不知從什么時候開始,，哥德爾這個人的名字就進入了我的腦海，被我永遠地記住了,。與其說他是一個數(shù)學家,，不如說他更是一個思想家,。他的思想是深邃的，曾帶給了我很多啟發(fā),，而且每隔一段時間,，我對他的了解也會更深一步。

在數(shù)學家看來,，哥德爾是一個碎夢者,，他拿著一把屠龍寶刀，敲碎了數(shù)學的終極夢想,，同時,，他也是一個引航員，一次又一次將我?guī)У礁叩氖澜纭?/span>

庫爾德·哥德爾于1906年4月8日生于瑪拉維亞的布爾諾,，這地方當時屬于奧匈帝國,，現(xiàn)在則屬于捷克共和國。哥德爾的家族屬于德國族裔,，但這個家族幾乎沒有人在科學和數(shù)學上有過什么過人的天賦,，一直到這個家族中出了哥德爾，他是家中的第二個孩子,。

哥德爾從小就聰明,，用了四年時間就學完了學校安排的八年教育，在他青少年時期,，一戰(zhàn)爆發(fā),，一戰(zhàn)結(jié)束后,，奧匈帝國解體,，捷克斯洛伐克成了一個獨立的國家。

哥德爾在學校中,，各門成績都很優(yōu)秀,，幾乎都獲得過第一，有意思的是,，唯獨數(shù)學他沒有獲得過第一,。

1924年，哥德爾跟著哥哥魯?shù)婪蛞黄鹎巴S也納大學讀書,，魯?shù)婪驅(qū)W了醫(yī),，一開始，哥德爾本來想學物理,，并提前做了很多準備工作,。后來，他的導師帶他進入了一個圈子,，匯聚了當時很多有名有姓的科學家,，他們一心想將數(shù)學和物理學建立在哲學之上,。或許是這樣的環(huán)境讓他改變了當初的想法,，他開始將注意力從物理學轉(zhuǎn)移到了邏輯學,。

哥德爾于1930年2月獲得了博士學位，他的博士論文是有關“謂詞演算”的,，簡單來講,，他提出了“謂詞演算”中的完全性和相容性，所謂的完全性是指,，所有真命題都可以被證明,，所謂的相容性是指，只有真命題才能被證明,，否則就是不相容的,。

不過，在當時的環(huán)境來講,，一篇博士論文和一個博士學位并不能幫助他獲得一份大學里的職位,，還需要一個在大學授課的資格，也就是額外做點研究,。他為了獲得這份資格,，選了一個非常具有挑戰(zhàn)性的問題：證明作為數(shù)學基礎的算術公理的相容性。

慢慢的,，哥德爾亮出了他的屠龍寶刀,，即哥德爾不完備性定理。關于其中的論證過程非常專業(yè)也非常復雜,，我們只要知道,，在一個數(shù)學體系內(nèi)部，總存在一個在此體系中不能被證明的陳述,，盡管該陳述的真實性是顯而易見的,。除此之外，如果一個體系是相容的,，則這個相容性不能在本體系內(nèi)部被證明,。

舉個形象的例子，比如“這個陳述是不可被證明的”,，如果把它當成一個數(shù)學體系內(nèi)的命題,，如果現(xiàn)在我們動手去證明這個命題為真，而且最終我們做到了,，那么我們就證明了這個命題,，也就是說，這個命題是真的,，即“這個陳述是不能被證明的”,。如果我們動手去證明了,，卻沒有任何結(jié)果，則恰恰說明了“該陳述是不可被證明的”是真的,。

這就像是羅素悖論,，更像是從古希臘就開始流傳的“說謊悖論”，“我在說謊”,，這句話無論怎么看都是一個悖論,。

哥德爾的這個不完備性定理一出場就給當時的數(shù)學家和邏輯學家造成了劇烈的沖擊。數(shù)學家們一直相信,，每個可以準確清晰表達的數(shù)學命題遲早都可以通過數(shù)學的演繹推理方法證明其真?zhèn)?，這一點是可以做到的，只是要看誰有這樣的聰慧和機遇,。正如希爾伯特所言：“我們必須知道,！我們終會知道！”

然而,，哥德爾的出現(xiàn),，說明數(shù)學里的有些命題無論是誰都無法證偽的。

可能很多人還是一臉懵逼,，這究竟是什么意思呢,？是不是太抽象呢，是不是對生活一點用都沒有呢,？

我在開篇也說了,，與其說哥德爾是一名數(shù)學家，不如說是一個思想家,，我們不從數(shù)學或邏輯的角度去討論它,，我們先來看幾個好玩的故事，這可以幫助我們更好的理解哥德爾不完備性的精髓,。

阿根廷有位作家叫博爾赫斯,，他有一篇短篇小說叫《巴比倫彩票》,，里面說巴比倫的彩票可以改變一個人的命運,，但至于是好的命運還是壞的命運，就不得而知了,，全靠運氣,。話說有一個奴隸，他很窮,，根本買不起彩票,，但他再也忍受不了身為奴隸的境遇了，想賭一下,，希望能借助彩票來改變自己的命運,。于是他就去偷了一張彩票,，結(jié)果，他發(fā)現(xiàn)彩票的開獎結(jié)果是割舌頭,，是不好的,。有意思的是，按照巴比倫法律,，偷盜罪的處罰方式也是割掉舌頭,。

有意思的事情出現(xiàn)了，這個奴隸應該是以彩票的結(jié)果而被割掉舌頭呢,，還是以偷盜罪的罪名被割掉舌頭,？巴比倫的法律還有個規(guī)定，只有在犯人被割掉舌頭的理由能被說清楚的時候,，它才能被割掉舌頭,。如此，這個奴隸什么事都沒有,，盡管理論上,，他應該被兩次割掉舌頭。

波蘭作家斯坦尼斯拉夫·萊姆寫過一篇科幻小說《機器人大師》,，說有一個非常聰明的機器人制造師叫特魯爾,，有一次他給邪惡的國王麥迪隆制造了一個完美的顧問式機器人。造好之后,，國王將特魯爾趕走了,，為的是白嫖這個機器人，不付工錢給他,。特魯爾如果想要拿到這筆錢,，就必須和國王斗智斗勇，但他顯然斗不過親手制造出來的顧問式機器人,。

特魯爾后來想了個辦法,，他寫信給自己的機器人，內(nèi)容充滿了夸贊與諂媚,，機器人很聰明,，他當然知道特魯爾的計謀，無非是讓國王對他產(chǎn)生懷疑,。國王雖然認為這些信看上去無害,，但里面肯定藏了一些秘密。后來,，國王讀到一封信,，里面提到機器人顧問身上的紫色螺絲釘。讀完信,，國王馬上命令手下拆掉機器人顧問,，一直把機器人顧問拆到只剩下最后一顆螺絲釘,。但是沒有機器人顧問后，國王就再也敵不過特魯爾超強的智力了,，最后,，只好把錢付給了特魯爾。

以上兩個例子可能會讓人覺得,，這好像和哥德爾不完備性定理沒什么關系,。實際上，定理的精髓恰恰說明了,，每個正式的法律體系都存在矛盾之處,。不論人們制定出了什么樣的法律或規(guī)則，總有其應該適用卻并不適用的場合,?；蛘邠Q句話講，根本就避免不了法律會出現(xiàn)漏洞,，制定新法彌補原來的法律漏洞后,，會出現(xiàn)新的法律漏洞，只好再次制定新法,。如此一來,，只會周而復始，無休無止,。

這種思維恰恰讓我重新審視了理性主義,，很多人可能會覺得，這個世界上有真理,，唯一確定的真理,，而且最可怕的是，這個唯一的真理就掌握在我的手中,，因此其他人都是錯的,，都是不對的。而這正是落入了理性主義所設下的圈套,。哥德爾不完備性定理恰恰說明了,，人的理性是有邊界的，是有局限的,，因此,，我們更應該去看看不同的世界,，不要總是局限在自己的世界,，并自信滿滿地認為自己所在的世界是正確無誤的。因為,，有些東西,，在本體系內(nèi)部,，要么是不完備的，要么就是不相容的,。

講個有意思的事,，以前在匈牙利，有些書被列為了禁書,，買賣或閱讀這些書,，都是違法的。人們想知道這些禁書究竟都是些什么,，結(jié)果一直沒有成功,，因為書單本身也屬于被禁之列，書單成了一個哥德爾概念,。

哥德爾不完備性定理告訴我們,，要做一個開放的人，而不是一個封閉的人,，因為矛盾無處不在,。你覺得自己已經(jīng)很圓滿了，在自己的世界里洋洋得意,，卻不知,，站在你世界外的人，一眼就可以看出你這個體系的矛盾之處,。我就見過很多自信滿滿的人,，說話前后矛盾，這就是不相容,。當你將自己的思想和世界慢慢刪掉,，將矛盾的地方刪掉之后，就結(jié)束了嗎,？不,！這樣的世界盡管相容了，但卻是不完備的,。

永遠不要覺得自己是對的,，因為所謂的“對”，只是在一定邊界之內(nèi)才是對,。一個形式系統(tǒng)永遠無法窮盡所有的真理,，這也就是說，一個人的大腦,，也永遠裝不下所有的真理,。所以，做人要謙卑一點。何帆說過,，能使人謙卑的學問,，都是好學問，數(shù)學無疑就是這樣的一門學問,。

這也就是為什么當一個評論家很容易,，因為你對著一個東西指指點點，說這不好那不對,，非常容易,，因為很容易就能找到這個東西不完備的地方，而當不完備消除掉之后,，這個東西又會變的不相容,，自相矛盾。（站著說話永遠是不腰疼的,，這在數(shù)學中也是成立的）

接著我們來談談哥德爾其他的一些思想,，他認為，數(shù)學是實在的,，比如他相信集合是客觀存在的現(xiàn)象,，除了集合之外，還有一個一樣是客觀的“集合”這個概念,。這個概念與集合或時空中的物體一樣,，是獨立于我們的存在。這也就是說,，數(shù)學世界并不是我們所想像并構(gòu)造的一個主觀的世界,，而是一個客觀的、不以任何人意志的轉(zhuǎn)移而轉(zhuǎn)移的世界,。

在1951年前后,，哥德爾曾批評過主觀創(chuàng)造論，他的理由是,，如果數(shù)學是我們創(chuàng)造出來的,，那么我們應該能夠完全或近乎完全地了解我們的創(chuàng)造物，但很顯然,，我們并不能完全了解數(shù)學,，其中還有很多我們并未證明或證偽的猜想存在。同時他也反對像卡爾納普這類認為數(shù)學是一種語言的約定,。

如果數(shù)學是一種語言的約定,，那么我們就得保證語言規(guī)則是一致的，但由哥德爾不完備性定理得知,，證明一些數(shù)學語言規(guī)則的一致性需要用超出這些語言規(guī)則的數(shù)學,，因此，我們無法保證語言規(guī)則是一致的，除非我們引入另一種語言,。

當哥德爾意識到理性的局限性之后,，他轉(zhuǎn)而開始證明上帝的存在,，至于證明過程,，則和他證明不完備性定理一樣，非常專業(yè)也非?；逎?。總之,，他證明了上帝的存在,，但是請注意，他這個證明和安瑟倫的證明殊途同歸,。他證明的這個上帝也不是基督教中的上帝,，也不是斯賓諾莎和愛因斯坦的上帝，而是形式的上帝,。只不過這個證明是不完備的,。

舉個形象的例子，哥德爾證明了1+1=2,，對的,，這是對的，但是他將2定義成上帝,，就顯得有些不完備,，因為我也可以將2定義成魔鬼，同樣可以推導出一個換湯不換藥的魔鬼存在,。

關于哥德爾的其他思想,，本篇內(nèi)容只能是點到為止，有興趣的朋友可以找些書來看,，比如《上帝創(chuàng)造整數(shù)》和《二十世紀數(shù)學哲學》,，會比較專業(yè)一點，但我保證,，哥德爾的思想將使你受益終生,，且每隔一段時間回頭看，都能找到新的啟發(fā),。因此,，越早了解越好，不要等到大腦遲鈍了,，那時候可就不僅肉都吃不到,，就連湯也喝不動了。

接下來講講哥德爾的世俗生活吧，他的妻子是一個比他大6歲的阿黛麗·尼姆斯布格爾,，而且還是一個夜總會舞女,。他倆相識于1928年末或1929年初。

1938年,，德國吞并了奧地利,，隨著納粹的不斷抬頭，哥德爾選擇了前往美國,。由于他德國人的身份,，他害怕采取穿越大西洋直達美洲的路線：英國人可能會襲擊并擊沉他們所乘的船只。如果英國人俘獲了他們則會因他們是德國公民而被拘留,。因此,，哥德爾夫婦繞了一個大圈子才到達美國：他們乘西伯利亞火車到達符拉迪沃斯托克，然后坐船到日本的橫濱,，最后乘美國的一艘旗艦才到達了舊金山,。全部算起來，這趟旅行花了7個星期,。

抵達美國后,，哥德爾的注意力轉(zhuǎn)向了宇宙學，在向愛因斯坦表示敬意的一卷文集中的一篇預約文章里,，他構(gòu)造了一個滿足愛因斯坦方程的宇宙旋轉(zhuǎn)模型,。

哥德爾很快就和愛因斯坦成了密友，就在1947年哥德爾準備加入美國國籍的時候,，差點因為他的聰明而出了岔子,。在那段時間，哥德爾非常認真地準備考試,，仔細研究憲法,，發(fā)現(xiàn)了一個他所謂的邏輯漏洞。他堅持認為,，這種內(nèi)在的不一致性將使整個政府滄落為zhuan制,。

▲ 愛因斯坦與哥德爾

愛因斯坦得知哥德爾的舉動后，嚇了一跳,，不放心這位朋友,，于是決定陪同他到特倫頓參加入籍考試。在路上,，愛因斯坦和另一位朋友在途中試圖讓哥德爾分散精力,，勸他不要提這個缺陷，但不管用,。當主考官問他對憲法有何看法時,，哥德爾開始論證其內(nèi)在的不一致性有可能會導致獨cai,。幸運的是，考慮到他與愛因斯坦的關系,，主考官及時打斷了他：“你不必詳談了,。”

于此,，哥德爾才保住了他的國籍,。

可能是哥德爾發(fā)現(xiàn)了這個世界的內(nèi)在矛盾，他的精神一直都不好,，他的身體狀況和精神狀態(tài)在他最后三十年中逐步惡化,，他甚至與世隔離,，患了抑郁癥和被害妄想癥,。當一些數(shù)學家從歐洲來到普林斯頓的時候，哥德爾拒絕與他們會面,，理由是害怕他們想要殺死自己,。

哥德爾吃的也越來越少，從1946年起他記錄了他使用輕瀉藥的消耗量,，在1951年,，他需要到醫(yī)院去處理他的流血性潰瘍，處理之后他便為自己定下了一個非常嚴格的飲食安排,，包括每天四分之一磅黃油,，三只整雞蛋和兩個蛋白，幾乎不用肉食,。到1954年后期,，他又經(jīng)受了另一回合的嚴重抑郁癥。毫無疑問,，他能從這些情況中恢復過來一定是由于阿黛麗的溫柔的,，充滿愛心的照顧。

遺憾的是,，阿黛麗先哥德爾而去,，她再也沒有辦法照顧丈夫的生活。到了1970年代,，他變得更加怪異,，以至于別人將他稱為“活僵尸”。

1978年1月11日,，哥德爾去世,，享年73歲。他離開這個世界的時候,，只剩下了65kg的體重,，死亡鑒定是絕食至死,。

后記：

在20幾歲的年紀就接觸到了哥德爾，現(xiàn)在想來非常幸運,。這個年齡段,，我的大腦還處于黃金時期，因此盡管他的很多論證過程我也看得云里霧里,，一點都看不懂,，但我卻能深刻體會到他的思想。

自從接觸到哥德爾之后,，我有意識地讓自己變得更開放,，對于別人不同的言論，我盡量讓自己做到不在第一時間反駁,，而是先聽聽看他怎么講的,。就算是不認同他的觀點，我也知道,，這并不代表我是對的他是錯的,，而是這個世界本身的矛盾。我努力讓自己的世界盡可能的相容,，也隨時接受其他的世界,。這或許就是我看書，從來不會緊盯著一個領域看,，因為只看一種類型的書,，會讓我變得越來越狹隘。

有的時候,，當我覺得自己的想法已經(jīng)很好的時候,，我會去和其他人交流，以局外人的視角,，來審視自己的想法,，我也能發(fā)現(xiàn)很多之前被我忽略掉的點。

數(shù)學家,，到此結(jié)束了,，盡管還有很多數(shù)學家沒有被寫進來，但我已經(jīng)累了,，該休息休息了,。也許，之后會再做補充,。

還是那句話,，我很幸運，在即將30歲之前,，就接觸到了這些數(shù)學家,，他們讓我的生命變得更加精彩,，也更加從容了。之后的日子里,，我會不斷在20幾歲的基礎上,，繼續(xù)發(fā)現(xiàn)他們，繼續(xù)挖掘他們,。

數(shù)學家,，是我們世界的瑰寶，不分國籍,，不分種族,。他們?yōu)槲掖蜷_了一扇扇新的窗口與視角，在即將到來的百歲人生中,，給了我一根穩(wěn)固的木漿,。也許，我也會在今后的人生中迷路,，但我相信自己終究會走出短暫的迷宮,。

數(shù)學,，究竟給了我什么,？我想，是給了我邊界與謙卑,，有了邊界,，我就不會做出不合時宜的行為，有了謙卑,，我才能不斷吸收外界的能量,，擇其善者而從之，其不善者而改之,。

所謂的邊界,，可能就是中國的那句古訓“到什么山上唱什么歌”。

當數(shù)學朝著你走過來的時候,，不要慌張,，不要害怕，勇敢地上去抱住他,，他很可靠,，是一個值得信賴的朋友，同時,，他也會站在你的立場,，站在你的角度，幫你分析目前的處境,。他從來不會自以為是地認為,，你應該怎么樣,，他只會告訴你，你可以怎么樣,?；蛟S你會受到震撼，原來還可以這樣,！

數(shù)學,，不會終結(jié)，數(shù)學,，他一直在詩與遠方的那塊麥田,，迎接不停奔跑著的你。