數(shù)學(xué)語文吧 語文是米飯,，數(shù)學(xué)是菜譜,！ 108篇原創(chuàng)內(nèi)容 公眾號 作者：Michael Atiyah爵士，英國數(shù)學(xué)家,，被譽(yù)為當(dāng)今最偉大的數(shù)學(xué)家之一如果有人想談?wù)撘粋€世紀(jì)的終結(jié)以及下一個世紀(jì)的開始,，那么他有兩個具有相當(dāng)難度的選擇：一個是回顧過去百年的數(shù)學(xué)；另一個是對未來百年數(shù)學(xué)發(fā)展的預(yù)測,，我選擇了前面這個比較困難的任務(wù),，任何人都可以預(yù)測未來而且我們并不能判定是對還是錯。然而對過去的任何評述,，每個人都可以提出異議,。
我在這里所講的是我個人的觀點(diǎn)。這個報告不可能包含所有內(nèi)容,，特別是,，有一些重要的內(nèi)容我不準(zhǔn)備涉及，一部分是因為我不是那些方面的專家,，一部分也是出于它們已經(jīng)在其他地方被評述過了,。例如，我不會去談?wù)撃切┌l(fā)生在邏輯與計算領(lǐng)域內(nèi)的著名事件,，這些事件往往是與像Hilbert,，Godel，Turing這些偉大的名字相關(guān)的,，除了數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)物理中的應(yīng)用之外,，我也不會談?wù)撎鄶?shù)學(xué)的其他應(yīng)用，這是因為數(shù)學(xué)的應(yīng)用太廣泛了,，而且這需要專門的論述,。每一個方面都需要一個專門的報告，也許大家在這次會議的其他報告中會聽到很多關(guān)于這些內(nèi)容的演講,。另外,，試著羅列一些定理，甚至是列出在過去一百年的著名數(shù)學(xué)家的名字也是毫無意義的,，那簡直是在做枯燥的練習(xí),。所以，代替它們的是,，我試著選擇一些我認(rèn)為在很多方面都是很重要的主題來討論并且強(qiáng)調(diào)圍繞這些主題所發(fā)生的事情,。首先我有一個一般性的說明,。世紀(jì)是一個大約的數(shù)字概念。我們不會真地認(rèn)為在過整整一百年的時候,，有些事情會突然停下來,，再重新開始，所以當(dāng)我描述二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)時,，有些內(nèi)容實(shí)際上可能是跨世紀(jì)的,，如果某件事件發(fā)生在十九世紀(jì)九十年代，并持續(xù)到二十世紀(jì)初,，我將不去計較這種時間方面的細(xì)節(jié),。我所做的就象一個天文學(xué)家，工作在一個近似的數(shù)字環(huán)境中,。實(shí)際上,，許多東西始于十九世紀(jì)，只不過在二十世紀(jì)才碩果累累,。這個報告的難點(diǎn)之一是很難把我們自己放回到1900年時作為一位數(shù)學(xué)家的位置上,，這是因為上個世紀(jì)的數(shù)學(xué)有非常多的內(nèi)容已經(jīng)被我們的文化和我們自己吸收掉了。難以想象人們不用我們的術(shù)語來思考的那個時代是什么樣子的,。實(shí)際上,，如果現(xiàn)在有人在數(shù)學(xué)上有一個真正重要的發(fā)現(xiàn)，其后他也一定會與之一起被忽略掉了,！他會完全地被融入到背景之中,，于是為了能夠回顧過去，我們必須努力去想象在不同時代,，人們用不同方式思考問題時的情景,。作為開始，我準(zhǔn)備列一些主題并且圍繞它們來討論,。我談?wù)摰牡谝粋€主題概括地講,，就是被大家稱為從局部到整體的轉(zhuǎn)變。在古典時期,，人們大體上已經(jīng)研究了在小范圍內(nèi),，使用局部坐標(biāo)等等來研究事物。在這個世紀(jì),，重點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到試圖了解事物整體和大范圍的性質(zhì),。由于整體性質(zhì)更加難以研究，所以大多只能有定性的結(jié)果,，這時拓?fù)涞乃枷刖妥兊梅浅Ｖ匾?。正是Poincare，他不僅為拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展作出先驅(qū)性的貢獻(xiàn),，而且也預(yù)言拓?fù)鋵W(xué)將成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分,，順便讓我提一下,，給出一系列著名問題的Hilbert并沒有意識到這一點(diǎn)。拓?fù)鋵W(xué)很難在他的那些問題中找到具體體現(xiàn),，但是對Poincare而言,，他相當(dāng)清楚地看出拓?fù)鋵W(xué)將成為一個重要的內(nèi)容。讓我試著列一些領(lǐng)域,，然后大家就能知道我在想什么了,。例如,，考慮一下復(fù)分析（也被稱為“函數(shù)論”）,，這在十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)的中心，也是象Weierstrass這樣偉大人物工作的中心,。對于他們而言,，一個函數(shù)就是一個復(fù)變量的函數(shù)；對于Weierstrass而言,，一個函數(shù)就是一個冪級數(shù),。它們是一些可以用于寫下來，并且可以明確描繪的東西或者是一些公式,。函數(shù)是一些公式:它們是明確可以用顯式寫下來的,。然而接下來Abel、Riemann和其后許多人的工作使我們遠(yuǎn)離了這些,，以至于函數(shù)變得可以不用明確的公式來定義,，而更多地是通過它們的整體性質(zhì)來定義：通過它們的奇異點(diǎn)的分布，通過它們的定義域位置,，通過它們?nèi)≈捣秶?。這些整體性質(zhì)正是一個特定函數(shù)與眾不同的特性。局部展開只是看待它們的一種方式,。一個類似的事情發(fā)生在微分方程中,，最初，解一個微分方程,，人們需要尋找一個明確的局部解,！是一些可以寫下來的東西，隨著事物的發(fā)展,，解不必是一個顯函數(shù),，人們不一定必須用好的公式來描述它們。解的奇異性是真正決定其整體性質(zhì)的東西,。與發(fā)生在復(fù)分析中的一切相比,，這種精神是多么的類似，只不過在細(xì)節(jié)上有些不同罷了,。在微分幾何中,，Gauss和其他人的經(jīng)典工作描述了小片的空間,，小塊的曲率以及用來描述局部幾何的局部方程。只要人們想要了解曲面的整體圖象以及伴隨它們的拓?fù)鋾r,，從這些經(jīng)典結(jié)果到大范圍的轉(zhuǎn)變就是很自然的了,。當(dāng)人們從小范圍到大范圍時，最有意義的性質(zhì)就是拓?fù)涞男再|(zhì),。數(shù)論也有一個類似的發(fā)展,，盡管它并不是很明顯地適用于這一框架。數(shù)論學(xué)家們是這樣來區(qū)分他們稱之為“局部理論”和“整體理論”的：前者是當(dāng)他們討論一個單個的素數(shù),，一次一個素數(shù),，以及有限個素數(shù)時；后者是當(dāng)他們同時討論全部素數(shù)時,。這種素數(shù)和點(diǎn)之間,，局部和整體之間的類似性在數(shù)論發(fā)展過程中起了很重要的作用，并且那些在拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展中產(chǎn)生的思想深深地影響了數(shù)論,。當(dāng)然這種情況也發(fā)生在物理學(xué)中,，經(jīng)典物理涉及局部理論，這時我們寫下可以完全描述小范圍性質(zhì)的微分方程,，接下來我們就必須研究一個物理系統(tǒng)的大范圍性質(zhì),。物理學(xué)涉及的全部內(nèi)容就是當(dāng)我們從小范圍出發(fā)時，我們可以知道在大范圍內(nèi)正在發(fā)生什么,，可以預(yù)計將要發(fā)生什么,，并且沿著這些結(jié)論前進(jìn)。
我的第二個主題有些不同,，我稱之為維數(shù)的增加,。我們再次從經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論開始：經(jīng)典復(fù)變函數(shù)論主要是詳細(xì)討論一個復(fù)變量理論并加以精煉。推廣到兩個或者更多個變量基本上發(fā)生在本世紀(jì),，并且是發(fā)生在有新現(xiàn)象出現(xiàn)的領(lǐng)域內(nèi),。不是所有的現(xiàn)象都與一個變量的情形相同，這里有完全新的特性出現(xiàn),，并且n個變量的理論的研究越來越占有統(tǒng)治地位,，這也是本世紀(jì)主要成就之一。另一方面,，過去的微分幾何學(xué)家主要研究曲線和曲面,，我們現(xiàn)在研究n維流形的幾何，大家仔細(xì)想一想,，就能意識到這是一個重要的轉(zhuǎn)變,。在早期，曲線和曲面是那些人們能真正在空間里看到的東西,。而高維則有一點(diǎn)點(diǎn)虛構(gòu)的成分,，在其中人們可以通過數(shù)學(xué)思維來想象,，但當(dāng)時人們也許沒有認(rèn)真對待它們。認(rèn)真對待它們并且用同樣重視程度來研究它們的這種思想實(shí)際上是二十世紀(jì)的產(chǎn)物,。同樣地,，也沒有明顯的證據(jù)表明我們十九世紀(jì)的先驅(qū)者們思考過函數(shù)個數(shù)的增加，研究不單單一個而是幾個函數(shù),，或者是向量值函數(shù)(vector-valued function),。所以我們看到這里有一個獨(dú)立和非獨(dú)立變量個數(shù)增加的問題。線性代數(shù)總是涉及多個變量,，但它的維數(shù)的增加更具有戲劇性,，它的增加是從有限維到無窮維，從線性空間到有無窮個變量的Hilbert空間,。當(dāng)然這就涉及到了分析,在多個變量的函數(shù)之后,，我們就有函數(shù)的函數(shù),，即泛函,。它們是函數(shù)空間上的函數(shù)。它們本質(zhì)上有無窮多個變量,，這就是我們稱為變分學(xué)的理論,。一個類似的事情發(fā)生在一般（非線性）函數(shù)理論的發(fā)展中。這是一個古老的課題,，但真正取得卓越的成果是在二十世紀(jì),。這就是我談的第二個主題。
第三個主題是從交換到非交換的轉(zhuǎn)變,。這可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué),，特別是代數(shù)學(xué)的最主要的特征之一。代數(shù)的非交換方面已經(jīng)極其重要,，當(dāng)然,，它源自于十九世紀(jì)。它有幾個不同的起源,。Hamilton在四元數(shù)方面的工作可能是最令人驚嘆的,，并且有巨大的影響，實(shí)際上這是受處理物理問題時所采用的思想所啟發(fā),。還有Grassmann在外代數(shù)方面的工作,，這是另一個代數(shù)體系，現(xiàn)在已經(jīng)被融入我們的微分形式理論中,。當(dāng)然,，還有Cayley以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的矩陣方面的工作和Galois在群論方面的工作等。所有這些都是以不同的方式形成了把非交換乘法引入代數(shù)理論的基石,，我形象地把它們說成是二十世紀(jì)代數(shù)機(jī)器賴以生存的“面包和黃油”,。我們現(xiàn)在可以不去思考這些,，但在十九世紀(jì)，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破,，當(dāng)然,，這些思想在不同的領(lǐng)域內(nèi)得到了驚人的發(fā)展。矩陣和非交換乘法在物理中的應(yīng)用產(chǎn)生了量子理論,。Heisenberg對易關(guān)系是非交換代數(shù)在物理中的一個最重要的應(yīng)用例子,，以至后來被von Neumann推廣到他的算子代數(shù)理論中。
我的下一個主題是從線性到非線性的轉(zhuǎn)變,。古典數(shù)學(xué)的大部分或者基本上是線性的,，或者即使不是很精確的線性，也是那種可以通過某些擾動展開來研究的近似線性,，真正的非線性現(xiàn)象的處理是非常困難的,，并且只是在本世紀(jì)，才在很大的范圍內(nèi)對其進(jìn)行了真正的研究,。我們從幾何開始談起：Euclid幾何,，平面的幾何，空間的幾何,，直線的幾何,，所有這一切都是線性的。而從非歐幾何的各個不同階段到Riemann的更一般的幾何,，所討論的基本上是非線性的,，在微分方程中，真正關(guān)于非線性現(xiàn)象的研究已經(jīng)處理了眾多我們通過經(jīng)典方法所看不到的新現(xiàn)象,。在這里我只舉兩個例子,，孤立子和混沌，這是微分方程理論兩個非常不同的方面,，在本世紀(jì)已經(jīng)成為極度重要和非常著名的研究課題了,。它們代表不同的極端。孤立子代表非線性微分方程的無法預(yù)料的有組織的行為,，而混沌代表的是無法預(yù)料的無組織的行為(disorganized behavior),。這兩者出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，都是非常有趣和重要的,，但它們基本土都是非線性現(xiàn)象,。我們同樣可以將關(guān)于孤立子的某些工作的早期歷史追溯到十九世紀(jì)下葉，但那只是很少的一部分,。當(dāng)然,，在物理學(xué)，Maxwell方程（電磁學(xué)的基本方程）是線性偏微分方程。與之對應(yīng)的是著名的Yang-Mills方程,，它們是非線性方程并被假定用來調(diào)控與物質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的力,。這些方程之所以是非線性的，是因為Yang-Mills方程本質(zhì)上是Maxwell方程的矩陣體現(xiàn),，并且由矩陣不可交換這一事實(shí)導(dǎo)致方程中出現(xiàn)非線性項,。于是在這里我們看到了一個非線性性與非交換性之間的有趣的聯(lián)系。非交換性產(chǎn)生一類特殊的非線性性,，這的確是很有意思和很重要的,。來源：人工智能科學(xué)與技術(shù)，本文僅用于學(xué)術(shù)分享,，版權(quán)屬于原作者,。若有侵權(quán)，請聯(lián)系,，微信號: 1306859767,，Eternalhui， 刪除或修改,！ |
