平均值法計算積分

人老顛東 2023-03-07 發(fā)布于安徽

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這次介紹 平均值法 數(shù)值計算積分

數(shù)值計算:

平均值法
(1) 取 ~,，則
所以
(2) 設 i.i.d. ,，則是獨立同分布隨機變量序列，由 強大數(shù)定律：
(3) 的強相合估計為：
算例

以下為Python代碼 (代碼實現(xiàn)了平均值法、復合Simpson法,、Python自帶函數(shù))

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import integrate

# exp(x^2) 在 [1,2] 的積分
a,b = 1,2

# 定積分計算
def f(x):
    return np.exp(x**2)
    
I_exact, Error = integrate.quad(f,a,b)

# 平均值法
N = np.power(10,4)
x_sample = a + (b-a)*np.random.rand(N)
np.random.seed(1)
h_x = f(x_sample)
I_approx_stat = (b-a)/N*np.sum(h_x)

# 復合Simpson
M = np.power(2,12)+1
h = (b-a)/M
x = np.linspace(a,b,M)
coeff = np.ones(M)
coeff[np.arange(1,M-2,1)] = 4
coeff[np.arange(2,M-1,2)] = 2
I_approx_simpson = np.sum( np.multiply( f(x), h*coeff/3 ) )

print( '定積分值：', I_exact )
print( '平均值法結果：', I_approx_stat )
print( '復合Simpson法結果：', I_approx_simpson )

plt.hist(x_sample, 30, density = True)
plt.title('histogram of random numbers',fontsize = 15)
plt.xlabel('x',fontsize = 15)
plt.ylabel('density',fontsize = 15)

plt.show()