這是一道很難用公式法,，也很難用列舉法解決的概率題，來自2022年高考數(shù)學理科全國甲卷,，是一道填空題,。問：

從正方體八個頂點中取4個，4點共面的概率是____.

分析：問題分成兩個部分,，第一部分是求正方體八個頂點中任取4點有幾種取法,。可以直接用排列組合公式C(8,4)=8!/(8-4)!4!)=70種取法,。這一步非常簡單。第二部分是找出這些取法中,，能構(gòu)成一個平面的有多少,。

假如有一個公式可以求出四點共面的可能性的總數(shù),，那就特別簡單。但這恐怕很難做到,。老黃嘗試任取三點,，因為三點一定共面,，求出三點共面的可能性有56種，然后除以重復的情形,。但這樣做是錯誤的,。因為正方體上存在三點共面,，卻沒有四點共面的情形。比如一條面對角線與對面的四個頂點中的兩個,，都不能形成四點共面,。

這么一說,，倒還是有可能得到這個公式的。因為六個側(cè)面有12條對角線,，每條對角線有2個三點共面,，因此有24個三點共面而不是四點共面。不過這24種情況中,，又有3種重復，因此只有8種三點共面而不是四點共面,。算下來就剩下48種三點共面并且能形成四點共面的情況。

很明顯的,，其中又有4種重復，從而有48/4=12,。結(jié)果四點共面的概率就有12/70=6/35。想想這個探究的過程,，它已經(jīng)遠遠脫離公式 法的實質(zhì),。近似于列舉法，也不完全屬于列舉法,。老黃稱之為分析法。

另一種方法是注意到正方體每一條棱可以構(gòu)成3個面,。12條棱就有36個面,。但這些面其實包含兩種類型。其中有6個是側(cè)面,。還有6個是含有側(cè)面對角線的面，老黃稱這類面為“平行對角線面”,。一共12個，其它的面都是這12個面的重復,。因此，四點共面的情況只有12種,，概率就是12/70=6/35.

上面這種方法顯然是最簡便的。不過老黃第一時間用的并不是這種方法,，而是另一種類似的方法。老黃先計算正方體中有多少兩點的連線,，一共有7×8/2=28條. 其中有12條棱，12條面的對角線和4條體的對角線,。

而單純由棱線構(gòu)成的有六個面，就是六個側(cè)面,。由兩條棱線和兩條對角線組成的面也有六個，就是六個“平行對角線面”,。因此一共有12個四點共面，概率就是12/70=6/35.

關于正方體的知識點非常多而零碎,，平時要多歸納總結(jié)，到了高考,，才能快速準確地解決相關的問題，你說呢,？