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利用該模型可動態(tài)刻畫黃金價格數(shù)據(jù)的生成過程,也可幫助黃金產(chǎn)品投資者和生產(chǎn)者做出更加靈活,、科學(xué)的決策。

ARMA-GARCH模型

在一般的計量回歸模型中,一個重要的假設(shè)條件是回歸模型中殘差的同方差性,。它保證了回歸系數(shù)的無偏性,、有效性與一致性;然而,當(dāng)回歸殘差的方差不能夠保證同方差,即產(chǎn)生異方差時,回歸估計系數(shù)的有效性與一致性則無法保證,從而導(dǎo)致回歸系數(shù)估計的偏差。在實際的金融時間序列中,數(shù)據(jù)大都具有“尖峰厚尾”,、波動集聚性與爆發(fā)性等特征,。根據(jù)金融時間序列的這些特性,為了應(yīng)對這種情況,美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家RobertF.Engle于1 982年首次提出了A R C H模型;它具有良好的特性,即持續(xù)的方差和處理厚尾的能力,能較好地描述金融序列的波動特征[6-7]。

ARMA 模型

一般來說,一個變量的現(xiàn)在取值,不僅受其本身過去值的影響,而且也受現(xiàn)在和過去各種隨機(jī)因素沖擊的影響,。因此,可建立其數(shù)據(jù)生成模型為:

y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t+

β1 u t-1+...+βq u t-q(1)

式中:p和q為模型的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù);a i和βi為不為零的待定系數(shù);u t為獨立的誤差項;y t為平穩(wěn),、正態(tài)、零均值的時間序列,。如果該模型的特征根都在單位圓外,則該模型就稱為A R M A(p,q)模型

GARCH(p,q) 模型

若隨機(jī)變量y t可以表示為如下形式:

y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+...+a py t-p+u t(2)

σ2t=φ0+φ1 u2t-1+φ2 u2t-2+…+φq u2t-q(3)式中:σ2t為條件方差;φi為待定系數(shù);其它參數(shù)同上,。

稱u t服從q階的A R C H過程,記作u t A R C H(q)。其中,(2)式稱作均值方程,(3)式稱作A R C H方程,。A R C H(q)模型是關(guān)于σ2t的分布滯后模型,。為避免u2t的滯后項過多,可采用加入σ2t滯后項的方法,。對于(3)式,可給出如下形式:

σ2t=φ0+φ1 u2t-1+λ1σ2t-1(4)

式中:λ為待定系數(shù)。

該模型稱為廣義自回歸條件異方差模型,用G A R C H(1,1)表示,。其中,u t-1稱為A R C H項;σt-1稱為G A R C H項,。

(4)式應(yīng)滿足的條件為:φ0>0,φ1≥0,λ1≥0。

ARMA-GARCH 模型建立與實證分析

建立ARMA-GARCH 模型步驟

建立黃金價格ARMA-GARCH模型通常包括5個步驟,即序列平穩(wěn)性驗證,、模型識別及參數(shù)估計,、異方差效應(yīng)檢驗、建立ARMA-GARCH模型及參數(shù)估計,、模型診斷與實證分析,。

數(shù)據(jù)采集

我們所選取的樣本數(shù)據(jù)為XX定盤價格(用P表示,單位為美元/盎司),共計851個數(shù)據(jù),利用計量分析軟件R完成。

平穩(wěn)性檢驗及數(shù)據(jù)處理

通過黃金價格時間序列(見圖2)可以看出,歷年的黃金價格有異常值并且結(jié)構(gòu)發(fā)生了突變;相關(guān)統(tǒng)計特征顯示黃金價格序列存在右偏和尖峰現(xiàn)象(相對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布),呈現(xiàn)“尖峰厚尾”特征,。同時J B檢驗也說明黃金價格序列不服從正態(tài)分布,。再者,從黃金價格自相關(guān)及偏相關(guān)(見圖3)中,可初步判斷黃金價格為結(jié)構(gòu)發(fā)生突變的非平穩(wěn)時間序列。

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ARMA-EGARCH模型,、集成預(yù)測算法對SPX實際波動率進(jìn)行預(yù)測

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為了檢驗數(shù)據(jù)是否適合建立時間序列模型,現(xiàn)對數(shù)據(jù)做平穩(wěn)性檢驗即單位根檢驗,檢驗?zāi)Ｐ头椒樽钚《斯烙嫛?/span>對黃金價格P進(jìn)行單位根檢驗檢驗結(jié)果見如下。其檢驗結(jié)果均清楚顯示黃金價格序列存在單位根,為非平穩(wěn)時間序列,。

因此,筆者對黃金價格時間序列取自然對數(shù),再對其進(jìn)行單位根檢驗,。從檢驗結(jié)果可以看出,由于p值小于0.05，因此拒絕原假設(shè),，認(rèn)為黃金價格時間序列為平穩(wěn)序列,。只有帶漂移項的檢驗式才能通過t檢驗。

經(jīng)檢驗,ADF=-3.1413,小于不同檢驗方法的臨界值,所以自然對數(shù)的黃金價格序列是一個帶有漂移項的平穩(wěn)序列,。

模型識別及參數(shù)估計

ARMA模型的定階從兩方面考慮:一是考慮模型的數(shù)據(jù)特征,即自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù);二是考慮模型定階準(zhǔn)則AIC和SIC,。

根據(jù)ln(P)的自相關(guān)圖,可初步選定ARMA(1,0)、ARMA(1,1),、ARMA(2,2),、ARMA(2,1)等8個模型。

通過綜合比較各模型的判定指標(biāo)(見表2),可以判斷模型ARMA(1,1)的AIC數(shù)值和SIC數(shù)值最小,初步選定該模型,。其參數(shù)估計采用非線性最小二乘法,利用R軟件完成,。ARMA(1,1)模型對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

l n(P t)=6.168+0.98 5l n(P t-1)+u t+0.33 4u t-1。

從結(jié)果可以看出,各參數(shù)均通過t檢驗,方程特征根的倒數(shù)均在單位圓內(nèi),即特征根均在單位圓外,滿足平穩(wěn)性要求,。

ARMA (p,q) 模型的相關(guān)判定指標(biāo)

A R C H 檢驗

在分析金融數(shù)據(jù)中,條件異方差的忽略可能導(dǎo)致參數(shù)估計失去漸進(jìn)有效性和ARMA模型的過度參數(shù)化,還可能引起傳統(tǒng)檢驗的過度拒絕,。可以發(fā)現(xiàn)波動的“成群”現(xiàn)象:波動在一段時期內(nèi)非常小,在其他一段時期內(nèi)非常大,。這說明ARMA(1,1)模型的誤差項可能具有條件異方差性,。

借助R軟件,可得出自回歸條件異方差的L M檢驗式為:u2t=0.001 8+0.256 6u2t-1

t檢驗(5.319)(5.65 2)

L P的A R M A(1,1)模型殘差檢驗的統(tǒng)計量L M=8.3379>χ0.05(1)=3.8 4。其中,T為樣本容量;R2為判定系數(shù),。