平面直角坐標(biāo)系的來歷：

有一天法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾臥病在床,。盡管病情很重,，但他還在反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的,，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來,？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組數(shù)掛上鉤,，怎樣才能把點(diǎn)和數(shù)聯(lián)系起來呢,？突然,，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來,，一會(huì)兒功夫,，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲,。蜘蛛的表演使笛卡爾的思路豁然開朗,。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn),，蜘蛛的位置可以確定,，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸,，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有順序的三個(gè)數(shù),。同樣道理，用一組數(shù)（x,，y）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn),，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，這就是坐標(biāo)系的雛形,。

首先要清楚平面直角坐標(biāo)系的定義：

平面中相互垂直的兩個(gè)數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系。

一般的我們認(rèn)為兩條數(shù)軸的原點(diǎn)是重合的,，兩條數(shù)軸的正方向是向上和向右的,，兩條數(shù)軸的單位長度是相同的。（其實(shí)這些都因研究問題的不同而不同）

定義了直角坐標(biāo)系之后就將平面分成了四個(gè)部分,，這就是四個(gè)象限：第一象限,、第二象限、第三象限,、第四象限,。（注意：平面直角坐標(biāo)系將平面分成四個(gè)象限，但是四個(gè)象限并不能組成一個(gè)完整的平面?。?/span>

我們需要掌握給定點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的坐標(biāo)；以及給定坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的位置（象限）,。

比如：已知平面直角坐標(biāo)系中,，點(diǎn)P（m-2,-m+3）在第二象限，則的取值范圍是______．

解答：

由題意可知：∵點(diǎn)P（m-2,-m+3）在第二象限

∴m-2＜0,，-m+3＞0

解得：m＜2

通過對(duì)點(diǎn)的位置和點(diǎn)的坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)能意識(shí)到坐標(biāo)和線段之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,，比如橫坐標(biāo)就跟橫著的線段有關(guān),，縱坐標(biāo)就跟豎著的線段有關(guān),。

下面我們就深入了解一下點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長之間的聯(lián)系。

①與x軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：

與x軸平行的直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,，橫坐標(biāo)不同,。

并且CD=較大的橫坐標(biāo)-較小的橫坐標(biāo)

②與y軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：

與y軸平行的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同,。

并且GH=較大的縱坐標(biāo)-較小的縱坐標(biāo)

③兩點(diǎn)間距離公式：

這個(gè)就是高中的兩點(diǎn)間距離公式,，按照要求初中不需要掌握，所以我建議學(xué)生理解根本,，其實(shí)就是勾股定理,。我們做題的時(shí)候要給出這個(gè)直角三角形勾股定理來求解。

上面的三個(gè)方面都是建立在已知點(diǎn)的坐標(biāo)基礎(chǔ)上求線段長,，直角坐標(biāo)系的好處是建立線段長和坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,，所以很多時(shí)候我們還需要利用線段長來求坐標(biāo)。

例題一：若直線AB∥x軸,，A（2,1）且線段AB=2,，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______。

如圖所示,，利用上述線段長的求法,，設(shè)點(diǎn)B（x，1）,，

由題意可知：|x-2|=2

解得：x=4,，x=0

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）或（0,，1）,。

反思：

做這類題目的時(shí)候關(guān)鍵要畫圖，要通過線段長來體現(xiàn)坐標(biāo),，更重要的是由線段長求坐標(biāo)有時(shí)需要討論,。線段平行于y軸的例子我就不再舉了。特別強(qiáng)調(diào)的是：例題一是我們解決這一章所有問題的基礎(chǔ),，就是所有的問題都必須轉(zhuǎn)化為橫著和豎著的線段來求解,。

例題二：

如圖，在直角坐標(biāo)系中,，AD=8,，OD=OB，平行四邊形ABCD的面積為24,，求其4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),。

分析：

求點(diǎn)的坐標(biāo)就是求對(duì)應(yīng)的橫、豎線段的長,，然后考慮象限確定符號(hào),。

反思：

求點(diǎn)C的坐標(biāo)的時(shí)候也可以像下圖這樣作輔助線,，利用△ABO≌△DCH來求解。

例題三：

在直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（3,，2）,、B（4，0）,，試在坐標(biāo)系中找一個(gè)點(diǎn)C,，使得以點(diǎn)O、A,、B,、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。

分析：

利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形我們可以畫出符合條件的點(diǎn)有三個(gè),。

反思：

前面兩個(gè)點(diǎn)雖說有同學(xué)可以直接看出,，但是我們要清楚解決的方法其實(shí)就是例題一的做法。第三個(gè)點(diǎn)我們也可以通過證明△AON≌△BCM來求解,。

例題四：

在直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（3,，2）、B（1,，-2）,、C（-1，1）,，試在坐標(biāo)系中找一個(gè)點(diǎn)D,，使得以點(diǎn)A、B,、C,、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。

分析：

利用剛才的分析方式可以迅速的畫出三個(gè)點(diǎn),，不過這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都不是那么容易求出,，我們需要僅僅抓住解題的基礎(chǔ)：使用橫著和豎著的線段來解決問題。我們以D1為例來說明如何求解,。點(diǎn)D1靠近C點(diǎn),，所以我們要構(gòu)造以CD1為一邊的直角三角形來求解。如下圖所示：

反思：

點(diǎn)D1也靠近A點(diǎn),，我們以可以利用A點(diǎn)構(gòu)造含有線段AD的三角形與含有BC的三角形全等來解決,。其他兩種情況我們也可以利用相同的方式來解決。

例題五：

如圖,，直角坐標(biāo)系中的線段AB，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),，試用點(diǎn)A,、B的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo),。

分析：

通過之前幾何中對(duì)于中點(diǎn)的處理方式，我們可以利用中點(diǎn)構(gòu)造全等來處理,，如下圖所示,，我們可以構(gòu)造△APM≌△BPN就可以解決。

反思：

了解了中點(diǎn)坐標(biāo)的公式,，其實(shí)我們也可以通過中點(diǎn)公式來求解平行四邊形的第四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),，有興趣的同學(xué)可以試一下。