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線性代數(shù)是由線性方程組發(fā)展起來(lái)的,，線性方程組是線性代數(shù)的核心概念和根基,。后面有些概念都可以通過(guò)線性方程組去理解。 什么叫做線性方程呢,，線性指的就是直線的意思,，變量與自變量是比例關(guān)系，對(duì)于兩個(gè)變量的線性方程在其坐標(biāo)系中表示直線,，多余三個(gè)自變量的線性方程在其坐標(biāo)系中表示直的平面...... 我們知道微積分的思想,，就是化曲為直，把非線性的曲線劃分成直線段,，把曲面分成平面,，因?yàn)槲覀冎粫?huì)計(jì)算直線，測(cè)量同樣也只會(huì)直尺,。工程學(xué)中就很多復(fù)雜的問(wèn)題就是直徑劃分中簡(jiǎn)單線性問(wèn)題,，會(huì)有很多因素變量形成對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就需要列成很多線性方程組,。 例如方程組 5x+6y+4z=6 3x+6y+8z=2 9x+y+4z=1 解方程組的過(guò)程就是不斷消元的過(guò)程，消元就是對(duì)變量前的系數(shù)進(jìn)行計(jì)算,，使某一元素的系數(shù)為0,，那么這個(gè)元素就消去了。所以每次計(jì)算中我們不需要重復(fù)寫X\Y\Z這些元素,，約定好它們的位置,，只對(duì)系數(shù)進(jìn)行操作就可以了。于是我們可以把方程組寫成以下形式，這樣系數(shù)就可以放在一起,。  仔細(xì)分析這個(gè)式子,，要想和上面的方程組對(duì)應(yīng)上，就是左邊矩第一行乘以右邊矩陣一列,，這也是矩陣相乘的根本來(lái)源,，矩陣相乘來(lái)源還原方程組的每個(gè)方程。 我們把只有系數(shù)的組合叫做矩陣,，把含有系數(shù)和結(jié)果的數(shù)字組合叫做增廣矩陣,。矩就是矩形，陣就是陣列,，就是數(shù)字按照矩形形狀組成的陣列,。   線性代數(shù)的行幾何意義 我們先看例如方程組：這三個(gè) 5x+6y+4z=6 3x+6y+8z=2 9x+y+4z=1 這三個(gè)方程分別表示三個(gè)平面，如果有一組解,，表示這三個(gè)平面相交于一點(diǎn),，這點(diǎn)坐標(biāo)值（x,y,z）就是這個(gè)解；最終系數(shù)矩陣化成這樣的形式：上三角形,；  如果有很多解,，表示有兩個(gè)平面重合或者三個(gè)平面重合，兩個(gè)平面重合與三平面相交于一條直線,，那么這條直線上的所有坐標(biāo)都是解,，最終系數(shù)化解成這樣的形式：  如果三個(gè)平面重合成一個(gè)平面，那么這個(gè)平面的坐標(biāo)都是解,，最終化成這樣的形式：  如果三個(gè)平面兩兩相交,，表示沒(méi)有重合的部分，沒(méi)有解,，那么這個(gè)系數(shù)矩陣最終形式：化解不成三角形式：  這就是我們?yōu)槭裁磿?huì)把舉證化解成三角形式的目的：可以化解成三角形表示有單一解,，消去一行或者多行，表示有多個(gè)解,，對(duì)實(shí)際沒(méi)有幫助,，只有我們?nèi)ブ担捎幸饬x,。如果不能化解成三角形式,，表示沒(méi)有解，這幾個(gè)條件方程相互矛盾,，不能達(dá)成一致,。 線性代數(shù)的列幾何意義 如圖原方程組化解成：  后面坐標(biāo)形式，表示一個(gè)向量的坐標(biāo),。在坐標(biāo)系中表示一個(gè)有方向的線段,。  那么原線性方程組的系數(shù)矩陣對(duì)向量的各坐標(biāo)伸縮,，例如第一行系數(shù)是對(duì)向量這樣操作的，5x+6y+4z：對(duì)原向量x方向延長(zhǎng)5倍,，對(duì)y方向延長(zhǎng)6倍,，對(duì)z方向延長(zhǎng)4倍。 也是對(duì)向量的線性操作,。 同理我們知道系數(shù)矩陣化解成有一行或者多行為0的時(shí)候,，他們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)例如y或者z就不再有任何意義了，而坐標(biāo)x,y,z表示的維度,。所以這是我們后面提到的秩的意義,，秩的意義就是幾何維度。 文章來(lái)源： |
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