為BC的中點M. ∵AB=3,AC=4,,AB⊥AC,,∴BC=5,又AM=BC=,,OM=AA1=6,, ∴球O的半徑R=OA==. 題型二 補形法 例2 (1)(2023·大慶模擬)在正方形ABCD中,E,,F分別為線段AB,,BC的中點,連接DE,,DF,,EF,,將△ADE,△CDF,,△BEF分別沿DE,,DF,EF折起,,使A,,B,C三點重合,,得到三棱錐O-DEF,,則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為( ) A.2 B.4 C.2 D. 答案 C 解析 因為在正方形ABCD中,AD⊥AE,,CD⊥CF,,BE⊥BF, 所以折起后OD,,OE,,OF兩兩互相垂直, 故該三棱錐的外接球,,即以OD,,OE,OF為棱的長方體的外接球. 設(shè)正方形ABCD的邊長為2,,則OD=2,,OE=1,OF=1,, 故2R==,,則R=. 設(shè)內(nèi)切球球心為I,由VO-DEF=·S△OEF·OD=,,三棱錐O-DEF的表面積S=4,, VO-DEF=VI-ODE+VI-ODF+VI-OEF+VI-DEF=Sr, 所以r=,,則有=2. (2)如圖,,在多面體中,四邊形ABCD為矩形,,CE⊥平面ABCD,,AB=2,BC=CE=1,,通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱,,那么添加的三棱錐的體積為________,補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________. 答案 6π 解析 如圖,添加的三棱錐為直三棱錐E-ADF,, 可以將該多面體補成一個直三棱柱ADF-BCE,, 因為CE⊥平面ABCD,AB=2,, BC=CE=1,, 所以S△BCE=CE×BC=×1×1=, 直三棱柱ADF-BCE的體積 V=S△BCE·AB=×2=1,, 添加的三棱錐的體積為V=. 方法一 如圖,,分別取AF,BE的中點M,,N,,連接MN,與AE交于點O,, 因為四邊形AFEB為矩形,,所以O為AE,MN的中點,,在直三棱柱ADF-BCE中,,CE⊥平面ABCD, 所以FD⊥平面ABCD,,即∠ECB=∠FDA=90°,,所以上、下底面為等腰直角三角形,,直三棱柱的外接球的球心即為點O,,AO即為球的半徑, 因為AM=AF=,,MO=1,, 所以AO2=AM2+MO2=+1=, 所以外接球的表面積為4π·AO2=6π. 方法二 因為CE,,CB,,CD兩兩垂直,故將直三棱柱ADF-BCE補成長方體,,設(shè)外接球的半徑為R,則4R2=12+12+22=6,,所以外接球的表面積S=4πR2=6π. 思維升華 (1)補形法的解題策略 ①側(cè)面為直角三角形,,或?qū)饩嗟鹊哪P秃驼拿骟w,可以還原到正方體或長方體中去求解,;②直三棱錐補成三棱柱求解. (2)正方體與球的切,、接問題的常用結(jié)論 正方體的棱長為a,球的半徑為R, ①若球為正方體的外接球,,則2R=a,; ②若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a,; ③若球與正方體的各棱相切,,則2R=a. (3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,,c,,外接球的半徑為R,則2R=. 跟蹤訓(xùn)練2 (1)在三棱錐A-BCD中,,側(cè)棱AB,,AC,AD兩兩垂直,,△ABC,,△ACD,△ADB的面積分別為,,,,,則三棱錐A-BCD的外接球的體積為( ) A.π B.2π C.3π D.4π 答案 A 解析 在三棱錐A-BCD中,,側(cè)棱AB,,AC,AD兩兩垂直,,將其補成長方體,,兩者的外接球是同一個,長方體的體對角線就是球的直徑. 設(shè)長方體同一頂點處的三條棱長分別為a,,b,,c,由題意得ab=,,ac=,,bc=, 解得a=,,b=,,c=1,所以球的直徑為=,,它的半徑為,,球的體積為×3=π. (2)(2023·焦作模擬)已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等,且PA=3,,PB=PC=5,,則該三棱錐的外接球的表面積為________. 答案 34π 解析 根據(jù)題意,,三棱錐P-ABC可以嵌入一個長方體內(nèi),且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線,,設(shè)長方體交于一個頂點的三條棱長分別為a,,b,c,,如圖所示,, 則a2+b2=PA2=18,a2+c2=PB2=25,,b2+c2=PC2=25,,解得a=3,b=3,,c=4.所以該三棱錐的外接球的半徑R===,,所以該三棱錐的外接球的表面積S=4πR2=4π×2=34π. 題型三 截面法 例3 (1)四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的表面上,△PAD是等邊三角形,,底面ABCD是矩形,,平面PAD⊥平面ABCD,若AB=2,,BC=3,,則球O的表面積為( ) A.12π B.16π C.20π D.32π 答案 B 解析 如圖,連接AC,,BD,,AC∩BD=G,取AD的中點E,,連接PE. ∵四邊形ABCD為矩形,,∴G為四邊形ABCD的外接圓圓心; 在線段PE上取ME=PE,, ∵△PAD為等邊三角形,,∴M為△PAD外接圓圓心, 過G,,M分別作平面ABCD和平面PAD的垂線,,則兩垂線的交點即為球O的球心O,連接OP,, ∵△PAD為等邊三角形,,∴PE⊥AD, ∵平面PAD⊥平面ABCD,,平面PAD∩平面ABCD=AD,,PE?平面PAD, ∴PE⊥平面ABCD,,∴PE∥OG,; 同理可得,OM∥EG,,∴四邊形OMEG為矩形,; ∴OM=EG=AB=1,PM=PE=×=,, ∴OP==2,,即球O的半徑R=2, ∴球O的表面積S=4πR2=16π. (2)如圖所示,,直三棱柱ABC-A1B1C1是一塊石材,,測量得∠ABC=90°,AB=6,,BC=8,,AA1=13.若將該石材切削、打磨,,加工成幾個大小相同的健身手球,,則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為( ) A.,4 B.,,3 C.6π,,4 D.,3 答案 D 解析 依題意知,,當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時,,健身手球的體積最大.易知AC==10,設(shè)健身手球的半徑為R,,則×(6+8+10)×R=×6×8,,解得R=2. 則健身手球的最大直徑為4. 因為AA1=13,所以最多可加工3個健身手球. 于是一個健身手球的最大體積V=πR3=π×23=. 思維升華 (1)與球截面有關(guān)的解題策略 ①定球心:如果是內(nèi)切球,,球心到切點的距離相等且為半徑,;如果是外接球,球心到接點的距離相等且為半徑,; ②作截面:選準最佳角度作出截面,,達到空間問題平面化的目的. (2)正四面體的外接球的半徑R=a,內(nèi)切球的半徑r=a,,其半徑之比R∶r=3∶1(a為該正四面體的棱長). 跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·淮北模擬)半球內(nèi)放三個半徑為的小球,,三小球兩兩相切,并且與球面及半球底面的大圓面也相切,,則該半球的半徑是( ) A.1+ B.+ C.+ D.+ 答案 D 解析 三個小球的球心O1,,O2,O3構(gòu)成邊長為2的正三角形,,則其外接圓半徑為2.設(shè)半球的球心為O,,小球O1與半球底面切于點A. 如圖,,經(jīng)過點O,O1,,A作半球的截面,,則半圓⊙O的半徑為OC,OC⊥OA,,作O1B⊥OC于點B. 則OA=O1B=2.設(shè)該半球的半徑是R,,在Rt△OAO1中,由(R-)2=22+()2可得R=+. (2)(2021·天津)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,,頂點均在球面上,,若球的體積為,兩個圓錐的高之比為1∶3,,則這兩個圓錐的體積之和為( ) A.3π B.4π C.9π D.12π 答案 B 解析 如圖所示,,設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點D, 設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1,, 即AD=3BD,, 設(shè)球的半徑為R,則=,,可得R=2,, 所以AB=AD+BD=4BD=4, 所以BD=1,,AD=3,, 因為CD⊥AB,AB為球的直徑,, 所以△ACD∽△CBD,, 所以=,所以CD==,, 因此,,這兩個圓錐的體積之和為 π×CD2·(AD+BD)=π×3×4=4π. 課時精練1.(2023·岳陽模擬)已知一個棱長為2的正方體的頂點都在某球面上,則該球體的體積為( ) A.π B.4π C.8π D.12π 答案 B 解析 因為正方體的體對角線等于外接球的直徑,,且正方體的棱長為2,, 故該球的直徑2R==2.所以R=.故該球的體積V=πR3=4π. 2.已知在三棱錐P-ABC中,AC=,,BC=1,,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC,,則其外接球體積為( ) A. B.4π C. D.4π 答案 A 解析 AB==,,設(shè)PB=h,則由PA=2PB,,可得=2h,,解得h=1,,可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長方體,則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,,設(shè)外接球的半徑為R,,則2R==2,R=1,, 所以其外接球的體積V=R3=. 3.(多選)已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,,PA=6,,AB⊥AC,AB=2,,AC=2,,點D為AB的中點,過點D作球O的截面,,則截面的面積可以是( ) A. B.π C.9π D.13π 答案 BCD 解析 三棱錐P-ABC的外接球即為以AB,,AC,AP為鄰邊的長方體的外接球,, ∴2R==2,, ∴R=, 取BC的中點O1,, ∴O1為△ABC的外接圓圓心,, ∴OO1⊥平面ABC,如圖. 當(dāng)OD⊥截面時,,截面的面積最小,, ∵OD= ==2, 此時截面圓的半徑為r==1,, ∴截面面積為πr2=π,, 當(dāng)截面過球心時,截面圓的面積最大為πR2=13π,, 故截面面積的取值范圍是[π,,13π]. 4.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合,且內(nèi)切球的半徑為1,,則圓錐的體積為( ) A.π B.2π C.3π D.4π 答案 C 解析 過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面,,得△ABC及其內(nèi)切圓⊙O1和外接圓⊙O2, 且兩圓同圓心,,即△ABC的內(nèi)心與外心重合,,易得△ABC為正三角形, 由題意得⊙O1的半徑為r=1,∴△ABC的邊長為2,, ∴圓錐的底面半徑為,,高為3,, ∴V=×π×3×3=3π. 5.已知一個三棱柱,其底面是正三角形,,且側(cè)棱與底面垂直,,一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切,那么這個三棱柱的表面積是( ) A.6 B.12 C.18 D.24 答案 C 解析 根據(jù)已知可得球的半徑等于1,,故三棱柱的高等于2,,底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1,即底面三角形的高等于3,,邊長等于2,,所以這個三棱柱的表面積等于3×2×2+2××2×3=18. 6.(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M,N,,若線段MN的最小值為-1,,則下列說法中正確的是( ) A.正方體的外接球的表面積為12π B.正方體的內(nèi)切球的體積為 C.正方體的棱長為2 D.線段MN的最大值為2 答案 ABC 解析 設(shè)正方體的棱長為a, 則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,, 即a,;內(nèi)切球的半徑為棱長的一半,即. ∵M,,N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點,, ∴MNmin=a-=a=-1, 解得a=2,,即正方體的棱長為2,, ∴正方體外接球的表面積為4π×()2=12π,內(nèi)切球的體積為,,則A,,B,C正確,; 線段MN的最大值為+1,,則D錯誤. 7.(2022·聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體,,這是一個有八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,,若該多面體的棱長為1,,則該多面體外接球的體積為( ) A.π B.π C.4π D.8π 答案 A 解析 將該多面體放入正方體中,如圖所示. 由于多面體的棱長為1,,所以正方體的棱長為,, 因為該多面體是由棱長為的正方體連接各棱中點所得, 所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點,其外接球直徑等于正方體的面對角線長,,即2R=,,所以R=1, 所以該多面體外接球的體積V=πR3=. 8.(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1,,四棱錐的頂點為O,,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,,其高為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點O組成的圓錐體積最大. 設(shè)圓錐的高為h(0<h<1),,底面半徑為r, 則圓錐的體積V=πr2h=π(1-h2)h,, 則V′=π(1-3h2),, 令V′=π(1-3h2)=0,得h=,, 所以V=π(1-h2)h在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,, 所以當(dāng)h=時,,四棱錐的體積最大,故選C. 9.如圖,,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,,表面積為S1,,球O的體積為V2,表面積為S2,,則=________,,=________. 答案 解析 設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,,高為2R,,所以==,==. 10.已知圓錐的底面半徑為1,,母線長為3,,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________. 答案 π 解析 因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球, 如圖,,圓錐母線長BS=3,,底面半徑BC=1,其高SC==2,, 不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點D,, 令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得=,, 即=,,解得r=,V=πr3=π. 11.(2023·洛陽模擬)已知在三棱錐P-ABC中,,AB=4,,BC=3,PA=AC=5,,當(dāng)該三棱錐體積最大時,,其外接球的表面積為________. 答案 50π 解析 因為AB=4,BC=3,,PA=AC=5,, 所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC為直角三角形,,∠ABC=90°,, 所以△ABC的面積為定值, 所以當(dāng)PA⊥平面ABC時,,該三棱錐體積最大. 如圖,,取線段PC的中點O, 則OP=OA=OB=OC,, 所以點O為三棱錐外接球的球心,, 因為PA=AC=5,所以PC=5,, 所以OC=,,即外接球的半徑R=, 所以所求外接球的表面積為4πR2=4π×2=50π. 12.(2023·濮陽模擬)在三棱錐D-ABC中,,AB=BC=2,AC=2,,BD=4,BD⊥平面ABC,,則三棱錐D-ABC外接球的表面積為________. 答案 32π 解析 ∵BD⊥平面ABC,,故可將三棱錐補為直三棱柱,,如圖所示,, ∵AB=BC=2,,AC=2,,故三棱柱的上、下底面三角形的外接圓圓心在底邊中線的延長線上,,設(shè)為O1,O2,,易得∠O1BC=60°,,故O1B=O1C=BC=2, ∴三棱柱外接球球心為上,、下底面外心所連線段的中點O,,即為三棱錐D-ABC外接球球心,, 設(shè)該外接球半徑為R,,則在Rt△OCO1中,,R2=2+22=8,, 故三棱錐D-ABC外接球的表面積為4πR2=32π. |
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