切線不等式,，對于很多同學來說，一定是很熟悉的吧,？但是,，對于你來說，是不是也象大多數同學一樣,，只是記住了幾個簡單的結論而已,？其實說真的，是不是在解題時,，壓根就沒想到過切線不等式呢,？
或者說，根本就是不知道,，這個切線不等式,，到底是用來干什么的吧！如果真的是這樣,，歸根結底的原因,，當然是對其理論知識的理解還有欠缺了。其實，還是很容易從圖像的形狀上區(qū)分凸凹的,，畢竟這個凸凹,，與我們生活中的經驗一樣的形象。那么,，數學里,，我們又怎么表達函數的這種凹凸性呢,？最簡單、也是考題中最常出現的,，是下面的這種形式：其實,，這樣的表述，并不難理解,，從圖像上就可以很容易地看出來的,，應當是正確的。嗯,，因為兩個點的任意性,，是不是就給人一種上凸或下凹的感覺了！其實仔細回憶,，這組結論,，真的是在考題中經常出現的。
當然,，我們還可以從切線的角度,，去理解下函數的這種凹凸性。如果過曲線上某一動點做切線,，當動點從左向右移動的過程中,，切線斜率的變化是有規(guī)律的，而且因為凹凸性的不同,，其規(guī)律也有所不同,。從導數的幾何意義我們還知道,，切線的斜率是切點處的導數值,。因此，這種變化規(guī)律,，還可以從導函數單調性的角度來刻畫,。那么以后,，我們就可以用導函數的導函數，也就是函數的二階導數,，來表達函數的凹凸性了,。而且你一定要知道的是,，二階導數，好像已經成為高考的常規(guī)要求了,。
其實，在不等式的證明中,，有一種最常見的方法,，那就是放縮法。這種方法雖常見，但對于許多同學來說,，不是走投無路的時候,，是絕不會主動招惹它的。嗯,，確實是因為,，放縮的目標，實在是難以控制,。我們最喜歡通性通法的東西，無定法,，注定只屬于學霸專屬,。但是，如果仔細研究下切線與曲線的位置關系,，最算如我一樣的非學霸,，也還是可以找到丁點感覺的。其實我認為，上面這個,，才是切線不等式真正的內涵,。那么，根據不等式的傳遞性,，我們就可以很輕松地得到：那么問題就來了,，這樣的邏輯關系,，又能說明什么呢？能不能在解題中讓它得以體現,？
我們可以提煉出證明不等式的一種最常規(guī)的思路：上面的結論告訴我們，如果不等式兩邊函數的凹凸性相反,，這個中間量完全可以就是公切線了,！
只是這里放縮的結果,，我們指定,，找的就是公切線了。這樣的思路,，是不是也算一種,，在凹凸性相反的條件下，證明函數不等式的通性通法呢,！
下面,，當然要寫幾道題，來刻意體驗下這種切線不等式,，在函數不等式證明中的應用了,。
確實，解過程寫完后,，用畫板做了個圖發(fā)現,，這兩個函數還真的是有公切線的。
一般而言,，出現指,、對數混合的式子，首先要考慮的應當是如何將指,、對數統一化,。其實,，從證明的結果來看,，是不是也是利用了切線不等式呢？當然,，這是在統一化的過程中,，偶然發(fā)現的結果。
考慮到不等式左右兩邊所對應的函數為左凸右凹，故可考慮利用公切線進行放縮,。證明的過程雖然長了點,，但好在分析的思路還是比較清晰的。只是,，對于不太清楚這種思路的同學來說,，這個證明的一開始，可能就已經讓他一臉懵逼,，而生無可戀了,。
其實，這個不等式雖然是指,、對數混合不等式，但好在對數的系數是不含變量的,。完全符合指數找朋友,、對數單身狗的特征，當然是可以考慮直接構造函數,，而轉化為最值問題的,。嗯,，顯然，雖然沒有思路一統一化構造的思路巧妙,，但依然是比思路二直接尋找切線放縮更簡潔的,。要一如既往地相信,，對于不等式恒成立問題，有參數的,，還是要首選參變分離,，無參數的，也應當首選做差（做商）構造函數,，而直接轉化為最值問題,。
不等式恒成立求參數的范圍問題，這里利用公切線處理,，是不是也覺得思路還是很清晰,？當然，因為式中對數是單身狗,，也可以考慮分離參數后,，轉化為最值問題。切線,，是數學里比較熱點的問題，除了切線方程的求法,，對切線不等式的理解,，也是時候提上日程了。
畢竟,，函數不等式的證明,，是函數與導數中最常規(guī)的模型。
當然,，最后還是要做一下友情提醒：
切線不等式的使用,，主要是針對于凹凸性不同的兩種函數做大小比較。而對于凹凸性相同的函數,，則肯定是不適合用切線不等式處理的,。 因此，拿到題目,，先快速求地階導數就顯得尤為重要了,。
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