|
在世界的歷史長河中,，就古建筑而言,，最具有視覺美感的，毫無疑問是源遠流長,、綿延不絕的中國古建筑,。建筑的美學可以體現(xiàn)在方方面面，比如造型,、規(guī)模,、材料、色彩,、構(gòu)造,、細部雕琢等，在這些美學的原動力中,，完全來源于人類智力活動的,，唯有蘊含其中的數(shù)學密碼：形狀、比例,、尺寸等,。古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯說過：萬物皆數(shù)，數(shù)支配著宇宙,；而大詩人李白的詩句：“危樓高百尺,，手可摘星辰”，表述了他對建筑,、數(shù)學以及宇宙星辰的認知,。 從一幅古畫說起 這是宋代著名畫家和書法家、宋徽宗趙佶的作品《瑞鶴圖》,，描繪了汴梁宣德門外仙鶴群舞的祥和氣氛,。除了仙鶴之外，畫家采用工筆寫實的畫法,、鳥瞰的視角,，對建筑進行了細致的描摹,，渲染層次分明、配景豐富多彩,。從建筑設計者角度來看,，這可視為一幅加蓋紅章的宋代建筑屋蓋立面圖。這幅畫也被電視劇《大宋宮詞》選作片頭,，展現(xiàn)了大宋建筑的風格特點,。 畫中描繪的廡殿頂建筑中，曲線優(yōu)美的青瓦屋面,，尺度和諧的鴟尾吻獸,、造型舒展的飛檐斗栱，展示了中國古建筑特有的韻味,。宋徽宗的瘦金體瘦硬剛勁,、金鉤鐵劃，揭示了書法的本質(zhì)結(jié)構(gòu),。當代建筑制圖的仿宋字正是濫觴于宋,。我們就從這幅畫體現(xiàn)出來的建筑元素出發(fā)，來揭示蘊含其中的數(shù)學密碼,。要全面具體地了解宋代建筑與數(shù)學的關系,，單從畫作去了解是不夠的，需要結(jié)合工程營造的歷史資料和現(xiàn)存的古建筑實物進行更深入的剖析,。我們主要選取現(xiàn)存宋代建筑代表作——晉祠圣母殿,、宋代李誡（一說為李誠）所著的《營造法式》等古建資料作為研究對象。作為整個建筑冠冕的屋面,，建筑造型藝術發(fā)揮得淋漓盡致,。我們的研究著重分析兩個數(shù)據(jù)：屋面的圓心角A（° ）、坡屋面高度半徑H/半坡寬度W,。以上是晉祠圣母殿和《營造法式》中四個典型的屋面剖面圖,。從圖中可以看到，五個屋面的圓心角分別為：29°,、29°,、30°、31°,、34°,，平均值為30.6°；H/W分別為：0.533,、0.579,、0.587、0.583,、0.607,，平均值為：0.578,。我對其它更多宮殿、廳堂的實物和資料進行了統(tǒng)計,，基本數(shù)據(jù)類似,。因此可以得到古建筑中屋頂?shù)?strong>第一個數(shù)學密碼：從檐口到屋脊，以圓弧擬合屋面曲線,，得到圓心角基本在在30°±2°,；第二個數(shù)學密碼：從檐口到屋脊，坡屋面高度半徑H/半坡寬度W=0.57±0.3,。這些數(shù)據(jù)表達了古人的審美情趣,，現(xiàn)代仿古建筑：包括廡殿頂、歇山頂,、硬山頂,、懸山頂建筑，均宜參照這兩個密碼營造,。從對屋頂曲線進行數(shù)學擬合時,，卻發(fā)現(xiàn)圓弧的擬合度并非最佳,。那么什么曲線的擬合度最好,？經(jīng)過對多個屋面曲線的模擬嘗試，可以看出綠色的曲線是最佳的,。這條曲線是擺線或旋輪線,，也叫最速降線，就是在起點與終點確定并且忽略阻力的情形下,，物體下滑所需時間最短的曲線,。屋面除了審美需求，為了防止積水和滲漏,，根本用途是期望能以最快的速度排水,。最速降線的理論，是在1696年才由牛頓,、伯努利等歐洲的數(shù)學家們整明白的,，古代的中國工匠們不可能知曉，他們模擬的是圓弧,，但是在配合舉架的模數(shù)確定相關尺寸時,，恰好擬合成了最速降線。同時,，屋面曲線在檐口處的切線基本水平,，使水流排出屋面后，以平拋的拋物線離開屋面,，這不得不說又體現(xiàn)了工匠們的智慧,。正是這種做法,，保證了屋面不積水并且能夠把雨水排到最遠，以便更好地保護房屋的基礎（地盤）,。我們以擬合屋面的數(shù)學方程的方式,，表達對古代營造者的敬意。最速降線的參數(shù)方程：x=R(θ-sinθ), y=R(1-cosθ),。平拋拋物線方程：x2=-2py(p>0, x≥0)我們得到了第三個數(shù)學密碼：最速降線和平拋拋物線,。 杜牧用“廊腰縵回，檐牙高啄,；各抱地勢,，鉤心斗角”展現(xiàn)阿房宮的巍峨，歐陽修用“有亭翼然臨于泉”描繪醉翁亭的飄逸,。但是古建筑的屋面美則美矣,，是否有不足之處呢？
我們看一下圣母殿的實景圖和按材料力學繪制的彎矩圖,，并用現(xiàn)代數(shù)學的方法來做結(jié)構(gòu)力學分析,。從圖上可以看到，外挑的屋檐的彎矩,，與屋架內(nèi)部的彎矩不協(xié)調(diào),，檐椽懸挑尺寸顯然過大。由于檐椽的彎矩M1=qL12/2, 上架椽的彎矩M2=qL22/10,，L1與L2大體相等（L1甚至更大）,，那么彎矩比例達到5倍之多。這必然會導致兩種可能：要么檐椽不安全,，要么上架椽斷面尺寸過大造成無謂的浪費,。從尺寸比例的協(xié)調(diào)性來說，減少檐口外挑尺度是削足適履,，不可行,。那么工匠們是如何來處理這個矛盾的？從材料性能和營造技術出發(fā),，他們給出的答案是—斗栱（或?qū)懽鞫饭埃?。斗栱最初是作為檐椽下面的斜三角支撐，可以減少檐椽的外挑尺寸,，從而減小彎矩,，達到與上架椽基本協(xié)調(diào)的目的。五臺山佛光寺東大殿是唐代遺存的實物,，斗栱端莊質(zhì)樸,，以實用為要務，充分體現(xiàn)了作為結(jié)構(gòu)受力構(gòu)件的內(nèi)涵，實現(xiàn)了力與美的統(tǒng)一,。從數(shù)學上說,，斗栱的整體形象類似三角形，符合三角不變形的幾何原理,。下圖為梁思成先生的手繪圖以及佛光寺東大殿現(xiàn)狀斗栱照片,。
斗栱起到出跳承檐的作用，支撐位置約在檐出的0.6~0.7倍,，檐椽的根部彎矩減少為原來的1/5左右,，與上架椽彎矩的比例達到完美的1:1，并且斗栱造型奇特,、制作精巧,，結(jié)構(gòu)與裝飾合二為一，給建筑增添了風采,。這就是中國古建筑的第三個數(shù)學密碼：不變形三角的斗栱支撐作用和1:1彎矩,。可惜唐代以降，斗栱在結(jié)構(gòu)上起的作用越來越少,，式樣上卻越來越繁復浮夸,，幾乎淪為了奢侈的雕飾。宋《營造法式》和清工部《清式營造則例》中,，除了柱頭鋪作,，更有補間鋪作之類浪費材料的累贅，實屬畫蛇添足,。立面是整個建筑的基本比例,，從剖面圖中更能看清楚這種關系,。下圖中的故宮太和殿和曲阜孔廟大成殿均為重檐廡殿頂，11開間,，黃瓦覆頂,，是最高形制的殿堂建筑。
通過大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計可以看出,，古代殿堂建筑的立面尺寸比例大體上是固定的,，重檐屋蓋層：重檐斗栱層：副階屋蓋層：副階斗栱層：柱框?qū)印?8：4：7：3：8；單檐屋蓋層：斗栱（鋪作）層：柱框?qū)印?5：7：20,；這些比例是古建筑的第四個數(shù)學密碼,。古建筑的正面柱子，是劃分開間的標志物,，也是最重要的豎向受力構(gòu)件,，在建筑中有著舉足輕重的地位，并且長細比不僅影響柱子的承載能力，也直接奠定了建筑的美學基調(diào),。所以從數(shù)學的角度對此進行研究很有必要,。當代對柱子的受力分析，理論基礎是歐拉公式,。歐拉公式計算壓桿失穩(wěn)的臨界應力,，用于工程實踐中時，以構(gòu)件長細比為基準計算穩(wěn)定系數(shù),，從而確定構(gòu)件的承載能力,。為了充分發(fā)揮柱子的承壓能力，我們以穩(wěn)定系數(shù)0.95為標準,，確定柱子長細比為36,，對應的柱子高徑比為9:1。實測統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,，古建筑的柱子高徑比在10：1~7：1之間,，與現(xiàn)代數(shù)學計算結(jié)果不謀而合?？磥砭蓬^身比例協(xié)調(diào),，不但受力合理，也符合古今大多數(shù)人的審美意識,。古建筑的第五個數(shù)學密碼：圓柱高徑比（柱子高度：柱子直徑）為10：1~7：1,。
古建筑的柱子，實際作法是柱腳向外傾斜1%左右（側(cè)腳）,，角柱高度高于平柱（角柱生起）,，這固然有美學和構(gòu)造的要求，我個人覺得與數(shù)學（力學）的關系是一目了然的,，因為從視覺效果來看,，1%的傾斜度顯然不足以引起注意。古代工匠可能對于建筑抗震不會有太多的概念,，但風荷載的作用的確是生活中的直接經(jīng)驗,。經(jīng)計算標明，數(shù)學上來說,，在x值很小時,，sinx≈tanx≈x，可以計算出,，在柱子的側(cè)腳作用下,，建筑提供的水平承載力與風力作用、地震作用基本相當,，這應該是工程實踐中得出的直接經(jīng)驗數(shù)據(jù),，同時角柱生起對抵抗水平力也能起到作用,。古建筑的第六個數(shù)學密碼：1%的柱子側(cè)腳和角柱生起。無論是宋代《營造法式》還是清工部《清式營造則例》,，受力梁的寬高比固定在2:1,。古建筑的主要受力構(gòu)件梁椽、樓板,、柱子都是木頭,，因此工匠只能因材而作。由于構(gòu)件的拼接需要,，梁通常做成矩形,。梁是主要的水平受力構(gòu)件，承載能力是首要考慮的問題,。圓形的木頭加工成矩形斷面,，怎樣的比例承載力是最高的？工匠們確定的比例是否合適,？現(xiàn)代數(shù)學上能找到依據(jù)嗎,？古書沒有給出答案，我們嘗試從數(shù)學計算和力學分析角度進行解密,。梁作為水平或斜向受彎構(gòu)件,，除了材料本身的特性，截面抵抗矩W是唯一的標準,。矩形截面抵抗矩W=BH2/6,，（其中B為垂直于彎矩作用方向的長度），木材本身的圓形直徑D是確定的,，就需要從數(shù)學角度來選擇合適的高寬比H：B,。
∵根據(jù)數(shù)學均值不等式，幾何平均數(shù)算術平均數(shù),，當W取最大值時，要求,，如果木頭的僅從出材率考慮,，最佳的方式是圓中截取正方形，所以這個比例顯然是有意為之,?！稜I造法式》上說（梁高寬比）“系來自工作相傳，并是經(jīng)久可以引用之法”，是最接近完美的整數(shù)比,，是古代勞動者在生產(chǎn)實踐中總結(jié)出來的智慧結(jié)晶,！這就是古建筑的第七個數(shù)學密碼：受力梁高寬比2:1。榫卯連接構(gòu)造是中國古代一項偉大的技術創(chuàng)造,，為世人所熟知,。那么榫卯節(jié)點問題的實質(zhì)是什么？我認為,，榫卯節(jié)點是古建營造時一個很有意義的數(shù)學立體幾何課題,。這個題目需要解決：在三維的條件下，如何合理地制作三個桿件的榫頭,，使得在有限空間內(nèi),，三向桿件均能有效咬合后達到最大的剛度，并且在正常使用狀態(tài)下不松動,、不脫榫,？由于空間有限且固定，需要兼顧美觀要求和現(xiàn)場施工拼合的可行性,。這需要進過非常細致的設計,，精心安排三個方向的榫頭排布才能做到。
榫卯節(jié)點是復雜的構(gòu)造,，古代工匠在技術實踐過程中,，針對各種構(gòu)件作出了完美的答卷，饅頭榫,、燕尾榫,、箍頭榫、透榫等,，形式精巧,，受力合理。有心者可以另查詳細資料,，本文不作太多的介紹,。這是古建筑的第七個數(shù)學密碼：榫卯連接構(gòu)造的完美立體幾何構(gòu)造。應當指出的是,，榫卯構(gòu)造由于受材料限制,，是一種半剛性節(jié)點，會有一定的形變,。為了控制使用中過大的變形,，工匠們在營造中采取的第一道措施：使用各種形狀的楔子來緊固節(jié)點。這是一種預應力配件,，通過控制楔子角度,，使得加大壓力時增加的摩擦力大于壓力的分力,，達到自鎖或互鎖的效果，使節(jié)點處于承受預壓的受力狀態(tài),。燕尾榫則利用梯形下底邊大于上底邊來保證咬合不脫榫,。
工匠們采取的第二個措施是，在梁柱節(jié)點使用雀替和牛腿,。雀替和牛腿本質(zhì)上是同一類古建構(gòu)件,，同時起到加強構(gòu)造節(jié)點和建筑裝飾的作用。它們都類似三角形支撐,，利用了三角不變形的特點,，限制節(jié)點的轉(zhuǎn)動。江南建筑中的牛腿撐栱雕飾,，淋漓盡致地發(fā)揮了圓雕,、浮雕、透雕,、鑲嵌等技法,，是東陽木雕中的精華之作。古建室內(nèi)外裝修采用木頭和磚瓦石等材料,，并且與家具緊密結(jié)合,。比如木門窗、欄桿,、天花藻井,、花罩、碧紗櫥,、博古架,、磚瓦花窗、地面拼花等等,，這些裝修式樣是圖案的淵藪,，平面幾何中的線條、形狀幾乎無一遺漏,。圖案種類琳瑯滿目,，工藝手法精彩紛呈。
古希臘柏拉圖學院門口曾經(jīng)立著一塊牌子：“不懂幾何者勿入”,，凸顯了幾何在生產(chǎn)生活中的重要性,，中國古建嚴格遵循了幾何對稱原則。工匠們在制作時普遍采用了對稱,、旋轉(zhuǎn),、線條勾連、平面鑲嵌,、曲面輻射等手段,，并結(jié)合覆色、彩畫,、雕刻,、砌筑等傳統(tǒng)工藝，形成獨具特色的裝修風格,。這就是古建筑的第八個數(shù)學密碼：平面幾何圖形的綜合應用,。古代房屋設計施工一體化，統(tǒng)籌營造者同時也是設計者,。比如紫禁城設計師蒯祥,，建筑設計世家“樣式雷”等等。古代建筑設計者采用了一些與現(xiàn)代建筑設計不同的表達方式,。現(xiàn)代建筑設計采用的是絕對尺寸與模數(shù)制,，圖紙上注明繪圖比例。而《營造法式》采用的是“材栔分”制,，《清式營造則例》采用的是“斗口”制,。這兩種營造制度，直接以主材尺寸作為繪圖基數(shù),，其它尺寸均為基數(shù)的倍數(shù)關系,。這樣一來，不同規(guī)制尺度的建筑,，相當于用不同的比例尺對圖紙進行放縮,，模型或圖紙就有了通用性。這是古建筑的第九個數(shù)學密碼：“材栔分”制和“斗口”制的比例尺作用,。現(xiàn)代制圖采用平立剖圖,、軸測圖、透視圖繪制,，《營造法式》上為了表達清楚層層疊疊的斗栱關系,，創(chuàng)造了一種特殊的繪圖法：變角透視圖。這是一種介于軸測圖和透視圖之間的繪圖法,，從技術上說,，并不符合畫法幾何的數(shù)學投影關系，而是類似于現(xiàn)代廣角攝影術,。以此法繪制的圖樣,，兼顧了實用性和可讀性，這是一種務實的智慧,。這是古建筑的第十個數(shù)學密碼：變角透視法,。按照奧多姆剃刀原理，如非必要,，勿增實體,。中國古建筑很好地貫徹了實用,、自然、內(nèi)斂的原則,，美學與力學相得益彰,，與數(shù)學上簡潔、本真的要求不謀而合,。相對而言,，某些古文明建筑張揚浮夸、矯揉造作的格調(diào),，直到包豪斯主義的出現(xiàn)才有所收斂,。中國古建筑是集技術和藝術于一身的寶庫。先賢們通過技術手段,，很好地契合了現(xiàn)代數(shù)學和力學知識,。本文對蘊含其中的數(shù)學密碼的分析難免掛一漏萬，期望能起到拋磚引玉的作用,，更期待專才們的進一步發(fā)掘,。雖然當代建筑風格、建筑材料,、營造手段等與古時候相比有了根本性變革,，但中國古建筑是先輩們篳路襤褸、櫛風沐雨創(chuàng)造的勞動成果和智慧結(jié)晶,，古建營造術蘊含了樸素的數(shù)學思想和哲學內(nèi)涵,，今人如能融會貫通并吸收應用，不啻為是對中國古建筑最具有時代意義的匠心傳承,。作者簡介：虞林軍,，1994年畢業(yè)于清華大學土木工程系，國家一級注冊結(jié)構(gòu)工程師,，高級工程師,。主持過數(shù)十項重大工程的建筑結(jié)構(gòu)設計。在國家級刊物上發(fā)表過“預應力管樁作為抗拔樁的設計”,、“軟土地基基坑圍護設計”等專業(yè)論著,。
|
