初中開(kāi)始，我們就會(huì)接觸函數(shù)這個(gè)概念,，大部分學(xué)生看到函數(shù)的命名和定義就陷入了無(wú)措,。之所以會(huì)感到無(wú)措和不理解，一方面原因是因?yàn)槲覀兩钪泻苌偈褂煤瘮?shù)這個(gè)術(shù)語(yǔ),。其次,，書本對(duì)函數(shù)的定義確實(shí)比較難理解。

我們看下函數(shù)在初中課本的定義：一般地,，在一個(gè)變化過(guò)程中,，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù),。看到這個(gè)定義對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)不太友好,，這不能怪課本的編輯者。教學(xué)課本的內(nèi)容是要講究嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范的,，也導(dǎo)致好多同學(xué)沒(méi)有真正理解函數(shù)和它的魅力所在,，只知道函數(shù)的題就是代入，計(jì)算,，再代入,，再計(jì)算的過(guò)程。真正的函數(shù)不是空中樓閣的存在,，它具有一種“一圖勝萬(wàn)言”的簡(jiǎn)潔之美,，也是人類智慧和經(jīng)驗(yàn)得以展現(xiàn)的最佳形式之一。

著名數(shù)學(xué)家Jordan Ellenberg（喬丹 艾倫伯格）曾畫出一個(gè)非常形象的圖，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行了分類：

圖中對(duì)數(shù)學(xué)按橫軸簡(jiǎn)單到復(fù)雜,，縱軸淺顯到深?yuàn)W分成了四個(gè)區(qū)域,。分別是：

1,、復(fù)雜&深?yuàn)W的：比如費(fèi)馬猜想,、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)等理論數(shù)學(xué)領(lǐng)域,，它們脫離現(xiàn)實(shí)生活,，是高智力者挑戰(zhàn)人類未知領(lǐng)域的課題,；

2、簡(jiǎn)單&深?yuàn)W的：指,、冪,、對(duì)函數(shù)、時(shí)間函數(shù),、拉弗曲線,、正態(tài)分布等等；因?yàn)楹?jiǎn)單且有內(nèi)涵,，所以和下面的第三類列入義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課本中,；

3、簡(jiǎn)單&淺顯的：加減乘除,、開(kāi)方,、開(kāi)根、解方程,、三角形,、四邊形等代數(shù)\幾何基礎(chǔ)知識(shí)；

4,、復(fù)雜&淺顯的：比如微積分,、定積分等，有難度但又比較實(shí)用,，在大學(xué)課程會(huì)進(jìn)行學(xué)習(xí),。

四個(gè)類型中，第二個(gè)類型的代表就是各種函數(shù)模型,，它極度有用且非常直觀,。無(wú)論我們處于人生的哪個(gè)階段，對(duì)函數(shù)模型了解起來(lái)毫不費(fèi)力但受益無(wú)窮,。所以有句話說(shuō)：函數(shù)是數(shù)學(xué)帶給世界最好的禮物之一,。

其實(shí)函數(shù)就是研究?jī)蓚€(gè)變量之間關(guān)系的表達(dá)形式，它能通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)等式,、表格或者直觀易懂的圖像呈現(xiàn)出變量之間的關(guān)系,。生活中的諸多事例都可以用函數(shù)模型從宏觀層面去描述，所以說(shuō)函數(shù)模型這是一種簡(jiǎn)單、高效且高級(jí)的歸納和概括,。如果能讀懂事物發(fā)展背后的函數(shù)模型,，對(duì)其發(fā)展有一個(gè)清晰的認(rèn)知，那么我們將會(huì)處于一種當(dāng)下不雜的高級(jí)狀態(tài)中,。通過(guò)未來(lái)的視角看當(dāng)下的問(wèn)題是一種高緯度的思考方式,，有的人通過(guò)預(yù)測(cè)行業(yè)大趨勢(shì)從而果斷入手賺得盆滿缽滿，有的人陷入當(dāng)下的低谷,，一蹶不振黯然下了牌桌,，他卻不知道轉(zhuǎn)機(jī)就在不遠(yuǎn)處等待。

今天會(huì)介紹幾種對(duì)我們?nèi)松袔椭暮瘮?shù)模型,，讓我們?cè)诟袊@函數(shù)簡(jiǎn)潔之美的同時(shí),，對(duì)自己的人生選擇有更高層次的見(jiàn)解,。

第一類：時(shí)間函數(shù)

時(shí)間函數(shù)是我們生活中非常有用的一類函數(shù)：它的橫軸是時(shí)間,，縱軸可以是收益、規(guī)模,、價(jià)值,、情緒、精力等等,，隨之時(shí)間的推進(jìn),，縱軸所表示的事物也會(huì)呈現(xiàn)出現(xiàn)不同的發(fā)展趨勢(shì)。而人又是很短視的,，我們可能會(huì)沉溺和悲傷中不可自拔,，也可能沉浸在喜悅中，看不到危機(jī)的覬覦,。時(shí)間可以改變一切,，美好的也罷、悲慘的也好,，在漫長(zhǎng)歲月中它們只是一瞬的存在,。

下面介紹一個(gè)讓我很受用的時(shí)間模型—— Hypecycle 高特納曲線

高特納曲線又稱為新興技術(shù)發(fā)展成熟度曲線，它基本吻合任何新興技術(shù)發(fā)展過(guò)程中,，隨之時(shí)間變化人們的期望值的變化趨勢(shì),。

在技術(shù)萌芽期，人們對(duì)未來(lái)的憧憬和對(duì)新事物的美好期待會(huì)讓期望值不斷攀升至高點(diǎn),；隨著新興技術(shù)陷入發(fā)展瓶頸,，人們的預(yù)期將隨之降低甚至絕望；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的不斷探索,，新興技術(shù)的發(fā)展趨于成熟和可運(yùn)用之后,，期待值逐漸上升直到一個(gè)合理的區(qū)間。這就是高特納曲線的簡(jiǎn)單描述，回想我們了解到的蒸汽機(jī),、電器,、電動(dòng)汽車、3D打印甚至近期出現(xiàn)的元宇宙等等已經(jīng)改變世界或者即將改變世界的發(fā)明到普及,，都會(huì)經(jīng)歷這條曲線,，當(dāng)然也有很多發(fā)明和新興技術(shù)停滯下來(lái)或者夭折在概念階段。上圖摘自高特納咨詢公司于2021年發(fā)布的新興技術(shù)發(fā)展成熟度曲線預(yù)測(cè)和定位,，如果圖中有你感興趣和熟知的領(lǐng)域可以對(duì)照看看處于發(fā)展的哪個(gè)階段,，就能更好預(yù)測(cè)未來(lái)可能經(jīng)歷的波動(dòng)。

高特納曲線的除了總結(jié)客觀的歷史規(guī)律之外,，它的構(gòu)成又恰恰符合人性曲線和物性曲線,。

人性曲線

物性曲線——邏輯斯蒂增長(zhǎng)

人性曲線是有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳韺W(xué)論證的，我們可以簡(jiǎn)單理解為橫軸是時(shí)間,，縱軸是喜悅程度或者悲傷程度,。當(dāng)我們遇到開(kāi)心的事情或者失落的事情，圖形就很符合我們情緒的變化,。通常我們?cè)谔幱谇榫w高位的時(shí)候,，會(huì)陷入過(guò)度樂(lè)觀\悲觀之中，而現(xiàn)實(shí)的發(fā)展會(huì)讓情緒平復(fù)回到一個(gè)合理的區(qū)間,，所以范仲淹提過(guò)：不以物喜,，不以己悲。這是一種很高的處世智慧,。

物性曲線中最典型的就是邏輯斯蒂增長(zhǎng),。在不加干涉的前提下，事物的發(fā)展趨向指數(shù)增長(zhǎng),，但又因?yàn)楦鞣N因素的限制,，增長(zhǎng)停滯，就會(huì)形成第二個(gè)圖中紅色曲線的形態(tài),。比如人口如果不加干涉就會(huì)以指數(shù)形式增長(zhǎng),，但因?yàn)檗r(nóng)作物的有限，水源的稀缺或者戰(zhàn)爭(zhēng),、災(zāi)難的意外出現(xiàn),，人口增長(zhǎng)就如邏輯斯蒂增長(zhǎng)曲線一般維持在一個(gè)合理的水平；再比如新冠病毒,，國(guó)外疫情開(kāi)始階段沒(méi)引起人們的關(guān)注,，不加管控就會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)爆炸的增長(zhǎng)，但隨之防疫措施的完善,、疫苗的普及以及人體內(nèi)病毒抗體水平的提升,，病毒的增長(zhǎng)也會(huì)停滯下來(lái),，最后的結(jié)果就是病毒與人類共存。

把以上兩種曲線進(jìn)行復(fù)合之后就得到了高特納曲線,，所以宏觀層面去看待問(wèn)題時(shí),，高特納曲線是一個(gè)非常實(shí)用的存在。另外高特納曲線也能對(duì)人所處階段進(jìn)行劃分,，如圖,。你處在哪個(gè)階段呢?

第二類：拉弗曲線&倒U型曲線

拉弗曲線最初是經(jīng)濟(jì)學(xué)中描述稅率變化對(duì)收稅總額的影響，結(jié)果呈現(xiàn)倒U型,。如圖所示,。生活中的倒U型曲線也是隨處可見(jiàn)，所以這個(gè)曲線的也是使用頻率比較高的,。

圖中可以看出,，當(dāng)政府稅率為0或者1，稅收就會(huì)變成0,，這很好理解,。只有當(dāng)稅率合適的時(shí)候，稅收才會(huì)出現(xiàn)最高點(diǎn),。在某些因素的影響下,，倒U曲線會(huì)出現(xiàn)左傾或者右傾的變化,，但總體會(huì)呈現(xiàn)這個(gè)形狀,。它的應(yīng)用非常廣，比如橫軸為吃饅頭個(gè)數(shù)時(shí),，縱軸愉悅度（是不是符合我們之前提到過(guò)的邊際概念）,；再比如學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)和知識(shí)留存率；鍛煉強(qiáng)度對(duì)肌肉形成的影響,；全市學(xué)生考試成績(jī)的分布曲線（正態(tài)分布也符合倒U型曲線）在我們生活中比比皆是,。用中國(guó)古代先賢的話來(lái)總結(jié)就是：物極必反，否極泰來(lái),；中庸之道等等,。

正態(tài)分布圖

第三類：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),、冪函數(shù)

這部分知識(shí)點(diǎn)上過(guò)高中的朋友都知道的,，所以基礎(chǔ)知識(shí)不講了。以下函數(shù)討論讀取函數(shù)在a≥1（作為底數(shù)）且圖像在第一象限內(nèi)的情況分析,。如圖：

指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

冪函數(shù),，分為凸型（圖中藍(lán)色曲線）和凹型（圖中紅色曲線）

通常涉及到指數(shù)函數(shù)，我們腦海里會(huì)浮現(xiàn)一個(gè)詞,，爆炸,。沒(méi)錯(cuò),，指數(shù)函數(shù)的初期變化緩慢，達(dá)到某個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)候再迅速增長(zhǎng),，迸發(fā)出超乎想象的能量,。比如典型的龐氏傳銷騙局：每個(gè)成員必須去發(fā)展兩個(gè)下層，下層每人再發(fā)展兩個(gè)下層,。如果從一個(gè)人開(kāi)始,，經(jīng)過(guò)五層也僅需要16個(gè)“下層”被騙者就能完成任務(wù)，看似也不多,。但再繼續(xù)下去,，發(fā)展到第34層，就需要85億個(gè)下層受騙者,，比全球總?cè)藬?shù)還多,。這還僅僅是第34層所需的下層人數(shù)，并沒(méi)有求和1-33層總計(jì)的受騙者人數(shù),。細(xì)思極恐,，意想不到。我們的大腦更多是理解線性和簡(jiǎn)單模型的增長(zhǎng),，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)是接受不了的,，從而選擇忽略。比如我們現(xiàn)在想想40人的班級(jí)是什么樣的,，我們是可以想象出來(lái)的,。那如果讓我們想想40萬(wàn)、400萬(wàn),、4000萬(wàn)的群體是什么樣的,，我們就無(wú)能為力了。

對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),，圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,，它的特點(diǎn)是前期增長(zhǎng)迅速，后面會(huì)逐漸趨于平緩到達(dá)天花板,。

冪函數(shù)的特點(diǎn)就是和指數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)類似,，也是由一條前期變化微小，后期增長(zhǎng)驚人的曲線以及一條前期增長(zhǎng)迅速,，后期平緩的曲線構(gòu)成,。

如果把兩種冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及邏輯斯蒂曲線放在同一張圖對(duì)比就能發(fā)現(xiàn),，唯一沒(méi)有增長(zhǎng)天花板的就是凹型冪函數(shù),。（指數(shù)函數(shù)也沒(méi)有天花板限制，但現(xiàn)實(shí)中基本沒(méi)有實(shí)例,，所以我們不討論指數(shù)函數(shù),，而討論跟它類似但更符合生活的邏輯斯蒂曲線）

理解了這幾類函數(shù)的特點(diǎn),，我們就可能發(fā)現(xiàn)人的不同職業(yè)類型的發(fā)展就符合不同函數(shù)模型所表現(xiàn)出來(lái)的趨勢(shì)。

現(xiàn)實(shí)生活中指數(shù)函數(shù)會(huì)因?yàn)榄h(huán)境因素限制變成邏輯斯蒂曲線,，它所對(duì)應(yīng)的職業(yè)類型就是爆發(fā)型職業(yè)：比如風(fēng)口投資人,、網(wǎng)紅、流量明星等等,，這類職業(yè)可能一開(kāi)始默默無(wú)聞,，在某個(gè)契機(jī)下一夜成名，出道即巔峰,，但因?yàn)槠浔旧砣狈﹂L(zhǎng)期價(jià)值而逐漸淪為平庸,，被更具價(jià)值或者熱點(diǎn)、流量的事物所取代,。

速成型職業(yè)對(duì)應(yīng)的是對(duì)數(shù)函數(shù)：典型職業(yè)有司機(jī),、保安、外賣和灰色地帶的撈女,、賭徒,、騙子。并不是說(shuō)他們性質(zhì)就一樣,，這不是詆毀司機(jī)保安等正規(guī)職業(yè)的勞動(dòng)者,，而是從收益角度來(lái)說(shuō)，他們的職業(yè)發(fā)展就符合對(duì)數(shù)函數(shù)的趨勢(shì),。一開(kāi)始入職就能達(dá)到不錯(cuò)的收入,，再想增長(zhǎng)只能花費(fèi)更多的時(shí)間和精力，且效果不佳,，是最容易達(dá)到天花板層面的職業(yè),。如果我們正處在溫飽顧不及或者資不抵債的階段,，此職業(yè)也是可以解決燃眉之急的,，等到溫飽和負(fù)債解決好之后再尋求突破，畢竟留在牌桌才有翻身的機(jī)會(huì),。

專家型職業(yè)對(duì)應(yīng)的就是凸型冪函數(shù),，它的代表職業(yè)都是大部分家長(zhǎng)所期望我們從事的職業(yè)。比如醫(yī)生,、律師,、教師、工程師等等需要專業(yè)領(lǐng)域知識(shí)型的人才,。這類職業(yè)的發(fā)展總體來(lái)說(shuō)會(huì)比較平滑,，沒(méi)有太長(zhǎng)的蟄伏期，收益也不錯(cuò),。只要過(guò)程中不犯大錯(cuò),，通過(guò)時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)的復(fù)利效應(yīng)可以讓自己變得越來(lái)越具有價(jià)值,。他們的職業(yè)雖然也具有天花板，但這個(gè)天花板很高,，高到大部分職業(yè)仰視的程度,。所以如果自己也喜歡這類的職業(yè)，不妨從學(xué)生時(shí)代就好好努力學(xué)習(xí),，聽(tīng)媽媽的話,。家長(zhǎng)作為過(guò)來(lái)人，對(duì)身邊諸多職業(yè)分析之后的結(jié)論大概率是穩(wěn)妥和性價(jià)比高的,。

探索性職業(yè)符合凹型冪函數(shù),，它所代表的是人類最具有冒險(xiǎn)精神和進(jìn)取精神的一小撥人，改變世界的往往就是這部分人,?？茖W(xué)家、學(xué)者,、天使投資人,、程序員等等，他們所從事的都是為了改變世界,，為人類的發(fā)展注入新的動(dòng)力,。很多人沒(méi)有辦法成為他們，但是我們可以借鑒,，讓自己的職業(yè)成為沒(méi)有限制天花板的,，前面的公眾號(hào)文章中提到的一個(gè)人具有高價(jià)值且受眾廣的職業(yè)都可以納入其中，比如作家,、音樂(lè)家,、畫家、專利持有者,、企業(yè)合伙人等等,，只要產(chǎn)品具備高價(jià)值、稀缺且面對(duì)的客戶面廣泛,，他們的作品和成果也可以帶來(lái)巨額收益,，實(shí)現(xiàn)人生的階段目標(biāo)的。

第四類：對(duì)勾（耐克）函數(shù)和J型曲線

這個(gè)函數(shù)模型也是高中時(shí)期學(xué)習(xí)的,，因?yàn)樾嗡茖?duì)勾狀,，又被稱為耐克函數(shù)或者J型函數(shù)。它在生活中的運(yùn)用也非常廣泛：

比如運(yùn)動(dòng)量和呼吸道感染風(fēng)險(xiǎn)就符合J型曲線,，它類似于U型曲線翻折而成,，所揭示的也是兩個(gè)字：適度；

另外在投資學(xué)領(lǐng)域也有類似的曲線：完美的投資模型應(yīng)該是有下限的投入成本和無(wú)上限的收益,，如果反過(guò)來(lái)成了無(wú)下限的成本,，和有上限的收益就會(huì)變成愚蠢的投資,。案例：南非報(bào)業(yè)集團(tuán) (Naspers)，這家南非公司2001年以3200萬(wàn)美元代價(jià)從李澤楷,、IDG資本和騰訊團(tuán)隊(duì)手中收購(gòu)了騰訊46%股權(quán),，經(jīng)過(guò)多次攤薄和唯一一次減持，目前還持有騰訊31.2%股權(quán)（截止為2019年）,，價(jià)值高達(dá)1286億美元,，創(chuàng)造了18年狂賺4000倍的神話，就屬于很完美的J型曲線,；再比如搶劫或者詐騙就是典型的收益有限,，成本無(wú)限的倒J型曲線。

今天對(duì)函數(shù)的分享就到這里了,。因?yàn)楹瘮?shù)的應(yīng)用在各個(gè)學(xué)科中都有分布,，此文難免受限于我的知識(shí)面而造成不全面和有偏差，還請(qǐng)海涵,，權(quán)當(dāng)拋磚引玉吧,。另外很多學(xué)科領(lǐng)域會(huì)使用象限法，對(duì)零散事物進(jìn)行歸納和分類也是很不錯(cuò)的,。限于本篇文章是討論函數(shù)模型,，對(duì)各個(gè)學(xué)科中的象限分類未收集和整理太多。后面有機(jī)會(huì)再補(bǔ)充這部分內(nèi)容,，希望今天的內(nèi)容對(duì)各位有所啟發(fā),。