01.

羅素悖論

19世紀末20世紀初,，數(shù)學家康托爾提出的集合論逐漸被國際數(shù)學界高度認可，羅素卻提出了著名的“羅素悖論”,。其矛頭直接指向集合論的漏洞,，這無疑給當時的數(shù)學界和邏輯學界一錘重擊,，從而引發(fā)了第三次數(shù)學危機。

 “羅素悖論”不是指羅素理論中的悖論,，而是羅素在進行理論研究（運用康托爾的集合論解決自然數(shù)的數(shù)列問題）時發(fā)現(xiàn)的悖論,。

什么是悖論？

通俗來理解,，悖論就是自相矛盾的命題,，是兩個互斥的觀點是在邏輯上是等值，兩個互斥的觀點是等值的,，可以互推,。也就說，以自己為真作為前提的命題,，經(jīng)過推導后,，推出自己為假。從假這個方向也可以推出真,。無論怎么推,，這前后的命題能夠同時成立。這樣的一類理論就是悖論,。

我們舉個正常的例子,，比如“天空是藍色的”，如果這個命題為真,，那么推到出他的否定命題是什么,，“天空不是藍色的”。如果這個時候天空是藍色的”和天空不是藍色的”同時成立了,，那么這就是悖論了,。很顯然這兩者無法同時成立，那么“天空是藍色的”這個命題就不是悖論,。

那么有沒有這樣的理論呢,？命題本身就處在一個自相矛盾的狀態(tài)呢？也就是前提和結論同時都成立,，但同時又自相矛盾呢,？

有的！這就是我們接下來要講到的羅素悖論,。

羅素在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了兩類理論,，一個是集合論的悖論,，一個是語義的悖論，都處在一種前后自我矛盾的狀態(tài),。我們先不說數(shù)學上的專業(yè)術語,，先給大家講兩個通俗的事例,，一下就能理解羅素悖論的精髓。

02.

理發(fā)師悖論

城里有一位理發(fā)師,，他的理發(fā)店前的招牌上寫著這樣一段廣告語：我只給不給自己刮臉的人刮臉,，歡迎大家前來體驗。

于是,，城里那些不給自己刮臉的人都來找這位理發(fā)師刮臉,。但此時有一個人的情況比較特殊，這個人就是理發(fā)師自己,。他自己的胡子長長了該怎么辦,，他是否要給自己刮臉呢？理發(fā)師陷入矛盾之中,。

如果他不給自己刮臉,，那么他就處在“不給自己刮臉”這類人中，因此這就符合他自己廣告上的規(guī)定,。既然這符合他廣告上的規(guī)定,，就可以推出“他應該給自己刮臉”?？蛇@不就矛盾了嗎,？他滿足“不給自己刮臉”的前提，卻得出了“應該給自己刮臉”的結果,。

反過來說也是矛盾的,。如果他給自己刮臉呢？因為他自己給自己刮臉,，他就沒有在“不給自己刮臉”的人群中,。既然不符合廣告里規(guī)定的人群范圍，那么他就不應該給自己刮臉,。這又自相矛盾了,。選擇“給自己刮臉”，但推出了“不應該給自己刮臉”的結果,。

無論我們怎樣推導,，都會陷入自相矛盾的境地。

從集合論的角度去理解：將城里的人設定為一個由“所有不給自己刮臉的人”所組成的集合,。如果這里面不包括理發(fā)師自己還好說,，就沒有矛盾了。理發(fā)師只給“不給自己刮臉的人刮臉”,，這不會有任何問題,。

但問題就在于，理發(fā)師也要參與其中,。

理發(fā)師自己歸屬于設定的“不給自己刮臉的人”的集合嗎,？如果屬于,，那么理發(fā)師就可以給自己刮臉。但如果理發(fā)師給自己刮了臉,，也就違背了他自己提出的規(guī)則,；如果理發(fā)師不給自己刮臉，那么他就符合此設定的集合的定義,，他就可以給自己刮臉了,，這就是其矛盾的地方。

“理發(fā)師悖論”闡釋的正是集合論的悖論,。

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03.

說謊者悖論

還有一個類似的情況就是“語義悖論”,，通俗的事例就是“說謊者悖論”。

 △說謊者悖論

比如有一個人說：“我在說謊,?！?/p>

那么，這個人到底有沒有說謊,？

如果他說的是真話,，那么他說的“我在說謊”這句話就是真的，因此得出結論：他在說謊,。

如果他在說謊,，那么他說的“我在說謊”這句話就是一句謊話，這就會推導出結論：他在說真話,。

無論如何解釋都是前后自相矛盾,，這就是語義的悖論。

04.

羅素悖論的數(shù)學形式

S={ x | x ? x}

設定一個集合S,，它由一些元素的集合x組成,，這些元素要滿足一個條件就是自己不屬于自身，即x不屬于x,，所有自己不屬于自身的這些元素的集合,，集合在一起就構成了全體，即一個大的集合S,。這里需要強調一下：x不是單個元素,，而是所有滿足這個條件的集合，因為在集合理論中,，集合本身是可以作為元素被包含在一個更大的集合中的,。

這個公式就表示出了所有不屬于自身集合的集合，所有跟自己不相等集合的集合,。這個時候問題就來了：S ∈ S ,？ 

如果S ? S ，那么S ∈ S

如果S不屬于S的話,，那么就滿足集合自身的定義了,，這個括號里的x不屬于x，那么就可以推導出什么,？S屬于S,。那這就矛盾了。

如果S ∈ S  ,，那么S ? S

如果S屬于S的話,，但S這個集合的定義是要滿足x不屬于x這個條件的，也就意味著S也是滿足這個條件的,，于是就得出：S不屬于S了,。那這就又矛盾了。

這就是羅素悖論的數(shù)學形式,。

05.

羅素悖論的解決方式

羅素認為,，悖論產(chǎn)生的原因是命題中發(fā)生了“自我指涉”的現(xiàn)象。理發(fā)師發(fā)布了規(guī)則,，他只給“不給自己刮臉的人”刮臉,，“不給自己刮臉的人”也是包含他自己的，那么理發(fā)師也在給自己下論斷,?！罢f謊者悖論”也是一樣涉及“自我指涉”的現(xiàn)象，自己要遵守自己定下的規(guī)則,，如此就會陷入無限惡性循環(huán)中,，就會出現(xiàn)悖論。

于是,，羅素提出 “類型論”來解決問題,。他認為把“類”當作“集合”，容易出現(xiàn)“自我指涉”的情況,，于是羅素把“類”和“集合”做了區(qū)分,。這部分，我們就不展開介紹了,。雖然“類型論”可以避免羅素悖論的產(chǎn)生,，但并不是解決羅素悖論的唯一方法，并且在邏輯學和哲學領域都引起了很多爭議,。后來,，除了奎因對此有興趣外，沒有人把它作為哲學上的工具來使用了,。

羅素悖論的提出也促使數(shù)學家重新考慮集合論的問題,，后來數(shù)學家創(chuàng)立了一套公理體系——“ZF公理體系”（ZF是人名Zermelo和Frankel的首字母）——通過設置出若干的定理和定義來規(guī)定集合，以規(guī)避之前集合論出現(xiàn)的問題,。其中有一條 “正則公理”,，簡言之就是把有可能產(chǎn)生“自我指涉”這一類情況的集合排除在集合之外，從而避開“羅素悖論”問題,。

換言之,，“ZF公理體系”并沒有徹底解決羅素悖論問題，也沒有否定羅素悖論,，而是設置一個公理,，讓那些產(chǎn)生“自我指涉”問題的集合排除在集合的范圍，從而避開悖論的出現(xiàn),。從這以后,，集合論也從樸素的集合論發(fā)展到了公理的集合論。