【原】數(shù)學(xué),，離一個程序員有多近？

小傅哥 2021-12-13

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作者：小傅哥
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一、前言

數(shù)學(xué)離程序員有多近,？

ifelse也好,、for循環(huán)也罷，代碼可以說就是對數(shù)學(xué)邏輯的具體實現(xiàn),。所以敲代碼的程序員幾乎就離不開數(shù)學(xué),，難易不同而已。

那數(shù)學(xué)不好就寫不了代碼嗎??,？不,，一樣可以寫代碼，可以寫出更多的CRUD出來,。那你不要總覺得是產(chǎn)品需求簡單所以你的實現(xiàn)過程才變成了增刪改查,，往往也是因為你還不具備可擴展、易維護,、高性能的代碼實現(xiàn)方案落地能力,，才使得你小小年紀(jì)寫出了更多的CRUD！

與一錐子買賣的小作坊相比,，大廠和超級大廠更會注重數(shù)學(xué)能力,。

2004年，在硅谷的交通動脈 101 公路上突然出現(xiàn)一塊巨大的廣告牌，上面是一道數(shù)學(xué)題：{e 的連續(xù)數(shù)字中最先出現(xiàn)的 10 位質(zhì)數(shù)}.com,。

廣告：這里的 e 是數(shù)學(xué)常數(shù),，自然對數(shù)的底數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù),。這道題的意思就是,，找出 e 中最先出現(xiàn)的 10 位質(zhì)數(shù)，然后可以得出一個網(wǎng)址,。進入這個網(wǎng)址會看到 Google 為你出的第二道數(shù)學(xué)題,，成功解鎖這步 Google 會告訴你，我們或許是”志同道合“的人,，你可以將簡歷發(fā)到這個郵箱,，我們一起做點改變世界的事情。

計算 e 值可以通過泰勒公式推導(dǎo)出來：e^x≈1 + x + x^2/2! + x^3/3! +……+ x^n/n! (1) 推導(dǎo)計算過程還包括埃拉托色尼篩選法(the Sieve of Eratosthenes),、線性篩選法的使用,。感興趣的小伙伴可以用代碼實現(xiàn)下。

二,、把代碼寫好的四步

業(yè)務(wù)提需求,、產(chǎn)品定方案、研發(fā)做實現(xiàn),。最終這個系統(tǒng)開發(fā)的怎么樣是由三方共同決定的,！

地基挖的不好，樓就蓋不高
磚頭擺放不巧,，樓就容易倒
水電走線不妙,，樓就危險了
格局設(shè)計不行，樓就賣不掉

這里的地基,、磚頭,、水電、格局,，對應(yīng)的就是,，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法邏輯,、設(shè)計模式,、系統(tǒng)架構(gòu)。從下到上相互依賴,、相互配合,，只有這一層做好，下一層才好做,！

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：高矮胖瘦,、長寬扁細，數(shù)據(jù)的存放方式，是一套程序開發(fā)的核心基礎(chǔ),。不合理的設(shè)計往往是從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)開始，哪怕你僅僅是使用數(shù)據(jù)庫存放業(yè)務(wù)信息,，也一樣會影響到將來各類數(shù)據(jù)的查詢,、匯總等實現(xiàn)邏輯的難易。
算法邏輯：是對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的使用,，合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)會讓算法實現(xiàn)過程降低時間復(fù)雜度,。可能你現(xiàn)在的多層for循環(huán)在合適的算法過程下,，能被優(yōu)化為更簡單的方式獲取數(shù)據(jù),。注意：算法邏輯實現(xiàn)，并不一定就是排序,、歸并,，還有你實際業(yè)務(wù)的處理流程。
設(shè)計模式：可以這么說,，不使用設(shè)計模式你一樣能寫代碼,。但你愿意看到滿屏幕的ifelse判斷調(diào)用，還是喜歡像膏藥一樣的代碼,，粘貼來復(fù)制去,？那么設(shè)計模式這套通用場景的解決方案，就是為你剔除掉代碼實現(xiàn)過程中的惡心部分,，讓整套程序更加易維護,、易擴展。就是開發(fā)完一個月,，你看它你還認識,！
系統(tǒng)架構(gòu)：描述的是三層MVC，還是四層DDD,。我對這個的理解就是家里的三居還是四局格局,，MVC是我們經(jīng)常用的大家都熟悉，DDD無非就是家里多了個書房,，把各自屬于哪一個屋子的擺件規(guī)整到各自屋子里,。那么亂放是什么效果呢，就是自動洗屁屁馬桶??給按到廚房了,，再貴也格楞子,！ 好，那么我們在延展下,，如果你的衛(wèi)生間沒有流出下水道咋辦,？是不這個地方的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是設(shè)計缺失的，而到后面再想擴展就難了吧！

所以,，研發(fā)在承接業(yè)務(wù)需求,、實現(xiàn)產(chǎn)品方案的時候。壓根就不只是在一個房子的三居或者四居格局里,，開始隨意碼磚,。

沒有合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、沒有優(yōu)化的算法邏輯,、沒有運用的設(shè)計模式,，最終都會影響到整個系統(tǒng)架構(gòu)變得臃腫不堪，調(diào)用混亂,。在以后附加,、迭代、新增的需求下,，會讓整個系統(tǒng)問題不斷的放大,，當(dāng)你想用重構(gòu)時，就有著千絲萬縷般調(diào)用關(guān)系,。重構(gòu)就不如重寫了,！

三、for循環(huán)沒算法快

在《編程之美》一書中,，有這樣一道題,。求：1~n中，1出現(xiàn)的次數(shù),。比如：1~10,，1出現(xiàn)了兩次。

1. for 循環(huán)實現(xiàn)

long startTime = System.currentTimeMillis();
int count = 0;
for (int i = 1; i <= 10000000; i++) {
    String str = String.valueOf(i);
    for (int j = 0; j < str.length(); j++) {
        if (str.charAt(j) == 49) {
            count++;
        }
    }
}
System.out.println("1的個數(shù)：" + count);
System.out.println("計算耗時：" + (System.currentTimeMillis() - startTime) + "毫秒");

使用 for 循環(huán)的實現(xiàn)過程很好理解,，就是往死了循環(huán),。之后把循環(huán)到的數(shù)字按照字符串拆解，判斷每一位是不是數(shù)字,，是就+1,。這個過程很簡單，但是時間復(fù)雜很高,。

2. 算法邏輯實現(xiàn)

如圖 20-3 所示,，其實我們能發(fā)現(xiàn)這個1的個數(shù)在100、1000,、10000中是有規(guī)則的循環(huán)出現(xiàn)的,。11、12,、13,、14或者21,、31、41,、51,，以及單個的1出現(xiàn)。最終可以得出通用公式：abcd...=(abc+1)*1+(ab+1)*10+(a+1)*100+(1)*1000...,，abcd代表位數(shù),。另外在實現(xiàn)的過程還需要考慮比如不足100等情況，例如98,、1232等。

實現(xiàn)過程

long startTime = System.currentTimeMillis();
int num = 10000000, saveNum = 1, countNum = 0, lastNum = 0;
int copyNum = num;
while (num != 0) {
    lastNum = num % 10;
    num /= 10;
    if (lastNum == 0) {
        // 如果是0那么正好是少了一次所以num不加1了
        countNum += num * saveNum;
    } else if (lastNum == 1) {
        // 如果是1說明當(dāng)前數(shù)內(nèi)少了一次所以num不加1,，而且當(dāng)前1所在位置
        // 有1的個數(shù),，就是去除當(dāng)前1最高位，剩下位數(shù),，的個數(shù),。
        countNum += num * saveNum + copyNum % saveNum + 1;
    } else {
        // 如果非1非0.直接用公式計算
        // abcd...=(abc+1)*1+(ab+1)*10+(a+1)*100+(1)*1000...
        countNum += (num + 1) * saveNum;
    }
    saveNum *= 10;
}
System.out.println("1的個數(shù)：" + countNum);
System.out.println("計算耗時：" + (System.currentTimeMillis() - startTime) + "毫秒");

在《編程之美》一書中還不只這一種算法，感興趣的小伙伴可以查閱,。但自己折騰實現(xiàn)后的興奮感更強哦,！

3. 耗時曲線對比

按照兩種不同方式的實現(xiàn)邏輯，我們來計算1000,、10000,、10000到一個億，求1出現(xiàn)的次數(shù),，看看兩種方式的耗時曲線,。

for循環(huán)隨著數(shù)量的不斷增大后，已經(jīng)趨近于無法使用了,。
算法邏輯依靠的計算公式,，所以無論增加多少基本都會在1~2毫秒內(nèi)計算完成。

那么,，你的代碼中是否也有類似的地方,。如果使用算法邏輯配合適合的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，是否可以替代一些for循環(huán)的計算方式,，來使整個實現(xiàn)過程的時間復(fù)雜度降低,。

四、Java中的算法運用

在 Java 的 JDK 實現(xiàn)中有很多數(shù)學(xué)知識的運用,，包括數(shù)組,、鏈表、紅黑樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的實現(xiàn)類ArrayList,、Linkedlist,、HashMap等,。當(dāng)你深入的了解這些類的實現(xiàn)后，會發(fā)現(xiàn)它們其實就是使用代碼來實現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯而已,。就像你使用數(shù)學(xué)公式來計算數(shù)學(xué)題一樣

接下來小傅哥就給你介紹幾個隱藏在我們代碼中的數(shù)學(xué)知識,。

1. HashMap的擾動函數(shù)

未使用擾動函數(shù)

已使用擾動函數(shù)

擾動函數(shù)的代碼

static final int hash(Object key) {
    int h;
    return (key == null) ? 0 : (h = key.hashCode()) ^ (h >>> 16);
}

描述：以上這段代碼是HashMap中用于獲取hash值的擾動函數(shù)實現(xiàn)代碼。HashMap通過哈希值與桶定位坐標(biāo) 那么直接獲取哈希值就好了,，這里為什么要做一次擾動呢,？
作用：為了證明擾動函數(shù)的作用，這里選取了10萬單詞計算哈希值分布在128個格子里,。之后把這128個格子中的數(shù)據(jù)做圖表展示,。從實現(xiàn)數(shù)據(jù)可以看到，在使用擾動函數(shù)后,，曲線更加平穩(wěn)了,。那么，也就是擾動后哈希碰撞會更小,。
用途：當(dāng)你有需要把數(shù)據(jù)散列分散到不同格子或者空間時,，又不希望有太嚴(yán)重的碰撞，那么使用擾動函數(shù)就非常有必要了,。比如你做的一個數(shù)據(jù)庫路由,，在分庫分表時也是盡可能的要做到散列的。

2. 斐波那契（Fibonacci）散列法

描述：在 ThreadLocal 類中的數(shù)據(jù)存放,，使用的是斐波那契（Fibonacci）散列法 + 開放尋址,。之所以使用斐波那契數(shù)列，是為了讓數(shù)據(jù)更加散列,，減少哈希碰撞,。具體來自數(shù)學(xué)公式的計算求值，公式：f(k) = ((k * 2654435769) >> X) << Y對于常見的32位整數(shù)而言,，也就是 f(k) = (k * 2654435769) >> 28
作用：與 HashMap 相比,，ThreadLocal的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)只有數(shù)組，并沒有鏈表和紅黑樹部分,。而且經(jīng)過我們測試驗證,，斐波那契散列的效果更好，也更適合 ThreadLocal,。
用途：如果你的代碼邏輯中需要存儲類似 ThreadLocal 的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),，又不想有嚴(yán)重哈希碰撞，那么就可以使用斐波那契（Fibonacci）散列法,。其實除此之外還有,，除法散列法、平方散列法,、隨機數(shù)法等,。

3. 梅森旋轉(zhuǎn)算法（Mersenne twister）

// Initializes mt[N] with a simple integer seed. This method is
// required as part of the Mersenne Twister algorithm but need
// not be made public.
private final void setSeed(int seed) {
    // Annoying runtime check for initialisation of internal data
    // caused by java.util.Random invoking setSeed() during init.
    // This is unavoidable because no fields in our instance will
    // have been initialised at this point, not even if the code
    // were placed at the declaration of the member variable.
    if (mt == null) mt = new int[N];
    // ---- Begin Mersenne Twister Algorithm ----
    mt[0] = seed;
    for (mti = 1; mti < N; mti++) {
        mt[mti] = (MAGIC_FACTOR1 * (mt[mti-1] ^ (mt[mti-1] >>> 30)) + mti);
    }
    // ---- End Mersenne Twister Algorithm ----
}

梅森旋轉(zhuǎn)算法（Mersenne twister）是一個偽隨機數(shù)發(fā)生算法,。由松本真和西村拓士在1997年開發(fā)，基于有限二進制字段上的矩陣線性遞歸,?？梢钥焖佼a(chǎn)生高質(zhì)量的偽隨機數(shù)，修正了古典隨機數(shù)發(fā)生算法的很多缺陷,。最為廣泛使用Mersenne Twister的一種變體是MT19937,，可以產(chǎn)生32位整數(shù)序列。

描述：梅森旋轉(zhuǎn)算法分為三個階段,，獲得基礎(chǔ)的梅森旋轉(zhuǎn)鏈,、對于旋轉(zhuǎn)鏈進行旋轉(zhuǎn)算法、對于旋轉(zhuǎn)算法所得的結(jié)果進行處理,。
用途：梅森旋轉(zhuǎn)算法是R,、Python、Ruby,、IDL、Free Pascal,、PHP,、Maple、Matlab,、GNU多重精度運算庫和GSL的默認偽隨機數(shù)產(chǎn)生器,。從C++11開始，C++也可以使用這種算法,。在Boost C++,Glib和NAG數(shù)值庫中,，作為插件提供。

五,、程序員數(shù)學(xué)入門

與接觸到一個有難度的知識點學(xué)起來辛苦相比,，是自己不知道自己不會什么！就像上學(xué)時候老師說,，你不會的就問我,。我不會啥？我從哪問,？一樣一樣的,！

代碼是對數(shù)學(xué)邏輯的實現(xiàn)，簡單的邏輯調(diào)用關(guān)系是很容易看明白的,。但還有那部分你可能不知道的數(shù)學(xué)邏輯時,，就很難看懂了。比如：擾動函數(shù),、負載因子,、斐波那契（Fibonacci）等,，這些知識點的學(xué)習(xí)都需要對數(shù)學(xué)知識進行驗證，否則也就學(xué)個概念,，背個理論,。

書到用時方恨少，在下還是個寶寶,！

那如果你想深入的學(xué)習(xí)下程序員應(yīng)該會的數(shù)學(xué),，推薦給你一位科技博主 Jeremy Kun 花了4年時間，寫成一本書《程序員數(shù)學(xué)入門》,。

這本書為程序員提供了大量精簡后數(shù)學(xué)知識,，包括：多項式、集合,、圖論,、群論、微積分和線性代數(shù)等,。同時在wiki部分還包括了抽象代數(shù),、離散數(shù)學(xué)、傅里葉分析和拓撲學(xué)等,。

作者表示,，如果你本科學(xué)過一些數(shù)學(xué)知識，那么本書還是挺適合你的,，不會有什么難度,。書中的前三章是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)內(nèi)容，往后的難度依次遞增,。

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