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快速獲得最新干貨 本文轉(zhuǎn)載自自動駕駛與AI 概率論基礎(chǔ)邊緣概率邊緣概率是相對于聯(lián)合概率而言的的,，雖然你有兩個變量（x,y）但是你可以只考慮x或者y的分部，好像另外一個不存在一樣,，寫作 P(x) 或者 P(y) ,。  離散概率和為1，即：  為了簡化符號,，在可能時通常省略隨機變量的明確表示,，而是使用常見的縮寫 P(x) 代替 P(X=x) 。 聯(lián)合概率和獨立兩個隨機變量X和Y的聯(lián)合概率表示兩件事都發(fā)生的概率,，由下式給出：  如果X和Y相互獨立,，有 P(x,y)=P(x)P(y). 獨立與條件獨立 左邊是獨立的定義,，右邊是條件獨立的定義?？梢钥闯觯簵l件獨立是指在某個條件已知的前提下獨立,。 注意：獨立與條件獨立不能互推。 https://zhuanlan.zhihu.com/p/58593725 條件獨立的理解“ 條件概率假定已經(jīng)知道Y=y,，想知道基于以上事實條件X=x的概率。這樣的概率表示為  稱為條件概率,。 如果p(y)>0，則條件概率定義為 .  “ 如果X和Y相互獨立，則有 .  聯(lián)合概率,、邊緣概率與條件概率之間的關(guān)系 將概率轉(zhuǎn)化為面積來理解： “  全概率定理從條件概率和概率測量公理得出的一個有趣事實經(jīng)常被稱為全概率定理：  貝葉斯定理https://www.cnblogs.com/HuZihu/p/9368355.html 該定理將條件概率p(x|y)與其“逆”概率p(ylx)聯(lián)系起來,。如此處所闡述的,，準則要求p(y)>0:  如果x是一個希望由y推測出來的數(shù)值，其中y稱為數(shù)據(jù)(data)（結(jié)果）,，也就是傳感器測量值,。P(x) 是先驗概率（prior probability）， P(y|x) 是條件概率（conditional probability）（原因）,， P(x}y) 是后驗概率（posterior probability）,。 “ 貝葉斯濾波貝葉斯濾波基于馬爾可夫假設(shè),。 馬爾可夫假設(shè)“ 公式展示公式推導證明來自《概率機器人》p23~25頁，用到了馬爾可夫假設(shè),、全概率定理,、條件獨立、貝葉斯定理等,。 卡爾曼濾波（KF和EKF）https://zhuanlan.zhihu.com/p/558449409 EKF局限性所以EKF面臨的一個重要問題是,，當一個高斯分布經(jīng)過非線性變換后，如何用另一個高斯分布近似它,？按照它現(xiàn)在的做法,，存在以下的局限性：（注意是濾波器自己的局限性，還沒談在SLAM問題里的局限性）,。
解決辦法那么，怎么克服以上的缺點呢,？途徑很多,，主要看我們想不想維持EKF的假設(shè)。如果我們只是希望維持高斯分布假設(shè),，可以這樣子改：
無跡卡爾曼濾波（UKF）https://blog.csdn.net/gangdanerya/article/details/105215446 該算法的核心思想是：采用無損變換（Unscented Transform,，UT）,，利用一組Sigma采樣點來描述隨機變量的高斯分布，然后通過非線性函數(shù)的傳遞,，再利用加權(quán)統(tǒng)計線性回歸技術(shù)來近似非x線性函數(shù)的后驗均值和方差,。 “ UT變換y=f(x)是一個非線性變換, x為 n 維隨機變量,，UT變換根據(jù)一定的采樣策略，獲得一組Sigma采樣點,，并設(shè)定均值權(quán)值W和方差權(quán)值,，來近似非線性函數(shù)的后驗均值和方差。利用選取的Sigma采樣點集進行非線性函數(shù)傳遞可得： 其中,，y_i為Sigma采樣經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞后對應的點,。根據(jù)加權(quán)統(tǒng)計線性回歸技術(shù)，可以近似得到y(tǒng)的統(tǒng)計特性： Sigma點采樣策略下面介紹兩種經(jīng)常使用的采樣策略：比例采樣和比例修正對稱采樣,。 根據(jù)Sigma點采樣策略不同,，相應的Sigma點以及均值權(quán)值和方差權(quán)值也不盡相同，因此UT變換的估計精度也會有差異,。但總體來說,，其估計精度能夠達到泰勒級數(shù)展開的二階精度。 使用參數(shù)beta對高斯表示的附加的分布信息進行編碼,。如果分布是精確的高斯分布,，則beta=2是最佳的選擇。 其中11行,，參考 Will：EKF公式推導 中的證明的協(xié)方差的其他形式,。 UKF采樣原則為保證隨機變量x經(jīng)過采樣之后得到的Sigma采樣點仍具有原變量的必要特性，所以采樣點的選取應滿足： 式中{}內(nèi)的符號分別為Sigma采樣點,，均值權(quán)值和方差權(quán)值組成的集合,；L為采樣點個數(shù)，P為隨機變量x的密度函數(shù),，g[~]確定x的相關(guān)信息,。如果密度函數(shù)P(x)只有一、二階矩時,，可以寫成： UKF的特點UKF相比于EKF的精度更高一些,，其精度相當于二階泰勒展開，但速度會略慢一點,。UKF另一個巨大優(yōu)勢是不需要計算雅克比矩陣,，而有些時候雅克比矩陣也確實的我們無法獲得的。 另外UKF與PF(粒子濾波)也有相似之處,，只是無跡變換中選擇的粒子是明確的,，而粒子濾波中的粒子是隨機的。隨機的好處是可以用于任意分布，但也具有其局限性,。因此對于分布近似為高斯分布的,，采用UKF將更有效。 信息濾波（IF）卡爾曼濾波(KF)的對偶濾波算法就是信息濾波(Information Filter,，IF),，形式和KF差不多。 其中,，用信息向量 和信息矩陣 表示KF中的 和.轉(zhuǎn)換關(guān)系為： Error-state卡爾曼濾波（ESKF）ESKF(error state Kalman filter)是Kalman濾波的一種特殊形式,，采用ESKF的原因是由于對誤差的線性化要比直接對函數(shù)進行線性化更加符合實際情況。如下圖： 狀態(tài)誤差卡爾曼(ESKF)的應用,，它是卡爾曼濾波器的變種中應用最為廣泛的一種,，與EKF一樣，它也是一種針對時變系統(tǒng)的非線性濾波器,。但是與EKF不同的是,，它的線性化是總是在0附近，因此線性化更準確,。絕大部分的場景,，ESKF就足夠使用了。如果對于濾波有更高的要求,，可以選擇UKF,，甚至PF。 ESKF數(shù)學模型Error-state Kalman Filter（ESKF）就是一種傳感器融合的算法,，它的基礎(chǔ)仍然是卡爾曼濾波,。它的核心思想是把系統(tǒng)的狀態(tài)分為三類：
基于以上狀態(tài)分類，我們可以將關(guān)心的true-state,，分為兩部分,，分別進行估計，即nominal state和error state,，然后再進行二者疊加,。 ESKF的全過程
ESKF的優(yōu)勢Error State中的參數(shù)數(shù)量與運動自由度是相等的，避免了過參數(shù)化引起的協(xié)方差矩陣奇異的風險,； 公式推導https://zhuanlan.zhihu.com/p/557496107 迭代卡爾曼濾波（IKF/IEKF）多狀態(tài)約束下的卡爾曼濾波（MSCKF）粒子濾波（PF）https://blog.csdn.net/weixin_38145317/article/details/82852580 總結(jié)和比較卡爾曼濾波和其他方法的比較
濾波和優(yōu)化方法的區(qū)別濾波方法（EKF）： （1）濾波方法具有一階馬爾可夫假設(shè),，k時刻的狀態(tài)只與k-1時刻相關(guān)。 （2）可以粗略認為EKF僅是優(yōu)化中的一次迭代,，除非是使用IKF/IEKF （3）計算量小,，實時性較好，容易積累誤差。 優(yōu)化方法（BA）： （1）沒有馬爾可夫假設(shè),，更傾向于使用所有的歷史數(shù)據(jù),。稱為全體時間上的SLAM（Full-SLAM），計算量變大 （2）沒有迭代次數(shù)的限制 （3）累計誤差少,。最理想的情況是回環(huán)檢測之后,，可以消除整個軌跡的誤差。 （4）計算量大,。不過目前基于雅各比和海森矩陣稀疏性的研究,，使得計算資源的消耗大大降低。 “ 卡爾曼濾波器：從k-1時刻后驗推k時刻先驗,，從k時刻先驗推k時刻后驗（馬爾可夫假設(shè)）,； 從全文的整理來看，特別是在IKF章節(jié),，我們可以發(fā)現(xiàn)濾波算法其實就是將Sliding Window的大小設(shè)置為1的優(yōu)化算法,，不論是優(yōu)化算法還是濾波算法都是期望求解出問題概率模型的最大似然估計（MLE），本質(zhì)上濾波就是基于馬爾可夫假設(shè)將優(yōu)化問題的建模進行了“特征化”的處理。再進一步分析,，正因為濾波器進行了范圍上維度的“簡化”,、模型的近似處理，所以其計算消耗較于優(yōu)化算法更低,，但由此引發(fā)的代價就是精度上的損失,。另一個需要考慮的方面是，濾波器是由先驗信息+運動模型+觀測信息三個方面點順序執(zhí)行,，以實現(xiàn)位姿狀及其協(xié)方差的估計和更新,，也正因為濾波器的框架如此，若是先驗（上一時刻）狀態(tài)出現(xiàn)了問題,，比如位姿跟丟,、計算錯誤等，那么在該時刻之后的狀態(tài)都會出現(xiàn)問題以致糾正不回來了,，而基于優(yōu)化方法的位姿求解則會考慮更多時刻（關(guān)鍵幀）下的狀態(tài)信息和觀測信息,，即使有某一時刻的狀態(tài)量和協(xié)方差是outlier，系統(tǒng)也有一定的能力維穩(wěn),。 如果在處理器算力充足且精度為第一需求的前提下,，那么在位姿估算問題處理上是首推優(yōu)化算法，但若是效率是第一前提條件,，那么就需要根據(jù)實際的應用情況和機器人問題模型選擇合適的濾波器了,。 參考Sky Shaw：多傳感器融合 ｜ 各類濾波器方法整理 https://zhuanlan.zhihu.com/p/542440266 SLAM中的EKF，UKF,，PF原理簡介 - 半閑居士 - 博客園 https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5560360.html SLAM 中的 Kalman Filter 推導 學機器人SLAM/3D視覺,，就上cvlife.net ！ 獨家重磅課程官網(wǎng)：cvlife.net 全國最大的機器人SLAM開發(fā)者社區(qū) 技術(shù)交流群 — 版權(quán)聲明 — |
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