原創(chuàng) 顧險(xiǎn)峰 老顧談幾何 和汪浩然探討Arnold所創(chuàng)立的拓?fù)銰alois理論，汪浩然比較認(rèn)同Arnold的觀點(diǎn),，Arnold認(rèn)為應(yīng)該用初等古典的觀點(diǎn)講解現(xiàn)代數(shù)學(xué),，而非用故弄玄虛的現(xiàn)代抽象觀點(diǎn)講解初等數(shù)學(xué)。這里,，我們用Arnold的拓?fù)浞椒▉?lái)解釋抽象的Galois理論,。

可解群

求解多項(xiàng)式方程是代數(shù)學(xué)的基本問題之一。Abel證明五次方程無(wú)“代數(shù)”解（即解無(wú)法由方程的系數(shù)通過算術(shù)運(yùn)算與求根運(yùn)算表達(dá)），Galois完整地解決了多項(xiàng)式的根求解問題：他給出了多項(xiàng)式根式可解的充分必要條件,。與多項(xiàng)式可解性密切相關(guān)的群是對(duì)稱群,。

所謂群是一個(gè)集合和一個(gè)乘法算子, 滿足條件

1. 封閉性：
2. 單位元：, , 都有
3. 可逆性：, , 使得
4. 結(jié)合律：, 都有

例如考察數(shù)列的所有排列，以排列的復(fù)合為乘法,，構(gòu)成所謂的對(duì)稱群,。對(duì)稱群由所謂的對(duì)換生成，所有由偶數(shù)個(gè)對(duì)換生成的排列構(gòu)成所謂的交錯(cuò)群,。

我們注意到,，群的條件中不包含可交換性，即可能,。如果乘法可交換,，那么群被稱為是Abel群，否則是非Abel群,。衡量一個(gè)群到Abel群的距離,，要用到換位子群的概念。設(shè)為群,，稱由集合

生成的子群為的換位子群（Communtator Group）,，記作. 如果是Abel群，則換位子群為. 我們遞歸構(gòu)造如下：

如果存在一個(gè)整數(shù),，使得,，那么我們說群是一個(gè)可解群。（這里可解群的定義和傳統(tǒng)定義不同,，但是彼此等價(jià)）,。例如，令,，直接計(jì)算中元素的個(gè)數(shù),，

群GG'G''G'''S221S3631S4241241S5120606060這意味著，是可解群,，但不是可解群,，其交錯(cuò)群的換位子群等于自身，,，因此不是可解群,。根式解存在性給定一個(gè)多項(xiàng)式我們將復(fù)平面并上一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),通過球極投影映到單位球面上. 再將： 看成是從球面到自身全純映射，. 當(dāng)時(shí),， ,，我們?cè)谄矫嫔蠂@無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)畫一個(gè)小圓，由最高項(xiàng),，是平面上圍繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)了圈的圓,。這意味著是將源球面包裹了目標(biāo)球面,，一共包裹層。因此對(duì)于目標(biāo)球面上的任意一點(diǎn),，在源球面上存在個(gè)原像,，因此即次代數(shù)方程有個(gè)復(fù)數(shù)根。這時(shí),，存在因式分解,，由此，我們得到韋達(dá)定理

即多項(xiàng)式的系數(shù)是其根的基本對(duì)稱多項(xiàng)式?jīng)Q定,。我們重新排列這些根，,， ,，由韋達(dá)定理不變，即多項(xiàng)式方程不變,。Galois理論基本上是說如果次代數(shù)方程有代數(shù)根式解,，那么是可解群。對(duì)于和,是可解群,，因此存在求根公式,；對(duì)于，不是可解群,，因此不存在求根公式,。傳統(tǒng)抽象代數(shù)的證明需要較多基礎(chǔ)知識(shí)，包括域擴(kuò)張理論,，下面Arnold的拓?fù)渥C明非常初等且簡(jiǎn)潔,。

根的排列

我們考察多項(xiàng)式

記所有系數(shù)構(gòu)成的復(fù)向量為，,。令所有的根依隨時(shí)間變動(dòng),，其軌跡為，. 這時(shí)左側(cè)多項(xiàng)式也依隨時(shí)間而變化,，

圖1. 設(shè)計(jì)根路徑,。

如圖1所示，對(duì)于任意的排列,，我們可以設(shè)計(jì)路徑,，，滿足

由韋達(dá)定理,，我們有,，這意味著系數(shù)向量構(gòu)成一個(gè)圈，記成.

引理1. 假如代數(shù)方程存在求根公式,， ,，系數(shù)沿著跑了一圈,，那么自然地我們有下面的等式這里是的簡(jiǎn)寫，即求根公式的起止點(diǎn)函數(shù)值所得到的排列,，等于方程的根的排列,。

例如，我們考察一元二次方程

令,，,，則, 。令為對(duì)換,，

構(gòu)造為上半圓弧,，從到達(dá)；令為下半圓弧,，從到達(dá),

由此我們得到系數(shù)環(huán)路,

我們知道,，一元二次方程的求根公式：

這里

當(dāng)從變到時(shí)，從變到,；從變到. 這意味著求根公式的起始和終止值得到了根的排列,，等于初始設(shè)計(jì)時(shí)用到的,

一般的求根公式由有理函數(shù)和開根號(hào)運(yùn)算復(fù)合而成，例如：這里是的有理函數(shù),。核心想法：我們希望驗(yàn)證任何形式的都不是的求根公式,，如果我們能夠找到一條系數(shù)空間中的環(huán)路，使得引理1中的等式不成立即可,。我們下面構(gòu)造如此的環(huán)路,，使得，但是右側(cè)根的排列不是恒同變換,，如此產(chǎn)生了矛盾,。這可以用換位子的技術(shù)實(shí)現(xiàn)。

Monodromy

上面的討論中,，有一點(diǎn)非常令人迷惑：我們令系數(shù)跑了一個(gè)環(huán)路回到起點(diǎn),，，但是求根公式確不等于. 這涉及到monodromy的概念,。我們用拓?fù)涞挠^點(diǎn)來(lái)解釋,。

圖2. 道路的提升和Monodromy.

前面我們談到，多項(xiàng)式 可以視為從-球面到-球面的保角變換,，把源球面包裹在目標(biāo)球面上,，包裹了層。如圖2所示,，映射的導(dǎo)數(shù)為

的零點(diǎn)為映射的分支點(diǎn),，其他的正常點(diǎn)處，映射局部可逆,。整體上映射是-重分支覆蓋,，我們將-球面看成-球面的覆蓋空間,。的原像即為的根，假設(shè)它們都是正常點(diǎn). 我們?cè)?球面上畫一條環(huán)路,，,。我們選取的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)恒不為,，因此映射可逆,。我們將曲線通過逆映射映回到-球面，得到一段曲線,，記為, 我們說是在中的提升,。然后，我們?cè)僭?球面上選取鄰域,，非空,，同時(shí)在上可逆，那么可以將提升到中,。如此重復(fù)，一直到把提升到覆蓋空間（-球面）中的一條道路,。由,，, ,我們得到。同理,，我們從開始提升到覆蓋空間中,，得到，那么這些提升道路的起止點(diǎn)給出了的一個(gè)排列：

那么我們將成為是的monodromy.

在我們的情形,，環(huán)路的變量是系數(shù)而非,，但是思想類似。

換位子技巧

現(xiàn)在我們來(lái)考察核心技巧,，換位子,。給定兩個(gè)排列，對(duì)應(yīng)的系數(shù)環(huán)路為和. 排列的換位子和環(huán)路的換位子分別為

這里是一個(gè)排列,，依然是系數(shù)空間中一條環(huán)路,，先沿著走一圈回到原點(diǎn)，再沿著走一圈,，然后逆向沿著走一圈,，最后逆向沿著走一圈回到原點(diǎn)。

我們先證明一個(gè)簡(jiǎn)單的命題：

命題1：三次方程代數(shù)求根公式不可能具有形式：

下面的觀察是關(guān)鍵的：

引理2：給定次多項(xiàng)式,，對(duì)于任意,，任意的，,，是如上構(gòu)造的環(huán)路,，沿著環(huán)路變動(dòng),，那么

這里是有理函數(shù)。

引理2的證明：這個(gè)證明是初等的,，,，因此它們的幅角相差的整數(shù)倍。由定義

幅角變化量相抵相消,，總幅角變化量為引理得證.

命題1的證明：由上面的表格,，我們有有個(gè)元素，因此存在排列,，使得,。同上構(gòu)造系數(shù)空間的環(huán)路，,，考察命題1中的求根公式的起止值,，由引理2它們相等，,，但是引理1中的右側(cè),，三個(gè)根的排列為，因此引理1中的等式不成立,，矛盾,。由此命題1正確。

我們?cè)賮?lái)證明類似的命題：

命題2：四次方程求根公式不可能具有形式：

證明：由上面的表格,，我們有有個(gè)元素,，因此存在排列，使得

同上構(gòu)造系數(shù)空間的環(huán)路,，,，，. 用一次引理2,，我們有：當(dāng)沿著跑一圈,，或者沿著跑一圈， 都得到

再用一次引理2,，當(dāng)沿著跑一圈, 我們有

但是引理1中的右側(cè),，四個(gè)根的排列為，因此引理1中的等式不成立,，矛盾,。由此命題2正確。

我們現(xiàn)在可以證明經(jīng)典Abel-Galois定理：

定理：五次代數(shù)方程沒有代數(shù)求根公式（只包含算數(shù)運(yùn)算和根式運(yùn)算）,。

證明：反證法,，假設(shè)存在求根公式，一共嵌套了重根號(hào). 因?yàn)橛袀€(gè)元素,，肯定存在一個(gè)排列,，,。

圖3. 多重?fù)Q位子

如圖3所示，存在個(gè)排列,，,，在重?fù)Q位運(yùn)算下等于. 如上構(gòu)造系數(shù)空間的環(huán)路和，同樣運(yùn)用重?fù)Q位運(yùn)算,，得到,。次運(yùn)用引理2，我們得到結(jié)論：如果沿著跑一圈,，那么求根公式,，

但是引理1中等式的右側(cè)根的排列為，引理1中的等式不成立,，矛盾,。因此假設(shè)錯(cuò)誤，不存在求根公式帶有重的嵌套根號(hào),。由的任意性,，我們知道五次方程不存在只包含算數(shù)運(yùn)算和根號(hào)運(yùn)算的求根公式。

高次方程求根公式存在性證明與此類似,，不可解,，對(duì)于任意的，,，我們可以找到， ,，從而構(gòu)造. 對(duì)于任意具有重嵌套根號(hào)和算數(shù)運(yùn)算的表達(dá)式,，令沿著跑一圈，,，但是根的排列為, 矛盾,。

小結(jié)

這里我們用拓?fù)浞椒ㄗC明了次多項(xiàng)式代數(shù)方程求根公式存在性的Abel-Galois定理，其核心思想是拓?fù)渲懈采w空間的monodromy的想法：如果階對(duì)稱群不可解,，對(duì)于任意包含重嵌套根號(hào)和代數(shù)運(yùn)算的公式,，我們能夠找到特殊系數(shù)環(huán)路，使得系數(shù)沿著跑一圈,，方程的根重新排列,，但是的起始值不變，因此不是求根公式,。這種方法比抽象代數(shù)方法更加直觀簡(jiǎn)潔,，實(shí)質(zhì)上，這種想法比Galois的結(jié)論更強(qiáng),，這種方法可以推廣到更加復(fù)雜的表達(dá)式,，可以包含算數(shù)運(yùn)算,、根號(hào)運(yùn)算、微分,、積分運(yùn)算,，甚至更加復(fù)雜的運(yùn)算。同時(shí),，對(duì)于算法設(shè)計(jì)而言,，這種方法直接指向了強(qiáng)大的同倫算法，在計(jì)算代數(shù)領(lǐng)域舉足輕重,。我們從中也體會(huì)出拓?fù)浜痛鷶?shù),，相互糾纏，和諧統(tǒng)一,！傍晚時(shí)分,，暴雪停歇，鄰居們拉著雪橇上街遛娃,，遠(yuǎn)方彩霞滿天...—— 虎年將近,，謹(jǐn)以此文紀(jì)念A(yù)bel和Galois.