021 不同正多邊形的組合密鋪

1,、不同正多邊形的組合方法

雖然全等正多邊形拼接形成的密鋪圖形的類型不多，但是幾種邊長(zhǎng)相等邊數(shù)不等的正多邊形的組合而構(gòu)成密鋪圖形的機(jī)會(huì)就大大增多了,。不同的正多邊形組合密鋪有好多種組合方法,，根據(jù)枚舉法能找到這些方法,。

枚舉法是比較有效的一種歸納方法,，該方法將問題的所有可能的答案一一列舉，然后根據(jù)條件判斷此答案是否合適,，合適就保留,，不合適就丟棄。這種方法適合上機(jī)編程實(shí)現(xiàn),。

在使用正十二多邊形以下（含正十二多邊形）的不同邊數(shù)的正多邊形密鋪中,，已經(jīng)知道總共有十二種組合結(jié)構(gòu)能夠密鋪，其中包括了上節(jié)介紹的全等正三角形,、全等正四邊形,、全等正六邊形三種密鋪的結(jié)構(gòu),。

密鋪圖形（3，3,，3,，3，3,，3）

密鋪圖形（4,，4，4,，4）

密鋪圖形（6,，6，6）

    除了上述三種情況外,，剩下的九種情況展示如下：

①四個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形（3,，3，3,，3,，6）。

②三個(gè)正三角形和兩個(gè)正方形（3,，3,，3，4,，4）,。  

③兩個(gè)正三角形和兩個(gè)六邊形（3，3,，6,，6）。

④兩個(gè)正三角形,、一個(gè)正方形和一個(gè)正十二邊形（3,，3，4,，12）,。

⑤一個(gè)正三角形，兩個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形（3,，4,，4，6）,。

⑥一個(gè)正方形,、一個(gè)正六邊形和一個(gè)正十二邊形（4，6,，12）,。

⑦一個(gè)正方形,、兩個(gè)正八邊形（4，8,，8）,。

⑧一個(gè)正五邊形和兩個(gè)正十邊形（*5，10,，10）,。

⑨一個(gè)正三角形和兩個(gè)十二邊形（3，12,，12）,。

2、九種結(jié)構(gòu)的密鋪圖形

（1）四個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形

 密鋪圖形（3,，3,，3，3,，6）

 （2)三個(gè)正三角形和兩個(gè)正四邊形

密鋪圖形（3,，3，3,，4,，4）

密鋪圖形（3，3,，3,，4，4）

（3）兩個(gè)正三角形和兩個(gè)正六邊形

密鋪圖形（3,，3,，6，6）

密鋪圖形（3,，3,，6，6）

（4）兩個(gè)正三角形,、一個(gè)正四邊形和一個(gè)正十二邊形

密鋪圖形（3,，3，4,，12）

（5）一個(gè)正三角形,、兩個(gè)正四邊形和一個(gè)正六邊形

密鋪圖形（3，4,，4，6）+（3,，3,，3,，4，4）

（6）一個(gè)正四邊形,、一個(gè)正六邊形和一個(gè)正十二邊形

密鋪圖形（4,，6，12）

（7）一個(gè)正四邊形和兩個(gè)正八邊形

密鋪圖形（4,，8,，8）

密鋪圖形（4，8,，8）

實(shí)際密鋪的瓷磚地板

（8）一個(gè)正五邊形和兩個(gè)正十邊形

圖形（*5,，10，10）

 為什么5前面打個(gè)星號(hào),，是有原因的,。雖然上圖中正五邊形能環(huán)繞正十邊形并外接5個(gè)正十邊形。但外圈出現(xiàn)了5個(gè)較大的缺口,，而且不能用別的正多邊形補(bǔ)上繼續(xù)鋪開,，這不符合上一節(jié)關(guān)于密鋪的第③個(gè)條件，所以還不能算是密鋪圖形,。

圖形（*5,，10，10）

上圖中,，雖然正五邊形能環(huán)繞著兩個(gè)正十邊形,，但環(huán)繞層中間上、下出現(xiàn)36度的缺口不能用別的正多邊形補(bǔ)上,，所以暫時(shí)還不是密鋪圖形,。

（9）一個(gè)正三角形和兩個(gè)正十二邊形

密鋪圖形（3，12,，12）

3,、密鋪與鑲嵌

在目前的有關(guān)資料看到，密鋪和鑲嵌這兩者的定義是一樣的,，使用起來比較混亂,。顧名思義看兩者還是有點(diǎn)差異的。密鋪就是在平面上靠緊鋪開,，但鑲嵌除了靠緊外還可能有一個(gè)嵌入的動(dòng)作,。

鑲嵌圖形

上圖中，參與密鋪的圖形是一個(gè)由曲線構(gòu)成的有凸有凹的圖形,，你想用簡(jiǎn)單的靠緊鋪開的方法恐怕不能達(dá)到密鋪的目的,，你必須有個(gè)將凸起嵌入凹槽里往下按的動(dòng)作。這樣的鋪設(shè)方法與其叫密鋪還不如叫鑲嵌更合適,，因而得到的圖形就叫做鑲嵌圖形了,。見下圖,，在正五邊形之間嵌入四角星就構(gòu)成鑲嵌圖形了。

鑲嵌圖形

有關(guān)密鋪和鑲嵌,，這里下一個(gè)新的定義：由簡(jiǎn)單的凸多邊形參與拼接的,、且靠緊就能達(dá)到鋪開的、沒空隙不覆蓋的就叫做密鋪,；由復(fù)雜的圖案或有凹多邊形參與的,、可能要有嵌入動(dòng)作的，且達(dá)到無縫連接的密鋪就叫做鑲嵌,。

下節(jié)將介紹其它多邊形密鋪與鑲嵌的問題,。