十年磨劍 志在千里

——安徽省近10年中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的分析與復(fù)習(xí)策略

鄒守文 （安徽省南陵縣城東實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

摘要：文中通過對2013—2022十年安徽中考幾何壓軸題試題的整體分析,，概括出試題的五個特點(diǎn)：立足主干知識，注重對基礎(chǔ)知識和基本技能實(shí)施有效考查,；注重問題的高立意,、低起點(diǎn)和多視角；在關(guān)注推理能力的同時,，實(shí)時關(guān)注運(yùn)算能力,；注重基本幾何模型的提煉、構(gòu)建和應(yīng)用,；在關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時，注意綜合實(shí)踐活動的開展.在此基礎(chǔ)上,，就中考復(fù)習(xí)提出了四條建議：規(guī)范教學(xué)流程,，夯實(shí)知識基礎(chǔ)；堅(jiān)持問題導(dǎo)向,，實(shí)施問題驅(qū)動,；加強(qiáng)模型提煉，強(qiáng)化變式整合；堅(jiān)持推算并舉,，輔以綜合實(shí)踐.

關(guān)鍵詞：幾何試題,；壓軸題；試題特點(diǎn),；復(fù)習(xí)策略

2021年7月24日中辦和國辦出臺“雙減”的文件,，要求自2022年起初中學(xué)業(yè)水平考試，全國各地應(yīng)實(shí)施全省統(tǒng)一命題,，這樣做有助于切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),，有助于營造風(fēng)清氣正的教學(xué)風(fēng)氣，有助于保持中考命題的權(quán)威性,，有助于保證命題的整體質(zhì)量和命題風(fēng)格的延續(xù)性,，有助于教師的教和學(xué)生的學(xué).為了給命題單位提供借鑒，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)和教師的教,，我們對近10年安徽省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)幾何壓軸題進(jìn)行分析,，給教師的科學(xué)施教和學(xué)生的復(fù)習(xí)備考提供相應(yīng)的素材，切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),，有效提高課堂教學(xué)效益.

1.試題總體分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》^[1]在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中指出：能夠“運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行推理證明,，初步掌握幾何證明方法，進(jìn)一步增強(qiáng)幾何直觀,、空間觀念和推理能力”.推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù),、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.^[1]

幾何作為承載邏輯推理能力培養(yǎng)與發(fā)展的重要載體,，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)業(yè)水平考查中應(yīng)發(fā)揮一定的作用,，故除了在選擇題、填空題和解答題中相應(yīng)涉及以外,，還應(yīng)在壓軸題中予以特別強(qiáng)調(diào),。安徽省中考數(shù)學(xué)試卷對于三角形、四邊形和圓的知識的考查方式有所不同,，在選擇題和填空題中除了涉及一定的三角形,、四邊形知識，一般還涉及圓的知識,，這樣就把考查的重點(diǎn)知識和關(guān)鍵環(huán)節(jié)落實(shí)在三角形和四邊形中,，綜合考查三角形全等和相似的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形求長度,，求角度,，證明線段相等的關(guān)系以及和差倍分關(guān)系，特殊四邊形的判定與性質(zhì),，利用銳角三角函數(shù)的概念求相應(yīng)的三角函數(shù)值等相關(guān)知識.

問或第二問設(shè)置成兩個小問）或三個問,，其中設(shè)置兩問的有2016年,，第（1）問又設(shè)置為①、②,，2017年第（2）問設(shè)置成①,、②，2022年設(shè)置為（1）,、（2）①,、②，這樣基本上相當(dāng)于三問,；其余年份均設(shè)置成三問,，其中2014年第（1）問設(shè)計(jì)成①、②.所有試題第一問都比較簡單,，即起點(diǎn)低,，考查簡單的角度計(jì)算，通過全等三角形去證明線段相等關(guān)系或通過相似三角形去證明一條線段的平方等于另外兩條線段的積.第二問和第三問大都要求判定兩個三角形相似,，在此基礎(chǔ)上,，證明線段的比例關(guān)系（2013年），2015年證明兩個三角形相似和求線段的比值,，2016年證明相似后求角度大小和兩條線段的比值,，2017年證明兩個三角

形相似和求銳角三角函數(shù)的值，2018年利用相似判定兩個角相等,，再判定兩條直線平行,，2019年三個問都是關(guān)于相似三角形的，利用相似證明線段的數(shù)量關(guān)系和乘積關(guān)系,，2020年第（2）問利用相似求線段的長度,，第（3）問利用全等證線段的和差倍數(shù)關(guān)系，2021年第（2）,、（3）問都是利用相似三角形求線段的長度,，2022年第（2）問要求求角度的大小和證明兩條線段相等，由此不難看到相似三角形的判定和性質(zhì)在壓軸題中起著至關(guān)重要的作用,，但所有的全等和相似的判定都有多種方法可以突破,，注重問題解決的通性通法，不局限于特

平面幾何雖然圖形多,，變化萬千,，但都是由一些基本圖形構(gòu)成的，這些基本圖形是一些知識的生長點(diǎn),，也是中考命題的立足點(diǎn),，特別是等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)相似模型特別受命題青睞者

例7（2015年）如圖16，在四邊形ABCD中,，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),，過點(diǎn)

2.5在關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時,，注意綜合實(shí)踐活動的開展

綜合與實(shí)踐作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，承載了培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的重要功能,，但在學(xué)業(yè)水平試卷中如何設(shè)計(jì)綜合與實(shí)踐問題,，考查學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新品質(zhì)，是一個比較困難的問題,，對此,，安徽省進(jìn)行了有益的探索，設(shè)計(jì)了一些優(yōu)秀的試題^[5],，這些試題以代數(shù)為主,，但也不乏優(yōu)秀的幾何壓軸題.如2013年壓軸題，依托等腰三角形,、等腰梯形的概念,，創(chuàng)設(shè)了“準(zhǔn)等腰梯形”的新穎背景，要求在新的概念下探究“準(zhǔn)等腰梯形”的性質(zhì),，考查學(xué)生的畫圖的能力,、推理的能力和空間觀念，在此基礎(chǔ)上要求學(xué)生對一般的四邊形判斷是不是“準(zhǔn)等腰梯形”,，對學(xué)生的幾何直觀有一定的要求.

3.教學(xué)建議

作為試卷最后一題的壓軸題,，在試卷中發(fā)揮著“定海神針”的作用。因其分值最高,，難度相對較難,，區(qū)分度相對較大，而受到家長,、學(xué)生和教師的高度關(guān)注,。尤其是作為壓軸題的幾何題，承載著對推理能力,、運(yùn)算能力,、幾何直觀、空間觀念,、抽象能力等關(guān)鍵能力的考查,，還兼顧對綜合與實(shí)踐的考查，所以在教學(xué)的管理中,，我們要在思想上高度重視,，在教學(xué)的過程中精心謀劃，在方法的斟酌上精雕細(xì)琢,，在素材的選擇上精益求精,。

3.1規(guī)范教學(xué)流程,，夯實(shí)知識基礎(chǔ)

復(fù)習(xí)作為課堂教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，在復(fù)習(xí)時,，首先要制定周密的復(fù)習(xí)計(jì)劃,，一般遵循三輪復(fù)習(xí)方案：第一輪以知識點(diǎn)為主，復(fù)習(xí)時以知識點(diǎn)為主線,，進(jìn)行全面梳理,，切記不能出現(xiàn)知識盲區(qū)；第二輪以專題復(fù)習(xí)為主,，對相應(yīng)的專題形成知識鏈條,，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力和素養(yǎng)；第三輪以模擬測試為主,，提升綜合能力.在復(fù)習(xí)課上要發(fā)揮課堂作為教學(xué)主陣地的作用,，規(guī)范課堂教學(xué)的每一個流程，同時加強(qiáng)課堂教學(xué)的監(jiān)控,，切實(shí)提高課堂教學(xué)效益,。與此同時，還要科學(xué)設(shè)計(jì)作業(yè),，精心批閱作業(yè),，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題，采取高效的措施予以解決,。只有堅(jiān)持這樣做才能夯實(shí)知識基礎(chǔ),，把知識上升為能力，能力發(fā)展為素養(yǎng),，才能夠在面對綜合的壓軸題時處變不驚,，游刃有余。

3.2堅(jiān)持問題導(dǎo)向,，實(shí)施問題驅(qū)動

要堅(jiān)持問題導(dǎo)向,，以問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，實(shí)施問題有效驅(qū)動,。讓學(xué)生參與教學(xué)全過程,，在問題的討論、反思,、感悟中,，總結(jié)解題的一般規(guī)律，形成屬于自己的解題經(jīng)驗(yàn),。以問題為導(dǎo)引,，通過變式、反思,、糾錯,、感悟等手段實(shí)現(xiàn)對知識的理解,、掌握、應(yīng)用,、拓展和延伸,。要精心選擇典型的問題,，充分發(fā)揮典型問題的示范引領(lǐng)作用,、提煉變式作用、廣泛應(yīng)用作用等功能,。變式,、拓展的方法可包含：一般化與特殊化的轉(zhuǎn)化，已知與結(jié)論的互換,、條件的增減,、圖形的幾何變換等。堅(jiān)持這樣做,，學(xué)生在遇到新的問題時,，才能產(chǎn)生條件反射，靈活應(yīng)對,。

3.3加強(qiáng)模型提煉,，強(qiáng)化變式整合

幾何模型是幾何知識的重要體現(xiàn)，常見的幾何模型有：手拉手模型,，一線三等角模型,， A字型模型，等腰直角三角形模型等,。教學(xué)中要加強(qiáng)對模型的提煉,、整合、抽取,、應(yīng)用,。強(qiáng)化模型的變式、引申,、拓展,，發(fā)揮模型思想在解決幾何問題中的重要作用。要?dú)w納總結(jié)解決模型的基本思路,、方法,。通過對模型的分析，將全等,、相似,、四點(diǎn)共圓等知識聯(lián)系起來，多措并舉解決問題,。

3.4堅(jiān)持推算并舉,，輔以綜合實(shí)踐

在關(guān)注幾何推理的同時,，不能忽視相應(yīng)的運(yùn)算。通過一定的運(yùn)算,，可以發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,，借助數(shù)量關(guān)系能夠揭示圖形中角的關(guān)系、線段的和差倍分關(guān)系以及位置關(guān)系,。在教學(xué)中要選擇恰當(dāng)?shù)膯栴},，設(shè)計(jì)科學(xué)的融推理和運(yùn)算于一體的試題，在注重推理的同時,，重視運(yùn)算的作用.

要創(chuàng)設(shè)一定的條件,，編制一些綜合與實(shí)踐問題，讓學(xué)生有一種身臨其境的感覺,，通過綜合實(shí)踐活動,，將幾何知識活化為一種文化的催化劑，轉(zhuǎn)化為一種數(shù)學(xué)思想,，最終上升為一種素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社,，2022年.

[2]鄒守文.中點(diǎn)與平行共舞 相似并方程聯(lián)姻——2021年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題探究[J]理科考試研究，2021,，28（22）:2—5.

[3]鄒守文.植根基本模型 凸顯核心素養(yǎng)——2020年安徽中考壓軸題賞析[J]理科考試研究,，2021，28（10）：2—5.

[4]鄒守文.立足課程標(biāo)準(zhǔn) 引領(lǐng)核心素養(yǎng) ——2018年安徽中考壓軸題賞析[J]中學(xué)數(shù)學(xué),，2018,，10：78—80.

[5]鄒守文.在傳承中發(fā)展 于細(xì)微處創(chuàng)新——2012年安徽省中考試卷點(diǎn)評與復(fù)習(xí)建議[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013,，7,8：88—93.