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數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，這首先表現(xiàn)在它的概念上,。 抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來,。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來,，我們在學(xué)校學(xué)的是抽象的乘法表——它們總是數(shù)字的乘法表,，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢等等,。 同樣地在幾何中研究的,，例如，是直線而不是拉緊了的繩子,，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì),，只留下在一定方向上的伸長，總之,，關(guān)于幾何圖形的概念是舍棄了現(xiàn)實對象的所有性質(zhì),，只留下其形式和大小的結(jié)果。 全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征,。 關(guān)于整數(shù)的概念和關(guān)于幾何圖形的概念——這只是一些最原始的數(shù)學(xué)概念,。之后才是其他許多達(dá)到像復(fù)數(shù)、函數(shù),、積分,、微分、泛函,、n維甚至無限維空間等等這樣抽象程度的概念,。這些概念的抽象化好像是一個高于一個一直高到這樣的抽象程度，以致看上去已經(jīng)失去了同生活的一切聯(lián)系,，以致“凡夫俗子”除感到“莫名其妙”以外什么也不能理解,。事實上情形當(dāng)然不是這樣，雖說n維空間的概念的確非常抽象,，但它卻有完全現(xiàn)實的內(nèi)容,，要了解這內(nèi)容并不那么困難。比如我們要研究光照量、水分,、施肥量,、密植程度等n個因素對小麥農(nóng)作物產(chǎn)量的影響函數(shù)，可能這里就需要設(shè)n個變量,，把它放到n維空間里研究,。 當(dāng)然，我們在這里不想過多探討數(shù)學(xué)概念本身的抽象性,。 我們想問的是,，抽象的數(shù)學(xué)概念本身反映什么東西？換句話說,，抽象的數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的,？ 它是否就是像大多數(shù)人所認(rèn)為的是人頭腦中純粹思維的產(chǎn)物？ 我們不妨先考察一下數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷程,，以便于我們從中尋找答案,。首先從算術(shù)和幾何開始。 在早期的遠(yuǎn)古人類那里往往只有一和多的概念,，盡管他們能夠用自己的方式判斷出在實踐中某一物品的數(shù)量,。比如在狩獵后，人們往往可以通過結(jié)繩的繩結(jié)多少或在洞壁上或骨頭上刻痕的多少來記錄捕獲獵物的數(shù)量,。隨著人類認(rèn)識水平的提高,，數(shù)的概念擺脫了具體的物被抽象出來,人們能夠理解更大的數(shù)和更一般的數(shù)…… 算術(shù)的概念反映了物體集合的量的關(guān)系。這些概念是在分析和概括大量實際經(jīng)驗的基礎(chǔ)上加以抽象化而產(chǎn)生的,，并且它們是逐漸地產(chǎn)生的,，最初是與具體對象相聯(lián)的數(shù)，然后是抽象的數(shù),，最后才是關(guān)于一般的數(shù),、關(guān)于任何可能的數(shù)的概念。每一階段都是以應(yīng)用先前的概念積累起來的經(jīng)驗作準(zhǔn)備的,。比如關(guān)于整數(shù)概念的抽象,，起先是舍棄具體的物體集合而進(jìn)入關(guān)于單個數(shù)的概念（比如數(shù)字1、2,、5等等）,，再進(jìn)一步抽象就進(jìn)入任意整數(shù)的概念。 幾何如同算術(shù)的發(fā)展一樣,，同樣是在分析和概括大量實際經(jīng)驗的基礎(chǔ)上加以抽象化而產(chǎn)生的,。人從自然界本身提取出幾何的形式。諸如月亮的圓形和鐮刀形,，湖的水平面,，光線或樹木的筆直,，人們把它改進(jìn)到自己的手工品中。關(guān)于幾何量的概念——長度,、面積、體積——也同樣是從生產(chǎn)實踐活動中產(chǎn)生了,。從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn),，人們需要丈量土地的面積。把糧食放入糧倉里或從事買賣,，同樣需要計算倉庫或容器的容量,。幾何是從實踐中產(chǎn)生的，地理上從埃及傳到希臘,，在古希臘人那里得到更大發(fā)展,，并且朝著積累新的事實和闡明它們相互間關(guān)系的方向發(fā)展的。 不錯,，幾何從事于“幾何物體”和圖形的研究,，研究它們的量的關(guān)系和相互位置。但是幾何物體不是什么別的東西,，正是舍棄了其他性質(zhì)比如密度,、顏色、重量等等,，而僅僅從它的空間形式的觀點來加以考察的現(xiàn)實的物體,。 這樣，幾何以舍棄了所有其他性質(zhì)換句話說即采取“純粹形式”的現(xiàn)實物體的空間形式和關(guān)系作為自已的對象,。正是這種抽象程度把幾何同其他也是研究物體的空間形式和關(guān)系的科學(xué)區(qū)別開來,。例如，在天文學(xué)中,，研究物體的相互位置,，但只是天體的相互位置，在測地學(xué)中研究地球的形式,，在結(jié)晶學(xué)中研究晶體的形式等等,。在所有這些情形中，研究具體物體的形式和位置是與它們的其他性質(zhì)關(guān)聯(lián)著或者相互依賴著的,。 數(shù)學(xué)概念形成的基本規(guī)律之一正是如此:數(shù)學(xué)概念是以應(yīng)用先前的抽象概念積累起來的經(jīng)驗為基礎(chǔ),，通過一系列的抽象與概括過程而產(chǎn)生的。 當(dāng)然,，我們還要謹(jǐn)記一點,，在數(shù)學(xué)中研究的不僅是直接從現(xiàn)實中抽象出來的量的關(guān)系和空間形式，而且還研究那些在數(shù)學(xué)內(nèi)部已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來的關(guān)系和形式,。這是數(shù)學(xué)概念形成的基本規(guī)律之二,。 虛數(shù)不是像我們說過的整數(shù)那樣從現(xiàn)實界中提取出來的,，這是一個歷史事實。它最初出現(xiàn)于數(shù)學(xué)內(nèi)部,，作為方程 在由羅巴切夫斯基幾何和精確虛數(shù)理論奠定基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)發(fā)展的新階段上,，產(chǎn)生了和不斷產(chǎn)生著許多新的概念和理論，這些概念和理論是在已經(jīng)形成的概念和理論的基礎(chǔ)上建立的,，而不是從現(xiàn)實界直接提取出來的,。數(shù)學(xué)規(guī)定和研究現(xiàn)實界的各種可能形式，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的決定性特點之一,。 在數(shù)學(xué)概念當(dāng)中,，是否有絕對精確化的定義？ 歐幾里得和他以后兩千年之內(nèi)的所有數(shù)學(xué)家,，毫無疑問,，都認(rèn)為歐幾里得的《原本》一書幾乎是邏輯嚴(yán)格性的標(biāo)準(zhǔn)。但是現(xiàn)在,，從現(xiàn)代的觀點看起來,，歐幾里得對幾何的論證是十分表面的。這個歷史的例子告訴我們,，不應(yīng)該迷惑于對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“絕對”和“徹底”的嚴(yán)格性的估計,。 我們不妨考察一下變量和函數(shù)演變的歷史。變量和函數(shù)的概念不是一下子就現(xiàn)成地從伽利略,、笛卡兒,、牛頓或任何人那里產(chǎn)生出來的，它們在許多數(shù)學(xué)家那里萌芽（例如，在納皮爾那與對數(shù)聯(lián)系著）,，然后在牛頓和萊布尼茨那里采取了或多或少清晰的，但還遠(yuǎn)不是最終的形式,，以后它們隨著分析的發(fā)展而精確化和概括化,。它們的現(xiàn)代定義直到十九世紀(jì)才形成，但是這種定義也不是絕對嚴(yán)格和完全終結(jié)了的,。函數(shù)概念本身的發(fā)展直到現(xiàn)在還在繼續(xù)著,。 對于分析來說,，批判，系統(tǒng)化和論證的必要時期是在十九世紀(jì)中葉來到的。這項重要和困難的工作由于許多杰出學(xué)者的努力而勝利地完成了,。特別是獲得了實數(shù)、變量,、函數(shù)、極限,、連續(xù)性等基本概念的嚴(yán)格定義,。 不但如此，新概念本身只是在它加以解決的那些問題的基礎(chǔ)上,，只是在把它們包括在內(nèi)的那些定理的基礎(chǔ)上才能發(fā)生,、發(fā)展、精確化和概括化,。 當(dāng)然我們還可以舉出更多的例子,。但是,，這些定義的任一個都不能認(rèn)為是絕對嚴(yán)格和完全終結(jié)了的,，這些概念正在繼續(xù)發(fā)展,。在還沒死去和變成木乃伊的科學(xué)中,，沒有也不可能有什么完全終止了的東西。但是我們可以確信地說：第一,，現(xiàn)在已經(jīng)確立的分析基礎(chǔ)能夠很好地適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)任務(wù),，適應(yīng)關(guān)于邏輯準(zhǔn)確性的現(xiàn)代概念；第二,，這些概念的繼續(xù)深化和圍繞這些概念正在進(jìn)行著的討論沒有引起也不會引起人們簡單地拋棄這些基礎(chǔ)：但是卻將導(dǎo)向?qū)@些概念的新的,、更準(zhǔn)確和更深刻的理解，至于其結(jié)果,，現(xiàn)在也許還難于完全判斷,。 在數(shù)學(xué)中研究量的關(guān)系時，注意到的僅僅是它們的定義本身中所包含的東西,。相應(yīng)地,，數(shù)學(xué)結(jié)論是用從定義出發(fā)的推理得到的,。我們僅從字面上來理解這些話可能會認(rèn)為數(shù)學(xué)概念十分嚴(yán)格的定義的形成真正先于相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論的建立，那是不正確的,；事實上,，概念本身隨著理論的發(fā)展，由于理論發(fā)展的結(jié)果而更加精確化,，對整數(shù)概念的深刻分析,，正如幾何公理的精確公式化一樣,，不是在古代,，而是直到十九世紀(jì)末才作出來。設(shè)想似乎有一種絕對精確地定義了的數(shù)學(xué)概念，那是更加錯誤的，任一概念,，不管它是怎樣被精確地定義了，也還是要變動的,，它隨著科學(xué)的發(fā)展而發(fā)展和精確化。這已經(jīng)由全部數(shù)學(xué)概念的發(fā)展所證明，這只是再一次證實了辯證法的這樣一條基本定理：世界上沒有任何東西是完全不變和無論如何也不發(fā)展的,。 所以對于數(shù)學(xué)概念,，第一，只能說到它們的充分的確定性,，無論如何也不能說到它們的完全的確定性,。第二，應(yīng)該注意到它們的定義的精確性和明顯性以及對它們分析的深度都是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷發(fā)展著的,。在這里我們注意的是數(shù)學(xué)概念的充分確定性,。總之,，這是數(shù)學(xué)概念形成的基本規(guī)律之三,。 因此，我們說數(shù)學(xué)概念,，它絕不是唯心主義者們所認(rèn)為的只是人頭腦中思維的產(chǎn)物,。它的形成和演變，是社會實踐和經(jīng)驗的總結(jié),。這種總結(jié)在未來不僅不會終止,，還會繼續(xù)深層次演變和發(fā)展。 |
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