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圓錐曲線專題解析4:構(gòu)造齊次式求解離心率 ?方法導(dǎo)讀 求橢圓或雙曲線的離心率的值一直是高考中的熱點(diǎn),其所考題型涉及知識(shí)點(diǎn)較多,處理的思路和方法一般也比較靈活,因此不少同學(xué)覺得比較困難.其實(shí),有關(guān)圓錐曲線的離心率求解問題并非雜亂無章、毫無規(guī)律,而是有章可循的,本文將就構(gòu)造齊次式求解離心率的方法和技巧加以歸納總結(jié). ?高考真題 【2019·全國Ⅰ卷理·16】已知雙曲線 的左,、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線與 的兩條漸近線分別交于 , 兩點(diǎn).若 , ,則的離心率為________. ?解題策略 要計(jì)算雙曲線的離心率,首先畫出示意圖,得到 的大概位置,然后根據(jù),,推出 是中點(diǎn),且,接下來怎么利用這些條件求解離心率是每個(gè)學(xué)生頭痛的問題.因?yàn)轭}目中沒有具體的值,所以的值應(yīng)該是不具體的,這時(shí)候我們就要想到構(gòu)造的齊次式,利用比例關(guān)系來求解離心率.因?yàn)殡x心率是個(gè)比值,可以不用的具體值,知道他們的比例關(guān)系即可.怎么通過條件得到齊次式,中點(diǎn)和垂直關(guān)系怎么用,這是解決問題的關(guān)鍵.當(dāng)我們無從下手的時(shí)候,咋辦,就大膽的嘗試,設(shè)出或的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系就可以得到另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),然后由點(diǎn)在漸近線上和垂直關(guān)系建立兩個(gè)等式,應(yīng)該就能消去假設(shè)的未知數(shù)得到或其中兩個(gè)的關(guān)系式,然后求解.這其實(shí)也就是構(gòu)造齊次式的思路,利用條件消去假設(shè)的參數(shù)得到的比例關(guān)系或等式,然后就可以得到離心率. ?解題過程 解析:不妨設(shè)點(diǎn),故,,由可得,解得,故,又,故,代入直線可得,解得,故離心率為.
?解題分析 上述解法中根據(jù)點(diǎn)的位置,設(shè)出的坐標(biāo)為,然后通過垂直關(guān)系可得到,從而解得,這樣就消去了假設(shè)的未知數(shù),再根據(jù)是中點(diǎn),得到的坐標(biāo),結(jié)合在另一條漸近線上,代入直線方程得到一個(gè)等式關(guān)系,化簡有,然后就可以解出離心率了.構(gòu)造齊次式一般用在題目中沒給出一些具體的值的條件,不能具體算出的場(chǎng)合,這個(gè)時(shí)候可以利用題目給出的條件化簡得到的比例關(guān)系求解離心率.條件怎么用,這個(gè)要根據(jù)具體的題目具體分析,原則上就是通過條件消去其它的未知數(shù),化簡到最后式子中只含或其中兩個(gè)的齊次式,然后求解即可. ?拓展推廣 1.方程思想:齊次方程,、不等式 (1)若給定橢圓或雙曲線的方程,則根據(jù)方程確定,,進(jìn)而求出,的值,然后利用公式直接求解; (2)若橢圓或雙曲線方程未知,則根據(jù)條件及幾何圖形建立關(guān)于,,的齊次等式(或不等式),然后化為關(guān)于,的齊次方程(或不等式),進(jìn)而得到關(guān)于離心率的方程(或不等式)進(jìn)行求解. 2.離心率相關(guān) 橢圓的離心率為,越大越扁; 雙曲線的離心率為,越大開口越大; 拋物線的離心率為. 3.相關(guān)公式 3.1橢圓中,雙曲線中; 3.2焦半徑公式: 分別為橢圓或雙曲線的左右焦點(diǎn),為曲線上任意一點(diǎn),則 橢圓:,. 雙曲線:,. (雙曲線焦半徑符號(hào)口訣:絕對(duì)值內(nèi)看焦點(diǎn),左加右減,去絕對(duì)值看分支,左負(fù)右正) 4.焦點(diǎn)三角形: 設(shè)分別為橢圓或雙曲線的左右焦點(diǎn),為曲線上任意一點(diǎn),,,,則. 雙曲線中的結(jié)論為: . 變式訓(xùn)練1 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn),是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(,均不在軸上),若直線與的交點(diǎn)平分線段,求的離心率.
變式訓(xùn)練2 已知,分別為橢圓的左,、右焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,,求該橢圓的離心率. 變式訓(xùn)練3 設(shè)雙曲線的半焦距為,直線過,兩點(diǎn),已知原點(diǎn)到直線的距離為,求雙曲線的離心率. 變式訓(xùn)練4 已知橢圓方程為,為橢圓的左頂點(diǎn),是右焦點(diǎn),是短軸的一個(gè)頂點(diǎn),,求橢圓的離心率.
變式訓(xùn)練5 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作與軸垂直的直線交兩漸近線于,兩點(diǎn),且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,求該雙曲線的離心率. 答案 變式訓(xùn)練1 見解析 設(shè)的中點(diǎn)為, 依題意得點(diǎn), 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得, ∵點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∴, ∵,其中. 由,,三點(diǎn)共線得, ∴, 化簡得, ∴橢圓的離心率為. 變式訓(xùn)練2 見解析 ∵ 位于,即, 又, 所以, 又,且, ∴, ∴, ∴, ∴,即.
變式訓(xùn)練3 見解析 由已知,設(shè)直線的方程為, 整理得, 由點(diǎn)到直線的距離公式,得, 又, ∴, 兩邊平方, 得, 兩邊同時(shí)除以, 整理得, 即, 解得或, 又, ∴, ∴, ∴, 故雙曲線的離心率為.
變式訓(xùn)練4 見解析 由題意知,,,, ∵, ∴, 即, 整理得, 兩邊同時(shí)除以, 得, 解得,(舍去), ∴橢圓的離心率為. 變式訓(xùn)練5 見解析 ∵雙曲線的漸近線為,焦點(diǎn), ∴,,, ∵, ∴, ∴,, 解得,, 又由, 得, 解得, ∴,即雙曲線的離心率為. 
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