如何探索“和與積的奇偶性”

一、形式探究的多樣

1,、探究?jī)蓚€(gè)加數(shù)：

①任意舉例

5+7=12,、6+8=14、8+11=19,、74+55=129,、64+21=85

②嘗試說(shuō)理

如果任意一個(gè)偶數(shù)可以表示為2n、奇數(shù)表示為2n+1,，那么就會(huì)有三種相加情況：

2n+2n=4n 偶數(shù),、2n+（2n+1）=4n+1 奇數(shù)、（2n+1）+（2n+1）=4n+2 偶數(shù)

所以,，兩個(gè)自然數(shù)相加的和不是奇數(shù)就是偶數(shù),。

（初步感知和的積偶性表象）

2、探究三個(gè)加數(shù)

①任意舉例

1+2+3=6,、2+3+4=9,、3+4+5=12、4+5+6=15

3+6+7=16,、8+10+11=29,、8+10+16=34、7+11+23=41

②嘗試說(shuō)理

同樣任意一個(gè)偶數(shù)可以表示為2n,、奇數(shù)表示為2n+1,，那么三個(gè)數(shù)相加就會(huì)有四種情況：

2n+2n+2n=6n 偶數(shù)、2n+2n+（2n+1）=6n+1 奇數(shù),、2n+（2n+1）+（2n+1）=6n+2 偶數(shù),、（2n+1）+（2n+1）+（2n+1）=6n+3=6n+2+1 奇數(shù)

因此，三個(gè)自然數(shù)相加的和不是奇數(shù)就是偶數(shù),。

（初步感知和的積偶性的影響因素）

3,、探索四個(gè)及以上個(gè)數(shù)的加數(shù)

①任意舉例

1+3+5+7=16,、2+4+6+8=20

1+2+3+4=10、3+4+6+8=21,、2+3+5+7=17

1+2+3+……+99+100=5050,、1+2+3+……+99+100+101=5151

②嘗試說(shuō)理

例如1+2+3+……+99+100=5050，其中奇數(shù)與偶數(shù)分別有50個(gè),，這些偶數(shù)與奇數(shù)如果分別用2n和2n+1來(lái)表示,，那么這個(gè)算式可以表示為：2n+1+2n+2n+1+2n+2n+1+……+2n+1+2n，這樣就會(huì)出現(xiàn)100個(gè)2n相加和50個(gè)1相加,，而100個(gè)2n相加的和是偶數(shù),，50個(gè)1相加相加的和也是偶數(shù)。

對(duì)于1+2+3+……+99+100+101=5151來(lái)說(shuō),，如果也用2n和2n+1來(lái)表示奇偶性,，就會(huì)出現(xiàn)101個(gè)2n相加和51個(gè)1相加，其中101個(gè)2n相加的和仍是偶數(shù),，而51個(gè)1相加相加的和卻是奇數(shù),，所以最終結(jié)果為奇數(shù)。

（進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和的積偶性與奇數(shù)個(gè)數(shù)的關(guān)系）

二,、判斷模型的概括

1,、概括“和奇偶性”的模型

在一個(gè)加法算式中，所有的加數(shù)要么是奇數(shù)要么是偶數(shù),，那么它們的奇偶性都可以用“2n”或“2n+1”的形式來(lái)表示,。就像1+2+3+……+99+100的和的奇偶性，可以用2n+1+2n+2n+1+2n+2n+1+……+2n+1+2n來(lái)表示,，而最終決定這個(gè)算式奇偶性的竟是“1”的個(gè)數(shù),，也就是算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)。所以,，和的奇偶性與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān),，當(dāng)奇數(shù)個(gè)數(shù)是一個(gè)、三個(gè),、五個(gè),、……、五十一個(gè)等,，得到的和是奇數(shù),；當(dāng)奇數(shù)個(gè)數(shù)為兩個(gè)、四個(gè),、六個(gè),、……、五十個(gè)等，得到的和是偶數(shù),。

因此,，直接數(shù)算式中奇數(shù)個(gè)數(shù)就可以判斷和的奇偶性。如果算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),，和就是奇數(shù),；如果算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，和就是偶數(shù),。

2,、模型驗(yàn)證與運(yùn)用

判斷下列算式和的奇偶性，并驗(yàn)證上面的結(jié)論,。

①1+3+5+7+9 ②2+4+6+8+10 ③1+2+3+6+7+9 ④1+3+5+……+29

顯然,，第一題中有5個(gè)奇數(shù),，和是奇數(shù),；第二題中沒有奇數(shù)，和就是偶數(shù),；第三題中有4個(gè)奇數(shù),，和是偶數(shù)；從1數(shù)到30有30個(gè)數(shù),，中間有15個(gè)奇數(shù),、15個(gè)偶數(shù)，第四題是從1到30中的奇數(shù)相加,，所以有15個(gè)奇數(shù),，所以和是奇數(shù)。

三,、對(duì)比加法探究乘法

如果把連加改成連乘,，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

①1×3×5   ②2×4×6   ③1×3×5×2   ④1×3×5×7

顯然,，①②是成立的,，③④不成立。

看起來(lái)這樣一個(gè)結(jié)論是不能在乘法中應(yīng)用的,，那么連乘運(yùn)算得到的積是奇數(shù)還是偶數(shù)該如何判斷呢,？

尋找乘法中乘數(shù)的奇偶性就會(huì)發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)乘數(shù)都是奇數(shù)時(shí)，積才能是奇數(shù),，只要有一個(gè)乘數(shù)是偶數(shù),，積就是偶數(shù)。因?yàn)?/span>乘數(shù)都是奇數(shù)時(shí),，得到的積就沒有因數(shù)2,，也就不是2的倍數(shù)，只要有一個(gè)乘數(shù)是偶數(shù)，得到的積里面就含有因數(shù)2,，也就是2的倍數(shù),。

可見，讓學(xué)生經(jīng)歷這種用合情推理的方法,，去說(shuō)明發(fā)現(xiàn)結(jié)論的正確性,，不但可以抓住數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)，而且可以培養(yǎng)和發(fā)展歸納,、類比等合情推理的能力,。最后再通過(guò)規(guī)律的應(yīng)用與對(duì)比，又使演繹推理能力得到鍛煉,。