小學階段特別是高年級要逐步引導學生從“做數(shù)學”“算數(shù)學”過渡到“想數(shù)學”,，在學習數(shù)學知識的同時發(fā)展數(shù)學思維,，這樣學生才有后勁。        ——林俊

林特說的很真理??！以下文章來自林特。

課前思考

凡是教過高年級的教師都有這樣的體會：分別學習圓柱,、圓錐的體積時,，關于體積公式推導過程的理解和公式的運用，學生“清清爽爽”,，基本沒有什么問題,。但是，一旦將圓柱,、圓錐體積的有關內(nèi)容交織在一起,，學生就會“混沌一片”，錯誤百出,。為什么會發(fā)生這樣的情況呢,？除了問題難度增加外，另一個原因就是教材習題編排,。事實上,，幾乎沒有教材在編寫時對圓柱、圓錐體積的關系大書特書,。即使像蘇教版教材,，編排了不少鞏固圓柱、圓錐體積關系的習題,，但是從編排結構看也是比較凌亂的（如下表）,。

怎樣突破這個公認的學習難點呢,？一般教師采取的方法是分類解決，各個擊破,，通過各種題型的反復練習達到攻堅克難的目標,。但是這樣依靠模仿、記憶強化訓練的學習方式負面作用很多,，不僅容易回生,，而且不能遷移，所以這種做法應該堅決摒棄,。我的做法是正本清源,，以簡馭繁！即返回到相關知識起點,，建立基本模型,，幫助學生內(nèi)化基本模型，真正理解各種基本模型的內(nèi)在關系,，實現(xiàn)從“多點結構”到“關聯(lián)結構”的跨越，從而以不變應萬變,。

課堂實踐

一,、喚起回憶，擴展模型

師：今天練習圓柱和圓錐的體積,，什么是體積,？怎樣求圓柱的體積？圓錐的體積呢,？圓錐的體積是怎樣推導出來的,？（課件同步動態(tài)演示圓錐體積公式推導過程，板書：等底等高）

師：等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍,，它們的體積比是多少,？（貼出大圓柱 圓錐 如圖1）也就是一個圓柱可以換成幾個這樣的圓錐？（課件演示如圖2）

師：反過來,，圓錐體積是這個圓柱的——

生（齊）：三分之一,。

師：這個圓柱的三分之一有多大？想一想,，是這樣嗎,？（課件演示如圖3）

    生（眾）：是。                                       

師：這個小圓柱和圓錐有什么關系,？

生：體積相等,，底面積也相等，小圓柱的高是圓錐的三分之一,。（板貼如圖4）

師：為什么小圓柱的高是圓錐的三分之一,？

生（指著圖3）：因為大圓柱和圓錐的高相等,，裝滿水的圓錐倒三次正好把大圓柱倒?jié)M，倒一次水的高度（也就是小圓柱的高度）等于大圓柱的三分之一,，所以小圓柱的高是圓錐的三分之一,。

生（興奮地）：我看出來了，小圓柱,、圓錐的高都跟大圓柱比較,，小圓柱的高是大圓柱的三分之一，大圓柱和圓錐的高相等,，所以小圓柱的高是圓錐的三分之一,。

師：結合圖形說理，明明白白,！理解了它們的關系,，可以幫助我們靈活思考。

【設計意圖】學生對于等底等高圓柱和圓錐的關系,，一般只是停留于體積之間關系的理解,，這是基于實驗的直觀理解水平。顯然,，這樣的認識是單一的,、淺層的。學生高階思維的發(fā)展,、解決問題能力的提高,，需要以不斷積累的鮮明、靈活的關系模型作為支撐,，而抽象的關系模型總是依附于直觀的表象,。上述教學從正、逆兩個方向進行了追問,，生成的變式模型拓展了學生原有的認識疆域,，尤其是從“體積比”到“高之比”，觸及到了學生的認知盲區(qū),，可以深化,、活化學生的認知水平。

二,、多元表征,，理解模型

1.在解決問題中理解

出示習題：一個圓柱和一個圓錐，底面半徑都是3厘米,，高都是12厘米,。它們的體積一共有多少立方厘米？（你能用不同的方法思考嗎,？）

（1）提出要求,，獨立思考,。要求：只列出綜合算式，不計算,。

（2）展示作業(yè),，交流方法。

生₁：3²π×12+1/3×3²π×12  

師：你是怎樣想的,？

生：圓柱的體積加上圓錐的體積,。

生₂：1/3×3²π×12 ×（1+3）

師：括號里1+3指的是什么？

生：把圓錐體積看成1份,，圓柱體積有這樣的3份,，體積和就是4份。

生₃：3²π×12 ×（1+1/3） 

師：為什么乘（1+1/3）,？

生：把圓柱體積看成單位“1”,，圓錐體積占1/3，體積和相當于圓柱體積的4/3,。

生₄：3²π×（12+12×1/3）,。

師：12×1/3表示什么？12+12×1/3表示什么,？

生：（指圖4）把圓錐想象成一個和它等積等底的小圓柱,，12×1/3就是這個小圓柱的高，12+12×1/3就是求組合成的圓柱高,。（如圖5）

師：有用減法做的嗎？      

生₅：3²π×12×2-1/3×3²π×12×2,，上面的圓錐看成與它等底等高的圓柱削成的,，圓錐體積是1份，削去了這樣的2份,。用2個圓柱體積減去2個圓錐體積,。（如圖6）

師：大家的想象力真豐富！無論是將圓柱想象成圓錐,，還是將圓錐想象成圓柱,，其實都是一種轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想可以幫助我們更好地學習數(shù)學,。

【設計意圖】大多數(shù)學生對待數(shù)學問題解決的態(tài)度是會不會做,，而不太注重問題解決的過程中所用思想方法及其變化。上述問題“門檻”很低,，幾乎每個學生都能用基本的方法解答,。但是從學生運用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題的過程中，可以明顯看到學生之間思維水平的巨大差異,。表象儲備豐富,、模型理解深刻的學生,，能夠根據(jù)題目信息主動喚起表象、提取相關模型,，從不同角度轉(zhuǎn)化,，他們解決問題顯示出方法多樣、思維靈活,、見解獨特的特征,。通過課堂展示、對話,、互動,，可以打開學生理解的“天窗”，促進學生思維的“爬坡”,。

2.在多元表征中理解

出示：一塊圓柱形橡皮泥,，底面積是15平方厘米，高是6厘米,。

    （1）把它捏成底面積是15平方厘米的圓錐形,，高是（   ）厘米。

師：（先出示：把它捏成圓錐形）這時形狀變了,，什么肯定不變,？

生：體積不變。

師：對,，這叫等積變形,。（再出示：底面積是15平方厘米）現(xiàn)在呢？

生：底面積不變,，高變了,。（板書：等積等底）

師：想象一下，這個圓錐會是怎樣的呢,？看第一個圓錐,，會是它嗎？為什么,？第二個圓錐呢,？第三個是你想象中的樣子嗎？（依次出示圖7中的三個圓錐）

師：在底面積相等的前提下,，要使體積不變,，應該將圓錐的高變大。圓錐的高變大到多少才可以呢,？請列式計算,。

生：15×6×3÷15=18（厘米），或6×3=18（厘米）。

師：這兩個算式有聯(lián)系嗎,？

生：第一個算式中的乘15,、除以15抵消后，就是6×3,。

師：是不是所有等積等底的圓柱和圓錐的高之比都的1:3,？

生（意見不一）：是，不是,。

師：這個圓柱是怎樣慢慢變成這個高高的圓錐的,？請你大膽想象。

生：圓柱先變成3個等底等高的圓錐,，接著再把它們疊起來,。

師：這3個圓錐怎樣變成這個大圓錐呢？

生：每個小圓錐體積是它所在圓柱的三分之一,，疊起來的3個小圓錐體積是它所在大圓柱的三分之一,，而這個大圓柱體積的三分之一就是大圓錐的體積。（學生回答過程中,，動態(tài)出示圖8）

師：這樣的想象是不是一定有道理呢,？

部分學生還是不敢肯定。

師：我們不妨結合公式思考,，圓柱體積V=Sh,，等于一個圓錐體積V=1/3Sh，再乘3,，即V=Sh =1/3×S×h×3,，變形之后也就是1/3×S×（h×3），那么高就是原來的3倍,。

【設計意圖】圓柱和圓錐的三類基本關系模型中,，等底等高學生比較熟悉，就數(shù)等積等底與等積等高容易混淆,。為了分散難點,，先重點討論等積等底的情形,。而等積等底難點的突破,，僅僅依賴一次數(shù)學活動，力度顯然不夠,，學生印象也不深刻,。故，引導學生充分經(jīng)歷想象,、計算,、比較、質(zhì)疑,、推理等數(shù)學活動,，不僅通過多元表征使學生對有關結論理解通透,，而且運用公式進行數(shù)學推理，使學生對結論本身更加篤信無疑,。這樣教學,，培養(yǎng)了學生的求真品格和理性精神。

師：剛才我們研究了等底等高,、等積等底兩種情況,，還有其它情況嗎？

生（眾）：等積等高,。

（2）出示：把它捏成高是6厘米的圓錐形,，底面積是（   ）平方厘米。  

師：先自己想一想,，列式或畫圖表示思考過程,，再和同桌交流。

生：圓柱形橡皮泥捏成圓錐,，體積不變,；在高不變的前提下，要使體積相等,，應該將底面積擴大到原來的3倍,，15×3=45（平方厘米）。

生：15×6×3÷6=45（平方厘米）,。

師：好奇怪,！這個圓柱怎樣慢慢變成這個扁扁的圓錐的？

生：把圓柱換成3個等底等高的圓錐,，再把它們并排靠在一起,，就可以變成一個大圓錐。（如圖9）

師：如何運用公式進行推理,？

生：圓柱體積V=Sh,，是與它等底等高圓錐體積的3倍，也就是1/3 Sh×3,，可以轉(zhuǎn)化為1/3×h×（S×3）,，也就相當于高不變，底面積是3S的大圓錐體積,。因此,，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍。

師：在體積相等,、高也相等的前提下,，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍。（板貼如圖10）

師：今天我們又討論了等積等底、等積等高的情況,，運用這些結論,，可以幫助我們方便地解決更復雜的問題。

【設計意圖】有了等積等底的學習經(jīng)驗,，等積等高的情形教師就大膽放手了,，學生可以把習得的有關經(jīng)驗、方法遷移過來,，進行類推,。同時，計算,、想象,、推理等學習活動的安排，既完全符合學生由易到難的學習特點,，也滿足了不同學生的認知需求,。

3.在綜合運用中理解

判斷：下面的圓錐與哪些圓柱的體積相等。（單位：厘米）  

師：請選擇（在作業(yè)紙上打√）,，你選第幾個,？用手勢表示。

絕大多數(shù)學生選擇第③個,，也有還選擇第②個的,。

師：為什么不選第①個和第④個？

生：第①個圓柱和圓錐等底等高,，因此圓柱體積是圓錐的3倍,，第④個圓柱明顯小多了。

師：為什么大多數(shù)人選擇第③個,？

生：圓錐的高是圓柱的3倍,，底面積又相等，符合等積等底的情況（如圖4）,，所以它們體積相等,。

師：你能反過來運用這個結論，真不簡單,！有疑問的第②個,，怎樣判斷？

生：高相等,，如果兩個體積相等,，那么圓錐的底面積應是圓柱底面的3倍,。而這里圓錐的直徑是圓柱直徑的3倍,，想到圓錐半徑是圓柱半徑的3倍，圓錐底面積就是圓柱底面積的9倍。

師：如果有的同學還不夠確定,，我們不妨看看計算結果,。（一一出示每個圖形的體積計算過程與結果）

【設計意圖】學生思維能力的提高，必須經(jīng)過綜合運用知識解決問題的歷練過程,。在學生進一步理解等積等底,、等積等高的基本模型后，提供復雜問題情境,，便于學生直接根據(jù)模型特征作出判斷,，或者經(jīng)過簡單計算，再與基本模型特征對照解決問題,，而不是僅僅依靠計算這一唯一途徑,。實踐證明，學生完全能夠識別相應的模型,，從而解決問題變得更加直接而快捷,，這對培養(yǎng)學生判斷能力和推理能力大有裨益。

三,、拓展提升,，活用模型

出示：一個圓錐和一個圓柱的底面積相等，體積的比是1：6,。

師：你能畫圖表示它們的體積比嗎,？

巡視時，發(fā)現(xiàn)有的學生在給定的圓錐旁邊,，畫了一個底面積相等的圓柱,，但看不出高的關系；有的學生不僅畫了一個底面積相等的圓柱,，而且還從圓錐的頂點起向圓柱中間畫了一條水平的虛線,，使人一眼就看出高的關系；當然還有些學生思而不得,。

當有的學生百思不得其解時,，教師出示波利亞名言：“如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題,。你能不能想出一個更容易著手的有關問題,？”                       

師：結合之前的圖形或經(jīng)驗，體積比是幾比幾我們是非常熟悉的,？

生：體積比是1：3,。（出示圖12）

師：（引導學生看黑板上的三個模型圖）還有嗎？

生（欣喜狀）：圖4其實還可以看做體積比是1：1的,。（出示圖13）

生（眾,，豁然開朗）：喔,！

師：現(xiàn)在你能畫圖表示它們的關系嗎？

學生獨立畫圖,，然后展示交流：（圖14）

生：第一組它們底面積相等,，體積比是1：3，要使體積比是1：6,，要增加一個圓柱,，因此圓柱的高應當是圓錐高的2倍。

生：第二組它們底面積也相等,，體積比是1：1,，要使體積比是1：6，要增加五個這樣的小圓柱,，因此圓柱的高也是圓錐高的2倍,。

師：這時圓柱和圓錐的高什么關系？

生：這時圓柱的高是圓錐的2倍,，圓錐的高是圓柱的1/2,。

師：如果圓錐的高是3厘米，圓柱的高是多少厘米,？如果圓柱的高是12厘米,，圓錐的高是多少厘米？

師：如果圓錐和圓柱的底面積相等,，體積比是1：9,。高之間是幾倍關系？

【設計意圖】在學生能夠區(qū)分,、運用等積等底與等積等高模型后,，提供的拓展題具有一定的挑戰(zhàn)性和開放性，為學生靈活運用模型解決問題創(chuàng)造了機會,。拓展題是原有基本模型的變式,，而且變式的途徑不一。教學中發(fā)現(xiàn)學生對等底等高的模型提取比較容易,，而對等積等底的模型比較困難,。就是在這樣不斷的喚醒、提取,、運用的過程中,，模型表象才更加鮮活，學習的難點才有可能被攻克,。

課后反思

公開展示后,，獲得聽課教師的高度評價，使我倍感欣慰,。我想主要還是在精準了解學情后,，把功夫花在教材研讀,、習題整合上，使一盤散沙成為有機整體,。

結構化重組,，讓教學從低效走向高效,。如果按照教材原來的編排順序教學，需要三課時才能完成,。但是由于這些問題是分散,、夾雜在其它內(nèi)容之中的，教學時難以充分展開,，一般只是就題了題,，蜻蜓點水般過了一次，當然難以取得理想的教學效果,。另外,，有的題目計算比較耗時（如練習十四第6題）,，所以我更改了數(shù)據(jù)，便于學生口算,，把主要的精力放在觀察,、思考、比較,、推理上,；有的題目雷同（如練習十四第11題和整理與練習第6題），我就選取一題,，引導學生從不同角度轉(zhuǎn)化,，把它用足、做足,；有的題目很難（如練習十四思考題）,，變式程度較大，我就調(diào)整次序,，讓它最后登場,。如此處理（如下表），將無序的內(nèi)容有序化,，繁瑣的計算簡單化,，松散的問題結構化，大大地提高了教學效率,。

 此文發(fā)表在小學數(shù)學教師2022年第三期,，作者林俊。已經(jīng)授權在本公眾號發(fā)布,。