應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異是有限元計(jì)算中常遇到的問題,，通過本文介紹,，讀者可以了解應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異出現(xiàn)的原因，以及在Ansys Workbench中如何處理,，以及網(wǎng)格細(xì)化經(jīng)驗(yàn),。

1 應(yīng)力集中

1.1應(yīng)力集中現(xiàn)象

應(yīng)力集中指物體局部應(yīng)力顯著增高的現(xiàn)象,。應(yīng)力集中是機(jī)械設(shè)計(jì)工程師在設(shè)計(jì)產(chǎn)品過程中不可避免的問題。

在工程實(shí)際中,，由于某種用途,，通常需要在構(gòu)件上開孔、開槽,、開缺口,、制作臺(tái)階等，這些構(gòu)件截面突變的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中,；材料本身存在的夾雜,、氣孔、裂紋等非連續(xù)性缺陷也會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中,；由于強(qiáng)拉伸,、冷加工、熱處理,、焊接等而引起的殘余應(yīng)力,，這些殘余應(yīng)力疊加上工件應(yīng)力后也有可能出現(xiàn)較大的應(yīng)力集中，其中結(jié)構(gòu)焊縫本身就是容易產(chǎn)生應(yīng)力集中的部位,。

因此,，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡可能避免帶尖角的孔、槽和劃痕等,，合理設(shè)置筋板等,，以降低應(yīng)力集中的影響。

1.2應(yīng)力集中的影響

在靜荷載作用下,，應(yīng)力集中對(duì)塑性材料和脆性材料所產(chǎn)生的影響是不同的,。

塑性材料因具有屈服階段，當(dāng)應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax達(dá)到屈服極限σs時(shí),，僅此局部產(chǎn)生塑性變形,，只有荷載繼續(xù)加大，尚未屈服區(qū)域的應(yīng)力才隨之增加而相繼達(dá)到σs,。因此,，塑性材料在靜荷載作用下，可以不考慮應(yīng)力集中的影響,。

脆性材料則不同,，脆性材料沒有屈服階段，當(dāng)載荷增加時(shí),，應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax一直領(lǐng)先,，當(dāng)σmax達(dá)到強(qiáng)度極限σb時(shí)，局部就出現(xiàn)裂紋,，從而產(chǎn)生斷裂,。因而,，像混凝土等脆性材料應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。

但在隨時(shí)間作周期性變化的荷載或沖擊荷載作用下,，則不論是塑性材料還是脆性材料,，應(yīng)力集中的影響都必須加以考慮。

1.3應(yīng)力集中在Workbench中的網(wǎng)格處理

網(wǎng)格劃分時(shí),，對(duì)于不同部位的單元應(yīng)當(dāng)采用不同的大小,。對(duì)于邊界比較曲折的部位是應(yīng)力和位移變化的比較劇烈的部位，單元必須小一些,；在邊界比較平直的部位,、次要部位以及應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位，單元可以大一些,。當(dāng)結(jié)構(gòu)存在凹槽或孔洞時(shí),，在凹槽或孔洞附近將發(fā)生應(yīng)力集中，即該處的應(yīng)力較大且變化劇烈,，必須把該處的網(wǎng)格劃得較為緊密,，以便更為貼切的描述此處的應(yīng)力和應(yīng)變的變化。此部分的網(wǎng)格細(xì)化到何種程度將在下文詳解,。

2 應(yīng)力奇異

2.1應(yīng)力奇異現(xiàn)象

應(yīng)力奇異是指物體由于幾何關(guān)系,，在求解應(yīng)力函數(shù)的時(shí)候出現(xiàn)的應(yīng)力無窮大,。在有限元計(jì)算中表現(xiàn)為：隨著網(wǎng)格加密,，應(yīng)力始終增加而且不收斂。

現(xiàn)實(shí)中,，由于任何物體都是有一定的強(qiáng)度的,，不可能出現(xiàn)應(yīng)力無窮大。所以在實(shí)際結(jié)構(gòu)中是不會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異的,。應(yīng)力奇異是由于數(shù)學(xué)算法的問題（可以理解為在有限元仿真中出現(xiàn)的問題）,，應(yīng)力奇異點(diǎn)一般出現(xiàn)在尖角或剛性約束處。

如下圖,，箭頭所指處應(yīng)力顯著增大,，是應(yīng)力集中處，但是隨著網(wǎng)格細(xì)化,，此處最大應(yīng)力收斂于21MPa左右,，即表現(xiàn)出網(wǎng)格無關(guān)性，說明不是應(yīng)力奇異點(diǎn),。

注意：讀取應(yīng)力最大值時(shí)應(yīng)排除應(yīng)力奇異點(diǎn),，很多時(shí)候，應(yīng)力最大值與應(yīng)力奇異點(diǎn)重合,，此時(shí)直接讀取最大值時(shí)沒有任何意義的,。

2.2模型尖角處的應(yīng)力奇異及處理方法

2.2.1模型尖角處的應(yīng)力奇異現(xiàn)象

在軟件中,，由于離散化誤差，所以奇異點(diǎn)并不會(huì)產(chǎn)生無窮大的應(yīng)力解,，而是會(huì)隨著網(wǎng)格細(xì)化,，局部應(yīng)力顯著增大呈現(xiàn)不收斂或收斂很慢的現(xiàn)象。應(yīng)力奇異處必然是應(yīng)力集中處,，但是應(yīng)力集中處不一定應(yīng)力奇異,。

討論應(yīng)力奇異的目的是在于找出應(yīng)力奇異點(diǎn)，分析哪些奇異點(diǎn)影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,，再通過修改設(shè)計(jì)避免應(yīng)力奇異現(xiàn)象,。

實(shí)例1，L型支架豎邊長(zhǎng)50,，橫邊長(zhǎng)35,，厚20，邊界條件如下圖,，計(jì)算3mm,，2mm，1mm,，0.5mm網(wǎng)格下的奇異應(yīng)力（最大應(yīng)力）,。

隨著網(wǎng)格不斷細(xì)化，直角處應(yīng)力呈現(xiàn)顯著增加且不收斂現(xiàn)象,，這就是應(yīng)力奇異現(xiàn)象（此處也是應(yīng)力集中點(diǎn)）,。

實(shí)例2，使用Workbench的網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化功能計(jì)算上例,，研究最大應(yīng)力增長(zhǎng)是否能收斂到5%以內(nèi),。

Workbench提供了網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化功能，自動(dòng)細(xì)化的網(wǎng)格自動(dòng)轉(zhuǎn)換為四面體網(wǎng)格（因?yàn)樗拿骟w網(wǎng)格更靈活,，更容易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)細(xì)化）,。

Step1，初始化網(wǎng)格,，使用默認(rèn)的設(shè)置劃分網(wǎng)格,，如下圖。注意初始網(wǎng)格需要保證模型在厚度方向上至少有3層網(wǎng)格,，否則容易出現(xiàn)誤算情況,，比如在網(wǎng)格很粗的情況下，兩次應(yīng)力計(jì)算結(jié)果相近,，軟件誤認(rèn)為網(wǎng)格細(xì)化已達(dá)到變化容差條件,。

Step2，設(shè)置細(xì)化循環(huán)次數(shù)與細(xì)化層數(shù)。

點(diǎn)擊特征樹中Soulution(A6),，在屬性窗口設(shè)置Max Refinement Loops(細(xì)化循環(huán)次數(shù))為5,，含義在下文介紹。Refinement Depth(細(xì)化層數(shù))為默認(rèn)的2,，細(xì)化層數(shù)越大,，細(xì)化的范圍和深度越大，一般使用默認(rèn)的2層即可,。

Step3,，添加Convergence(收斂)：右擊應(yīng)力結(jié)果——Insert——Convergence。

在Convergence的屬性窗口中設(shè)置Allowable Change(變化容差)為5%,。

Step4,，點(diǎn)擊Solve計(jì)算。

經(jīng)過剛才的設(shè)置,，網(wǎng)格最多經(jīng)過5次細(xì)化,，計(jì)算最多進(jìn)行6次（1次初始網(wǎng)格下計(jì)算，5次網(wǎng)格細(xì)化迭代計(jì)算）,。如果在5次內(nèi),，應(yīng)力結(jié)果的變化值已經(jīng)收斂到我們?cè)O(shè)置的5%變化容差以內(nèi)，則將不進(jìn)行之后的網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化,。本例進(jìn)行了5次迭代也不能使應(yīng)力變化收斂到5%內(nèi),，所以特征樹中的Convergence選項(xiàng)前將顯示感嘆號(hào)，表示收斂失敗,，最終云圖與收斂圖表如下,。

由以上收斂圖表可知，網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化進(jìn)行了5次,，最后一次的網(wǎng)格數(shù)量達(dá)到27.25萬,，最大應(yīng)力186.81MPa,，但是應(yīng)力變化值未收斂到5%以內(nèi),，而且呈現(xiàn)放大不收斂趨勢(shì)。 Change（%）=（本次應(yīng)力-上次應(yīng)力）/（本次與上次應(yīng)力的平均值）,。

2.2.2模型尖角處的應(yīng)力奇異處理方法

對(duì)于不影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的應(yīng)力奇異點(diǎn),，我們可以忽略它，使用應(yīng)力探針探測(cè)我們關(guān)心處的應(yīng)力,，或者選擇我們關(guān)心的局部模型進(jìn)行顯示,。

很顯然，上例模型尖角處的應(yīng)力奇異點(diǎn)和集中點(diǎn)影響了結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,，為了避免應(yīng)力奇異或應(yīng)力集中影響結(jié)果強(qiáng)度,，需要修改設(shè)計(jì)，比如添加圓角，便可以消除應(yīng)力奇異現(xiàn)象,。

實(shí)例3,，將實(shí)例1、2中L型支架轉(zhuǎn)角處添加R3圓角,，使用實(shí)例2的方法再次計(jì)算最大應(yīng)力,，研究最大應(yīng)力增長(zhǎng)是否能收斂到5%以內(nèi)。

步驟參考實(shí)例2,，注意初始網(wǎng)格在厚度方向應(yīng)至少有3層,。最終云圖與收斂圖表如下。

由以上收斂圖表可知,，網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化只進(jìn)行了2次,，最后一次的網(wǎng)格數(shù)量?jī)H2.71萬，最大應(yīng)力60.84MPa,，但是應(yīng)力變化值收斂到3.7%,。 本例還可進(jìn)一步減小變化容差值，下表為變化容差設(shè)置為1%后的結(jié)果,。最終應(yīng)力變化值收斂到0.14%,，最大應(yīng)力60.92MPa，與容差設(shè)置為5%時(shí)的變化不大,，所以一般我們認(rèn)為變化容差5%已足夠,。

2.3 剛性約束處的應(yīng)力奇異及處理方法

2.3.1 剛性約束處的應(yīng)力奇異現(xiàn)象

在《Ansys Workbench邊界條件——載荷與約束實(shí)例詳解》一文我們介紹過，固定約束Fixed Support與強(qiáng)制位移約束Displacement由于是剛性約束,，容易產(chǎn)生應(yīng)力奇異,。

實(shí)例4，截面為10mm×10mm×30mm的矩形條拉伸說明此問題,，固定矩形條一端,，另一端施加10000N的拉力，使用網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化功能,，最大細(xì)化循環(huán)次數(shù)設(shè)置為5,，研究最大應(yīng)力增長(zhǎng)是否能收斂到5%以內(nèi)。

根據(jù)材料力學(xué)理論,，矩形條的應(yīng)力應(yīng)該為σ =F/A=10000/100=100MPa,。但是本例中，最大應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于此值,，且不收斂,，固定約束處出現(xiàn)了應(yīng)力奇異現(xiàn)象。

2.3.2 剛性約束處的應(yīng)力奇異處理方法

大多數(shù)情況下,，我們不關(guān)心固定約束處的應(yīng)力值,，它不影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,，我們可以忽略它，使用應(yīng)力探針探測(cè)我們關(guān)心處的應(yīng)力,，或者選擇局部模型進(jìn)行顯示,。

當(dāng)我們需要關(guān)心固定約束處的應(yīng)力時(shí)，可以使用遠(yuǎn)程位移功能施加6向約束,，以其代替固定約束,，遠(yuǎn)程約束設(shè)置中Behavior默認(rèn)為Deformable(柔性)，即允許約束面受力時(shí)變形,，所以不會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異現(xiàn)象,。

3 網(wǎng)格細(xì)化到多少合適

軟件默認(rèn)劃分的網(wǎng)格容易出現(xiàn)重要部分的結(jié)果不夠準(zhǔn)確或不收斂，不重要的部分網(wǎng)格過細(xì),，浪費(fèi)計(jì)算資源,。所以在網(wǎng)格劃分中，使用者應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注重要部分的網(wǎng)格劃分,，比如應(yīng)力集中區(qū),、接觸區(qū)、大變形區(qū)等,，對(duì)這些部分進(jìn)行單獨(dú)的局部網(wǎng)格控制,。

網(wǎng)格的質(zhì)量也會(huì)影響計(jì)算結(jié)果，可以通過修改過渡,、平滑,，設(shè)定質(zhì)量控制目標(biāo)等在一定程度地優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量，也可用色塊形式顯示網(wǎng)格質(zhì)量,，請(qǐng)參考全局與局部網(wǎng)格控制的文章,。

關(guān)于六面體與四面體網(wǎng)格的選擇：在同等尺寸前提下，六面體擁有更少的單元數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量,，離散化誤差更小,。但是在實(shí)踐應(yīng)用中，很多復(fù)雜模型不易使用六面體網(wǎng)格劃分,，軟件會(huì)自動(dòng)使用四面體網(wǎng)格劃分,，四面體網(wǎng)格的適應(yīng)性更強(qiáng)，特別是對(duì)于局部加密網(wǎng)格的模型,，四面體網(wǎng)格的靈活性比六面體網(wǎng)格強(qiáng)得多,。對(duì)于工程應(yīng)用,，不用糾結(jié)于六面體還是四面體網(wǎng)格,，計(jì)算精度都能滿足要求。

在不存在應(yīng)力奇異前提下,，關(guān)于重點(diǎn)區(qū)域網(wǎng)格細(xì)化到多少才能使應(yīng)力結(jié)果計(jì)算準(zhǔn)確,？這往往需要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)。讀者也可使用實(shí)例2,、3,、4中的網(wǎng)格自動(dòng)細(xì)化功能。但是對(duì)于復(fù)雜模型,，可能需要耗費(fèi)很多的計(jì)算資源與時(shí)間,。在使用自動(dòng)細(xì)化功能時(shí)，應(yīng)保證模型厚度方向至少有3層單元,。

實(shí)際工程應(yīng)用中,，復(fù)雜模型一次計(jì)算可能需要數(shù)小時(shí)或數(shù)十小時(shí)，時(shí)間和計(jì)算資源不允許我們采用自動(dòng)細(xì)化功能,，此時(shí)我們可以使用前人的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：模型厚度方法至少需要2層單元,。應(yīng)力云圖默認(rèn)色塊紅色區(qū)域應(yīng)至少完整覆蓋2層單元。

實(shí)例5,，將實(shí)例3中L支架整體劃分4mm網(wǎng)格,，圓角劃分0.5mm網(wǎng)格，計(jì)算最大應(yīng)力,。

Step1 網(wǎng)格劃分,。

Step2 施加邊界條件并計(jì)算。計(jì)算結(jié)果為60.6MPa,，與實(shí)例3中的結(jié)果接近,，此時(shí)紅色區(qū)域完整覆蓋了4~5層單元。

說明：默認(rèn)色標(biāo)分為9格（上圖左側(cè)）,，從深藍(lán)到鮮紅共9個(gè)顏色,，每個(gè)色塊代表了應(yīng)力增長(zhǎng)范圍都為最大應(yīng)力的1/9≈11%。讓默認(rèn)色塊的紅色完整覆蓋2層單元保證了有足夠大的模型面積處于最大的11%的應(yīng)力范圍內(nèi),，避免了網(wǎng)格細(xì)化不足的情況,。

最后需要指出，變形無奇異現(xiàn)象,，往往很粗糙的網(wǎng)格也能計(jì)算出較準(zhǔn)確的變形位移,。

寫在最后，任何一門計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)都是入門簡(jiǎn)單精通困難,，所以需要工程師持之以恒地學(xué)習(xí)與實(shí)踐,。有限元分析不僅要求工程師對(duì)理論基礎(chǔ)熟悉、對(duì)分析軟件熟練,，還需要積累豐富的實(shí)踐項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn),。筆者的理論水平、軟件熟悉程度,、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等方面都不足,，難免會(huì)在上文出現(xiàn)很多紕漏錯(cuò)誤,，懇請(qǐng)指正批評(píng)。