器利方工善——數(shù)學(xué)語(yǔ)言無(wú)矛盾性與其對(duì)認(rèn)識(shí)世界與未來(lái)的意義小探

鐘作奇

北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 本科生

摘要：數(shù)學(xué)這一門建立在公理體系上的邏輯學(xué)科通過(guò)演繹構(gòu)筑其內(nèi)容,，使得統(tǒng)一公理框架下進(jìn)行的推導(dǎo)得出的結(jié)論無(wú)矛盾,。這種特性極大程度提升了人類認(rèn)識(shí)世界、預(yù)測(cè)未來(lái)的種種能力。本文中,，首先將探討數(shù)學(xué)語(yǔ)言的無(wú)矛盾性與其來(lái)源,，接著會(huì)對(duì)利用數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)世界、預(yù)測(cè)未來(lái)的可能性進(jìn)行說(shuō)明,；最后,，對(duì)存在、時(shí)間,、必然與數(shù)學(xué)這四個(gè)名詞大致按理論發(fā)展順序進(jìn)行了梳理,，并就其關(guān)系進(jìn)行了討論，深化論證了數(shù)學(xué)語(yǔ)言無(wú)矛盾性的意義,。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 無(wú)矛盾 必然 理性認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一個(gè)特征是,，從相同的條件出發(fā)，按不同的思路在同一個(gè)公理體系中用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)推理,，得到的結(jié)論一定是無(wú)矛盾的,。這是數(shù)學(xué)家們?cè)诔橄蟮氖澜缰写罱ú⑼晟谱约旱脑捳Z(yǔ)城堡的結(jié)果，從而也產(chǎn)生了數(shù)學(xué)真理化的觀點(diǎn),?！皵?shù)學(xué)通過(guò)自身的公理來(lái)闡釋自然界，并且從中導(dǎo)出了其他的真理,，而不論它們是否會(huì)立刻在自然界得到確證,，所以數(shù)學(xué)必須是一致的、相容的”[11]（本文凡以方括號(hào)標(biāo)識(shí)的均指向文末所附文獻(xiàn)列表,，下同）,。

以《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》為開(kāi)端的經(jīng)典力學(xué)自發(fā)展以來(lái)，自然界中物質(zhì)所遵循的規(guī)律與用數(shù)學(xué)形式表示了出來(lái),，很大程度上助長(zhǎng)了決定論與因果律的觀點(diǎn),。

這些觀點(diǎn)認(rèn)為，當(dāng)前時(shí)刻的物質(zhì)狀態(tài)與自然規(guī)律已知的情況下,，可以由精煉為數(shù)學(xué)表達(dá)式的物理定律等對(duì)即將到來(lái)的時(shí)刻進(jìn)行演算,，“就沒(méi)有什么是不確定的了，無(wú)論過(guò)去還是未來(lái)都展現(xiàn)在它眼前”[8],。而近代以來(lái)量子力學(xué)的發(fā)展則對(duì)強(qiáng)因果律等發(fā)起了挑戰(zhàn),，概率波等模型昭示著我們對(duì)未來(lái)沒(méi)有絕對(duì)的把握，所能把握的是未來(lái)時(shí)空中事件的概率,。（狄拉克,、坂田昌一等都批評(píng)了概率性的量子力學(xué)，但都沒(méi)有提出一個(gè)有用的替代模型,。詳見(jiàn)[8],。）

但無(wú)論是因果律還是量子力學(xué)中關(guān)于未來(lái)的概率確定論的觀點(diǎn)，其出發(fā)點(diǎn)都承認(rèn)了自然的部分可認(rèn)識(shí)性。但以康德為代表的哲學(xué)家堅(jiān)持“我們不是在認(rèn)識(shí)自然,，我們也不能認(rèn)識(shí)自然”的觀點(diǎn),，認(rèn)為知性不能認(rèn)識(shí)物自體，“不是在從大自然得出規(guī)律而是給大自然規(guī)定規(guī)律”,，對(duì)數(shù)學(xué)物理認(rèn)識(shí)世界,、預(yù)測(cè)未來(lái)的功用給予了另一方面的解釋,。

本文意圖不在于對(duì)各位哲學(xué)大家的觀點(diǎn)進(jìn)行批駁,，僅就自己對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性以及數(shù)學(xué)在物理學(xué)等自然科學(xué)中的應(yīng)用，探討在現(xiàn)代科學(xué)的語(yǔ)境下,，我們對(duì)時(shí)間,、對(duì)未來(lái)、對(duì)確定性可能持有的態(tài)度,。

恩格斯指出，“和其他所有科學(xué)一樣,，數(shù)學(xué)是從人們的實(shí)際需要上產(chǎn)生的：是從丈量地段面積和衡量器物容積,，從計(jì)算時(shí)間，從制造工作中產(chǎn)生的”,。這點(diǎn)與物理學(xué),、天文學(xué)等自然科學(xué)相似：這些學(xué)科都是從人們對(duì)自然的認(rèn)識(shí)、改造中所抽象出來(lái)的模型化的認(rèn)知工具,。

但數(shù)學(xué)與其他科學(xué)不同的是,，其他學(xué)科感興趣的抽象是由觀察測(cè)量之經(jīng)驗(yàn)抽象出來(lái)的規(guī)律同某個(gè)完全確定的現(xiàn)象領(lǐng)域的對(duì)應(yīng)問(wèn)題、研究已經(jīng)形成的概念系統(tǒng)對(duì)給定現(xiàn)象領(lǐng)域的運(yùn)用界限問(wèn)題,，和所采用的抽象系統(tǒng)的相應(yīng)更換問(wèn)題,，并把這三個(gè)問(wèn)題作為最重要的任務(wù)之一；數(shù)學(xué)則完全舍棄了具體現(xiàn)象去研究一般性質(zhì),，在抽象的共性中考察這些抽象系統(tǒng)本身[6],，而且隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這些理論中數(shù)學(xué)家根據(jù)自己的需要所發(fā)展出來(lái)的概念,，可能在現(xiàn)實(shí)中不存在其映射,，抑或存在其映射——巧妙的是，抽象系統(tǒng)發(fā)展時(shí)可能并沒(méi)有考慮之,。從內(nèi)部看,，數(shù)學(xué)是一門演繹的學(xué)科，以某些公設(shè)為起點(diǎn),，通過(guò)嚴(yán)格演繹過(guò)程達(dá)到許多定理,，這就構(gòu)成數(shù)學(xué)[7]。

我們以例子來(lái)闡述這個(gè)觀點(diǎn)。在量子論尚未提出時(shí),，維恩,、瑞利從不同的模型與定律假設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出了兩個(gè)不同的黑體輻射譜公式,，其中維恩的公式在短波區(qū)符合得較好,，長(zhǎng)波區(qū)存在系統(tǒng)偏離；瑞利的公式在長(zhǎng)波區(qū)符合較好,，但在短波區(qū)偏離非常大,。這是物理學(xué)研究中對(duì)于未了解現(xiàn)象的一種較為典型的研究過(guò)程：抽象出新的模型，運(yùn)用已有認(rèn)知對(duì)模型進(jìn)行分析,，并與實(shí)際情形進(jìn)行驗(yàn)證,，確定模型的適用范圍、準(zhǔn)確性等,。（普朗克對(duì)于量子的假說(shuō)會(huì)在后文中論述）而數(shù)學(xué)的抽象性使得其能在自身的發(fā)展中不斷完善對(duì)概念的定義,，從而使得其能在給定的公理體系中實(shí)現(xiàn)自洽的結(jié)論——這是其與物理學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)區(qū)別最大的點(diǎn)：在數(shù)學(xué)的發(fā)展中,，我們定義概念,、完善概念；在自然科學(xué)的研究中,，我們定義模型,、修改模型、確定模型的應(yīng)用范圍,。

圖為黑體輻射模型

在希臘幾何的歷史上,，歐幾里得所作的嚴(yán)格和系統(tǒng)的敘述開(kāi)啟了公理化證明的先河[4]。隨著分析的發(fā)展,，代數(shù),、分析的理論系統(tǒng)越來(lái)越嚴(yán)格、周密,，對(duì)應(yīng)的概念也隨著學(xué)科分支的細(xì)化,。任一概念，不管它是怎樣被精確地定義了,，也還是要變動(dòng)的,，它隨著科學(xué)的發(fā)展而發(fā)展和精確化[6]。例如對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義,，在復(fù)變函數(shù)的概念引入數(shù)學(xué)后有了明顯區(qū)別,，用復(fù)變函數(shù)及其多值相關(guān)性質(zhì)來(lái)闡釋分?jǐn)?shù)指數(shù)冪相比原先的講法來(lái)得更優(yōu)美、統(tǒng)一,。這也正是數(shù)學(xué)發(fā)展的目的與要求的體現(xiàn)：建立一套具有確定性,、真理性的理論體系,。數(shù)學(xué)家以他們對(duì)概念、定義的發(fā)展克服了無(wú)理數(shù),、微積分,、非歐幾何、四元數(shù)中的部分問(wèn)題[11],，將邏輯與論證一步步取代直覺(jué)與經(jīng)驗(yàn),。

但是我們要意識(shí)到，數(shù)學(xué)（至少在一些數(shù)學(xué)家看來(lái)）并沒(méi)有達(dá)到完全的嚴(yán)密,。我們從歷史中可以知曉,，數(shù)學(xué)若朝著沒(méi)有邏輯的方向發(fā)展，會(huì)給數(shù)學(xué)家們的認(rèn)知與理解帶來(lái)困惑,；一些基本概念如無(wú)理數(shù),、連續(xù)性,、積分,、導(dǎo)數(shù)的精確定義并未被所有數(shù)學(xué)家們接受。這也是直接的定義與公設(shè)的定義混雜所帶來(lái)的問(wèn)題之一,。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)后,，邏輯主義、直覺(jué)主義,、形式主義三種流派出現(xiàn)[12],。我們并不認(rèn)為三種主義誰(shuí)對(duì)誰(shuí)有著完全的優(yōu)勢(shì)，但我們需要看到直覺(jué)主義的引入會(huì)給公設(shè)（公理）體系下的純粹數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系帶來(lái)一些非嚴(yán)格的因素,。

笛卡爾曾指出,，“所有研究目的關(guān)乎秩序和尺度的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有聯(lián)系…… 應(yīng)該有一門普遍的科學(xué)來(lái)解釋所有關(guān)于秩序和尺度的知識(shí)，獨(dú)立于對(duì)于任何研究對(duì)象的運(yùn)用,；這門科學(xué)的專名已為長(zhǎng)期的用法所神圣化,，這就是數(shù)學(xué)。它在用處和重要性上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)依賴于它的科學(xué),，證據(jù)就是它同時(shí)包括了這些科學(xué)和許多其他的科學(xué)所追求的目的”,。[9]承認(rèn)其論述，我們可以知道,，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性是純粹數(shù)學(xué)家發(fā)展數(shù)學(xué)的目的,，這正是我們?cè)谕惶坠眢w系中從不同路徑進(jìn)行推導(dǎo)能得到同一結(jié)論所“應(yīng)該感謝”的。

康德指出,，“在任何特定的理論中，只有其中包含數(shù)學(xué)的部分才是真正的科學(xué)”,。我們緣何能應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)自然進(jìn)行認(rèn)識(shí),、對(duì)未來(lái)進(jìn)行部分的預(yù)測(cè)（在承認(rèn)自然部分可認(rèn)識(shí)性的情況下）,？使用數(shù)學(xué)來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界的這種可能性的根據(jù)在于：數(shù)學(xué)從這個(gè)世界本身提取出來(lái)，并且僅僅表現(xiàn)這個(gè)世界所固有的關(guān)系的形式部分,，因此才能夠一般地加以應(yīng)用,。這正是我們上文所論述的數(shù)學(xué)抽象性與邏輯性所帶來(lái)的。我們?cè)诖艘詳?shù)學(xué),、物理學(xué)的聯(lián)系為例,，分析數(shù)學(xué)本身與數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性對(duì)于人類認(rèn)識(shí)自然、把握未來(lái)的可能性,。

大數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家彭加勒這樣認(rèn)為，“一切定律都是從實(shí)驗(yàn)推出,；但是要闡明這些定律,，則需要有專門的語(yǔ)言……數(shù)學(xué)為他（物理學(xué)家）提供了他能夠表述的唯一語(yǔ)言”[13]。物理學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科,，規(guī)律從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)而來(lái),；物理學(xué)家所認(rèn)為的自然界中存在的客觀規(guī)律應(yīng)該是“自稱精確”的、普遍的,，而實(shí)驗(yàn)是個(gè)別的：“為了從實(shí)驗(yàn)得到定律,，就必須加以概括?！倍鴩?yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言“能使物理學(xué)家揭示出事物的隱藏的和諧,，使其以新的方式看待事物”[13]，而不是對(duì)事物進(jìn)行簡(jiǎn)單與模糊的類比：相似與類比的推演缺少邏輯的必然性,，為了讓我們對(duì)于自然建立的理論,、模型能被證明為是正確的，我們需要數(shù)學(xué),，需要這樣一個(gè)在同一公理體系內(nèi)部無(wú)矛盾的“公平秤”,，來(lái)對(duì)我們之于自然的認(rèn)識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。

回到人類歷史中,。托勒密的《至大論》中,，對(duì)本輪和不以地球?yàn)橹行牡男行擒壍赖牡匦睦碚撨M(jìn)行了數(shù)學(xué)上推演與證明。雖然其在部分方面在我們現(xiàn)在看來(lái)存在謬誤（比如否定日心說(shuō)）,，但其理論的偉大意義在于,，他證明了數(shù)學(xué)在將復(fù)雜甚至神秘的現(xiàn)象合理化過(guò)程中的力量[8]。其后,，哥白尼的日心說(shuō),、開(kāi)普勒的三定律進(jìn)一步讓人們對(duì)自然數(shù)學(xué)規(guī)律的合理性給予了更高的認(rèn)可，宏觀宇宙的因果規(guī)則被人們所認(rèn)同,，科學(xué)從神學(xué)中慢慢解放出來(lái),。可以說(shuō),，正是數(shù)學(xué)的應(yīng)用，使得“自然獲得了理性”[11],，人們?cè)谟枚糠椒ㄕJ(rèn)識(shí)自然的過(guò)程中,，逐漸認(rèn)識(shí)到了自然界存在著不以人類意志為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律，我們必須服從之,；但在服從這些規(guī)律之外,，人類還可以利用這些規(guī)律，對(duì)現(xiàn)在的自然產(chǎn)生新的認(rèn)知,，對(duì)未來(lái)的世界進(jìn)行部分可行的預(yù)測(cè),。

圖為托勒密體系的宇宙圖

1846 年，人類發(fā)現(xiàn)了海王星,，然而早在 1612 年,，伽利略已經(jīng)在數(shù)學(xué)演算下推測(cè)出其存在；1888 年,，赫茲成功證明了麥克斯韋方程中語(yǔ)言的電磁波的存在,，為現(xiàn)代通信技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。更為巧妙的是普朗克的量子假說(shuō)“立說(shuō)”的過(guò)程,。前面已經(jīng)提到,，無(wú)論是維恩還是瑞利對(duì)于黑體輻射的輻射譜公式都不能在各波段內(nèi)均與實(shí)驗(yàn)值良好符合。普朗克則運(yùn)用內(nèi)插法給出了在所有波段里與實(shí)驗(yàn)值都符合得很好的黑體輻射公式,。這個(gè)公式起初是半經(jīng)驗(yàn)的、數(shù)學(xué)技巧得來(lái)的,，而后普朗克提出了“諧振子的能量只取某個(gè)基本單元的整數(shù)倍”這一假說(shuō)即普朗克的量子假說(shuō),，才解釋了這一半經(jīng)驗(yàn)的公式——這從經(jīng)典物理學(xué)的眼光看來(lái)著實(shí)不可思議，就連普朗克本人也感到難以置信[17],。而后,，光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)等越來(lái)越多的實(shí)驗(yàn)事實(shí)佐證了這一假設(shè),，可以認(rèn)為這一假說(shuō)已經(jīng)找到了物理存在的對(duì)應(yīng),，將這一假說(shuō)作為基礎(chǔ)的各種理論對(duì)諸如原子、分子穩(wěn)定性等原先自然科學(xué)難題的解釋也十分成功,。這些例子體現(xiàn)著這樣一條路徑：人們可以利用從已知現(xiàn)象中抽象總結(jié)出的規(guī)律,，對(duì)未知的部分進(jìn)行預(yù)測(cè)。如列寧所說(shuō),，“從生動(dòng)的直觀到抽象的思維,，并從抽象的思維到實(shí)踐，這就是認(rèn)識(shí)真理,、認(rèn)識(shí)客觀實(shí)在的辯證途徑”,。而對(duì)抽象后的模型進(jìn)行處理的工具,，正是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)。

“對(duì)于我們篤信物理學(xué)的人來(lái)說(shuō)，過(guò)去,、現(xiàn)在和未來(lái)之間的區(qū)別只不過(guò)是一種頑固的幻覺(jué)”,，愛(ài)因斯坦的這段話道出了物理學(xué)家在認(rèn)為物理定律不隨時(shí)間而發(fā)展變化的前提下，對(duì)利用物理學(xué)認(rèn)識(shí)世界所抱有的樂(lè)觀與確信,?！蹲匀徽軐W(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)“呈現(xiàn)給人類一個(gè)嶄新的世界秩序，和一個(gè)用一套普遍的,、僅用數(shù)學(xué)表述的物理原理控制的宇宙”[10],。拉普拉斯也曾指出，“我們可以把目前的宇宙狀態(tài)看作是宇宙過(guò)去的結(jié)果與將來(lái)的原因”,，體現(xiàn)了經(jīng)典物理框架良好運(yùn)行下以拉普拉斯為代表的一眾物理學(xué)家對(duì)因果論與部分決定論（指物理世界是被決定的,， 自由意志仍然可以存在；是“決定論” 即一切決定的弱形式,， 但“部分決定論” 堅(jiān)持物理世界的完全可認(rèn)識(shí)性）的確信：外部世界是被決定的,。

“運(yùn)動(dòng)的改變與外加的引起運(yùn)動(dòng)的力成比例，并且發(fā)生在沿著那個(gè)力被施加的直線上”,，此即為牛頓第二定律的原始表述[16],。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)形式書(shū)寫之，即為：

我們可以看到,，牛頓第二定律的重要性在于,，其使用一個(gè)微分方程，建立了物體目前所處空間位置與下一步將處在的空間位置的聯(lián)系,。牛頓的力學(xué)三定律,、萬(wàn)有引力定律等與在他之前的伽利略、開(kāi)普勒的工作有著本質(zhì)區(qū)別：伽利略對(duì)物體自由下落時(shí)滿足的運(yùn)動(dòng)的量的規(guī)律進(jìn)行了歸納,，開(kāi)普勒對(duì)行星運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足的幾何關(guān)系的量的規(guī)律進(jìn)行了歸納,，兩者都是經(jīng)驗(yàn)而直觀的；牛頓則運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo),，將前人的工作納入其“力”的基本框架下：這個(gè)框架以其簡(jiǎn)約與優(yōu)美性契合了包括牛頓在內(nèi)的不少物理學(xué)家,、哲學(xué)家的信條——上帝是位偉大的智者，其創(chuàng)造的宇宙是盡善盡美的,。而這個(gè)框架正是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)為物理學(xué)提供的概念所構(gòu)成的：若數(shù)學(xué)失去嚴(yán)格性,，其所提供的概念必然失去其可信力。

牛頓運(yùn)動(dòng)定理的微分方程形式告訴了世間人,，地球上的運(yùn)動(dòng)與宇宙星體的運(yùn)動(dòng)有著共同的基本原因,，并指出了運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與空間之間存在的方程關(guān)系式,。在牛頓所建立、后人所不斷完善的絕對(duì)時(shí)空觀下,，似乎一切不具備自由意志的宏觀物體的運(yùn)動(dòng)都是注定的,，我們能通過(guò)他們現(xiàn)在的狀態(tài)、滿足的方程推知他們?cè)诳臻g上隨著時(shí)間流逝的未來(lái)：似乎在數(shù)理描述的規(guī)律約束下,，若已知現(xiàn)在各事物其狀態(tài)的存在,，那么從現(xiàn)在開(kāi)始的時(shí)間內(nèi)，在空間中所發(fā)生的事件就成為了必然,。

在此,，我們來(lái)補(bǔ)充討論時(shí)間這個(gè)概念的內(nèi)涵。牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀中,，空間中的物體公用著相同時(shí)間,，時(shí)間對(duì)每個(gè)參考系都是“公平”的。感性告訴我們,，時(shí)間在“流逝”,，其運(yùn)行方向是不可逆的。但在牛頓力學(xué)的框架下,，我們可以發(fā)現(xiàn),，時(shí)間似乎并不是不可逆的：將一個(gè)盤子打碎后，存在一種可能,，各個(gè)碎塊將會(huì)吸收聲波中的能量,、恢復(fù)如初，這個(gè)過(guò)程是符合經(jīng)典力學(xué)的守恒律的,，但直覺(jué)上其不可能發(fā)生,；無(wú)論是初狀態(tài)解釋還是耗散解釋，都沒(méi)能將牛頓的絕對(duì)時(shí)間觀與無(wú)方向性解釋清楚,，似乎過(guò)去、現(xiàn)在,、未來(lái)的任何時(shí)刻都是一樣的,。

牛頓的理論僅關(guān)注了宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，并未關(guān)注宏觀物體內(nèi)部的微觀世界,。隨后發(fā)展的氣體動(dòng)理論,、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)等，研究了組成宏觀物質(zhì)的微粒世界,，結(jié)合概率理論,，嘗試用統(tǒng)計(jì)率代替因果率。起初,，人們?nèi)匀徽J(rèn)為,，研究微觀世界的困難僅存在于粒子數(shù)量巨大這一方面,，對(duì)一給定粒子的運(yùn)動(dòng)，仍然可以使用經(jīng)典動(dòng)力學(xué)與電磁學(xué)理論進(jìn)行分析：可以說(shuō),，在剛開(kāi)始研究微觀世界時(shí),，物理學(xué)家并沒(méi)有放棄絕對(duì)因果原則[18]。然而,，隨著人們對(duì)不可逆過(guò)程等的研究,，人們發(fā)現(xiàn)：很難用經(jīng)典動(dòng)力學(xué)等決定論相關(guān)的理論解釋諸如不可逆過(guò)程等熱力學(xué)中的現(xiàn)象。決定論的概念遭到挑戰(zhàn),。給時(shí)間畫(huà)上“箭頭”的,，正是熱力學(xué)中遇到的這些問(wèn)題。熱力學(xué)第二定律指出,，所有的宏觀物理過(guò)程都是不可逆的,。按照熱力學(xué)第二定律，孤立系統(tǒng)的自發(fā)過(guò)程總是從有序向無(wú)序過(guò)渡,，系統(tǒng)的熵（代表系統(tǒng)無(wú)序程度的物理量）不會(huì)減小,，因而熵給所有的孤立系統(tǒng)提供了一個(gè)時(shí)間箭頭[1]。在熵這個(gè)箭頭的指引下,，時(shí)間在物理科學(xué)的體系下已經(jīng)具有了方向性,，我們似乎已經(jīng)可以從物理上定義未來(lái)，并作為一個(gè)觀測(cè)者判斷何是過(guò)去何是未來(lái),。

圖為牛頓所著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》

到熱力學(xué)與前期量子論為止,，我們對(duì)時(shí)間的定義并未與空間掛鉤，認(rèn)為時(shí)間是絕對(duì)的,、在各個(gè)參考系中均勻以同樣速率消逝的（這與我們認(rèn)知相符）,。但愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論指出，空間與時(shí)間并不是能互相分離而獨(dú)自存在的普適的量,，“將來(lái)和過(guò)去不如說(shuō)僅僅是在稱作時(shí)空的某種東西中的方向”,；在其后續(xù)的廣義相對(duì)論體系中，我們?cè)僖膊荒馨芽臻g和時(shí)間設(shè)想成永遠(yuǎn)前進(jìn)而不受在宇宙中發(fā)生事件影響的東西,、被動(dòng)的場(chǎng)景,，他們已經(jīng)成為了動(dòng)力學(xué)的量，和在其中發(fā)生的事件相互影響[10],。我們?cè)瓉?lái)所“信奉”的極其重要的歐氏空間這一先驗(yàn)假設(shè)根基搖搖欲墜[5],；所謂“未來(lái)”，業(yè)已不再是單純的時(shí)間上的概念,。這進(jìn)一步打擊了人們對(duì)先驗(yàn)理性的信心,，“自然不欣賞我們的神話”（愛(ài)因斯坦語(yǔ)）。

再次回到“必然”這個(gè)話題。狹義相對(duì)論隨后的量子力學(xué)更是為決定論在微觀世界中的應(yīng)用判了“死刑”：電子衍射現(xiàn)象告訴我們,，實(shí)物粒子在空間中的分布由“概率波”確定,；不確定性原理直接闡明了粒子的位置與動(dòng)量不能同時(shí)確定……根據(jù)量子力學(xué)的觀點(diǎn)，宇宙也遵照嚴(yán)格準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)形式演化,，不過(guò)那形式所決定的只是未來(lái)發(fā)生的概率——而不是說(shuō)未來(lái)一定會(huì)發(fā)生什么[2],。雖然在量子力學(xué)中對(duì)概率的意義、粒子如何“選擇”它的未來(lái)等問(wèn)題還沒(méi)有一致的認(rèn)識(shí),；但不管如何,，量子力學(xué)告訴了我們，宇宙建立在一些奇異,、與以往認(rèn)知不同的體系上[19],。

再說(shuō)到“存在”。從古至今,，各個(gè)學(xué)科,、各個(gè)流派給予其各不相同的解釋。數(shù)學(xué)存在往往是由數(shù)學(xué)自身的抽象與邏輯自洽的要求產(chǎn)生的,，多是由邏輯證明得到,，相關(guān)概念已經(jīng)在前文論及。物理存在則是科學(xué)主義中存在的代表,，指由我們觀察,、探測(cè)所得的實(shí)在，又或是由經(jīng)歸納法所得的物理規(guī)律經(jīng)過(guò)推導(dǎo)而預(yù)測(cè)出的實(shí)在,。這正分別與理性主義,、經(jīng)驗(yàn)主義研究世界的方法一致；而兩種研究方法對(duì)于人類認(rèn)識(shí)的增進(jìn)有著不同的影響,。如果科學(xué)推理僅限于算術(shù)邏輯過(guò)程,，那么我們?cè)诶斫馕锢硎澜绲牡缆飞蠈⒉荒苄兄h(yuǎn)[3]。前面已經(jīng)提到,，數(shù)學(xué),，尤其是邏輯主義學(xué)派，將數(shù)學(xué)建立在公理的框架上,，由演繹法獲得整個(gè)數(shù)學(xué)體系,；這的確是方便了其余學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用，但我們對(duì)于外部世界的認(rèn)識(shí)是不能通過(guò)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)存在的認(rèn)識(shí)而直接增加的：推理是等價(jià)的,，我們?cè)黾拥氖钦J(rèn)識(shí)世界的工具而不是“知識(shí)”。所以我們說(shuō),，數(shù)學(xué)不是真理,，只是通往真理的橋梁。

人類發(fā)展科學(xué)、追求真理,，是為了“解謎”[15],；或者說(shuō)，把握某些現(xiàn)象之間的關(guān)系并加以利用,?！氨厝弧笨梢钥醋魇鞘挛镆苑€(wěn)定方式相聯(lián)系、原因的小擾動(dòng)只能引起事件的小變化的事件的共同稱呼,，而“偶然”則是事件與原因以不穩(wěn)定的方式相聯(lián)系,、原因的無(wú)論多么小的擾動(dòng)都能引起事件性質(zhì)顯著不同的事件的共同稱呼——這個(gè)定義不依賴人類知識(shí)的豐富與否：即使我們承認(rèn)宇宙中的一切都是決定性的，也不能否認(rèn)偶然事件的發(fā)生[8],。量子力學(xué)中不確定性關(guān)系宣告了從觀察上界定那些精確條件并試圖通過(guò)這些精確條件來(lái)進(jìn)行精確物理量的企圖的破產(chǎn),。概率，在物理學(xué)中更多時(shí)候被界定為一類事件中的頻率——這意味著其與觀察存在著不可逆的關(guān)系,，是我們關(guān)于不確定的事物的知識(shí)的一種屬性,。它可以使我們對(duì)不精確的事物給出精確的說(shuō)明，讓我們對(duì)偶然的在觀察與明確表述出來(lái)的觀察知識(shí)之間引入了一種不可逆關(guān)系,，這種不可逆性使得現(xiàn)存的物理學(xué)體系成為非決定性的[20],。

也就是說(shuō)，如果我們把未來(lái)的必然定義為對(duì)尚未發(fā)生事件的絕對(duì)把握,，那么這一定是無(wú)法達(dá)到的：物理的非決定性已經(jīng)否認(rèn)了用觀察,、推演而對(duì)至少微觀物體的現(xiàn)在狀態(tài)進(jìn)行完全精確的把握的可能性，自然也幻滅了對(duì)未來(lái)狀態(tài)完全精確把握的可能,；更何況在具有自由意識(shí)的人身上以及受人影響的其他事物身上,，因?yàn)橐蚬湕l的一部分存在于我們的意識(shí)之內(nèi)，世界僅僅是被部分決定的[21],。但如若我們對(duì)“必然”的內(nèi)涵進(jìn)行外延,，我們至少對(duì)未來(lái)是能夠做出一些必然性的預(yù)計(jì)的。我們對(duì)于未來(lái)不至于完全沒(méi)有把握：通過(guò)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的武器,，某些不能完全確定的量,，我們可以對(duì)其給定一個(gè)范圍，我們對(duì)這個(gè)量處在這個(gè)范圍之中有十足的把握,；某些不能確定是否發(fā)生的事件,，我們可以確定其概率，也相當(dāng)于對(duì)其有了把握,。我們不去論定也不能論定人類之于自然仍然處在無(wú)知階段,，但所謂“偶然”，并不是人類無(wú)知的代名詞,。

科學(xué)家,、工程師大都是實(shí)用主義者：所謂科學(xué)，在某種程度上可以認(rèn)為是建立在經(jīng)驗(yàn)主義上的、以實(shí)用主義為原則的,、可以被證偽的理論[22],。也就是說(shuō)，我們?cè)趯?duì)外部世界進(jìn)行認(rèn)識(shí)時(shí),，可以選擇能夠解釋已有實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù),、表述盡量簡(jiǎn)單得到可被證偽的適用于研究范圍的理論。我們不需要使用大一統(tǒng)理論來(lái)討論蘋果的落地問(wèn)題,，不需要用量子力學(xué)來(lái)討論宏觀物體的運(yùn)動(dòng),；類似地，在產(chǎn)品生產(chǎn)中,，統(tǒng)計(jì)學(xué)的 3-sigma 原則用“幾乎不可能發(fā)生事件發(fā)生”說(shuō)明了“生產(chǎn)線設(shè)備幾乎一定存在問(wèn)題”,。在這里，第二個(gè)“幾乎”可以說(shuō)是對(duì)數(shù)學(xué)的尊重：出現(xiàn)產(chǎn)品某參數(shù)在 3-sigma 外時(shí),，一定要停下產(chǎn)品線來(lái)看看了,。這也說(shuō)明，在科學(xué)與工程的語(yǔ)境下,，我們可以認(rèn)為不少事件是符合部分決定論的,、特性是可以被觀測(cè)的、規(guī)律是可以被認(rèn)識(shí)的,、預(yù)測(cè)是可以相對(duì)準(zhǔn)確的——就人類的觀察與應(yīng)用而言,。

或許，我們可以對(duì)我們想要討論的四者關(guān)系下一些粗淺結(jié)論,。歸納法所得的科學(xué)使用邏輯演繹構(gòu)筑而成的數(shù)學(xué)為工具,，對(duì)我們未達(dá)到時(shí)空中的物或物物關(guān)系（事件）的存在，能進(jìn)行一些必然的限制,。正是（同一公理體系下）數(shù)學(xué)能從不同路徑推導(dǎo)出相同的結(jié)論,，我們才能相信自己的智慧在數(shù)學(xué)邏輯下推導(dǎo)出來(lái)的理論是正確的、而不是受制于人之上的“超級(jí)智慧”的?，F(xiàn)代物理給先驗(yàn)理性送上了悼詞,，大自然是否如我們所料一般存在秩序、設(shè)計(jì)甚至有目的也不能斷定,。但確鑿無(wú)疑的是,，我們能用我們手中的數(shù)學(xué)工具，為令人困惑的復(fù)雜自然現(xiàn)象提供了某種理解和控制[9],?！皬膩?lái)就沒(méi)有什么救世主，也不靠神仙皇帝,；要?jiǎng)?chuàng)造人類的幸福,，全靠我們自己”,，《國(guó)際歌》中的這句歌詞與前述觀點(diǎn)存在著一致性：數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾讓我們相信邏輯的力量、思想的力量,，器足夠利，工方可善,，這正是數(shù)學(xué),、科學(xué)發(fā)展的信念支撐。

“當(dāng)人類心智越來(lái)越多地?cái)[脫外部世界的羈絆時(shí),，它能夠創(chuàng)造出什么東西,，因此它們就愈加充分地讓我們?cè)诒举|(zhì)上了解人類心智?！边@句話道出了彭加勒對(duì)數(shù)學(xué)之于人類心智之地位與作用的評(píng)價(jià),。人能夠完全以必然的把握認(rèn)識(shí)我們所處的世界么？結(jié)論恐怕是不能,。但在數(shù)學(xué)中,，無(wú)限的思想可能給我們了一定的“開(kāi)脫”。不妨以彭加勒定理——力學(xué)體系經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后總可以回復(fù)到初始狀態(tài)附近——來(lái)討論,。這是彭加勒由數(shù)學(xué)證明得到的,。“總可以”,，是多久的時(shí)間,？所對(duì)應(yīng)的任何力學(xué)體系，我們?nèi)怏w的擴(kuò)散過(guò)程,，那么豈不是得到了氣體擴(kuò)散可逆,，與熱力學(xué)第二定律相違背？那么我們前文論述的存在,、時(shí)間,、必然、難道與數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)格性相矛盾,？

回頭想想,，由彭加勒定律推導(dǎo)出的結(jié)果純粹來(lái)自數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)，由熱力學(xué)第二定律推導(dǎo)出的結(jié)果一部分來(lái)自歸納,，而歸納的毛病,，我們已經(jīng)從牛頓運(yùn)動(dòng)定律的現(xiàn)狀了解了。這樣看起來(lái),，前者似乎比后者更加可信,？私以為兩者并不矛盾。

莊子說(shuō)“吾生也有涯”（《莊子·養(yǎng)生主》）,，彭加勒定律所說(shuō)的“總可以”,，其實(shí)現(xiàn)時(shí)間可能會(huì)超過(guò)人類歷史,、地質(zhì)歷史，更別談人的一生了,。我們難以在人類的生命歷程中對(duì)彭加勒所說(shuō)的復(fù)現(xiàn)進(jìn)行觀察,。所以我們可以說(shuō)，熱力學(xué)第二定律仍然是科學(xué)這具有濃厚經(jīng)驗(yàn)主義與實(shí)用主義的體系中非常普適的定律,?！岸矡o(wú)涯”，若以有涯隨無(wú)涯,，以人的生命量度世界的規(guī)則,，真如莊子所說(shuō)的“殆已”么？我們不妨以彭加勒本人的話為我們對(duì)以上各名詞關(guān)系的討論作結(jié)：“然而——對(duì)于相信時(shí)間的人來(lái)說(shuō)卻存在著一個(gè)奇怪的矛盾——地質(zhì)史向我們表明,，生命只不過(guò)是兩個(gè)永恒死亡之間的短暫插曲,，即使在這一插曲中，有意識(shí)的思想持續(xù)了并且將僅僅持續(xù)一瞬間,。思想無(wú)非是漫漫長(zhǎng)夜之中的一線閃光而已,。但是，正是這種閃光即是一切事物[14]”,。人的軀體,、人的壽命是如此渺小，人的心智及其瑰寶邏輯與數(shù)學(xué),，又是多么偉大,。這或許就是數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性更深一層的意義：物質(zhì)存在的時(shí)間是有限的，而思想邏輯的理性光輝能讓我們有限的感性認(rèn)知與大腦在某種時(shí)間程度上得以延續(xù),。數(shù)學(xué),，正處在這可貴的理性的前列，且毫無(wú)疑問(wèn)會(huì)繼續(xù)如此[11],。