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01.全局：從局部隨機(jī)性到整體確定性 把局部的隨機(jī)性轉(zhuǎn)變?yōu)檎w的確定性,，是概率論解決問題的本質(zhì) 概率論不是用來預(yù)測未來,，也不是對一次偶然的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，它是更高層次的,、確定性的認(rèn)知 概率論的大廈像什么,？我更愿意說：概率論不是一棟建筑，而是一個城市,。我可以不知道城市里每一棟建筑的樣子,，但我確定地知道這個城市的建筑模式。
02.隨機(jī)：隨機(jī)性不等于不確定性 隨機(jī)性不等于不確定性,。概率論研究的是隨機(jī)性,，而不是不確定性。隨機(jī)性是這個事件可能出現(xiàn)的結(jié)果我都知道,，只是不知道下一次會出現(xiàn)哪個結(jié)果,，而不確定性，是我連可能出現(xiàn)結(jié)果的選項(xiàng)都不知道 隨機(jī)分真?zhèn)?，絕對意義上的真隨機(jī)存在于量子層面,，現(xiàn)實(shí)中很難遇到；偽隨機(jī)只是披著隨機(jī)的外衣,，它本身是有規(guī)律的,；而我們現(xiàn)實(shí)中遇到的大部分現(xiàn)象，都是效果隨機(jī)（感覺到它的效果是隨機(jī)的）,，這也是概率論這門學(xué)科研究的重點(diǎn),。 隨機(jī)是這個世界的決定性力量，了解隨機(jī),，你才會懂得隨機(jī)的力量,，才會更好地利用隨機(jī)做出正確決策（如轉(zhuǎn)基因農(nóng)作物）
03.概率：對世界可能性的度量 任何你關(guān)心的事情，只要設(shè)定一個條件,，從可能性的角度出發(fā),，對某一個發(fā)生結(jié)果進(jìn)行陳述，就可以轉(zhuǎn)化成隨機(jī)事件，然后度量概率,。 概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的定量描述 概率是隨機(jī)事件在樣本空間的比率:隨機(jī)事件就是樣本空間的一個子集；反過來也成立,，樣本空間里的每一個子集,，也都是一個隨機(jī)事件?！半S機(jī)事件”和“樣本空間”就是子集和全集的關(guān)系,。而子集和全集的比率，也就是隨機(jī)事件占樣本空間的比率,，就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率 樣本空間的完備性是一個幽靈,。從某種角度來說，我們對世界的認(rèn)識,，就是對樣本空間完備性的認(rèn)識,。如果樣本空間不完備，我們計(jì)算的概率就會有偏差,，決策就會出錯,。
04.獨(dú)立性：隨機(jī)事件的相互關(guān)系 如果一個隨機(jī)事件發(fā)生的結(jié)果，不會影響另一個隨機(jī)事件的概率,，那它們就是互相獨(dú)立的事件,，反之就是非獨(dú)立事件 只有明白了隨機(jī)事件之間的關(guān)系，判斷它們是否具有獨(dú)立性,，才能正確分析和度量它的概率 很多看似獨(dú)立的事件,，其實(shí)都是互有聯(lián)系、互相影響的,。評估隨機(jī)事件的概率時,，對獨(dú)立事件的設(shè)定需要格外謹(jǐn)慎。
05.概率計(jì)算：定義問題比計(jì)算更重要 概率計(jì)算的三個法則: “排列組合法則”:排列組合法則適用于結(jié)果有限,，而且每種結(jié)果都是等可能性的情況——這個隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)除以所有可能的結(jié)果的個數(shù) “加法法則”:針對多個隨機(jī)事件,，這些隨機(jī)事件發(fā)生的概率加和 “乘法法則”:針對多個隨機(jī)事件同時發(fā)生的概率
大部分人不會做概率題，不是因?yàn)椴粫?jì)算,，而是因?yàn)闆]有看明白題目,。概率計(jì)算之所以復(fù)雜，是因?yàn)楹茈y將現(xiàn)實(shí)問題準(zhǔn)確的抽象成“對”的概率問題,。準(zhǔn)確的翻譯現(xiàn)實(shí)問題,，就是概率思維的核心，也是概率計(jì)算最復(fù)雜的地方 06.概率度量：建立整體確定性的三種方式 定義法：是一種等概率的設(shè)定,，來源于自然界對稱性的假設(shè),，是一種宏觀尺度下的合理簡化【拋硬幣正面朝上和反面朝上的概率相等，都是50%,；一個標(biāo)準(zhǔn)的子,，拋出每個點(diǎn)數(shù)的概率也相等,，都是 1/6。這些概率,，都是我們直接定義的,。】 頻率法：是通過隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估算概率,，要求試驗(yàn)或數(shù)據(jù)盡可能的多 迭代法：強(qiáng)調(diào)不斷迭代,，可以在小規(guī)模數(shù)據(jù)下，針對事件的變化和個體的差異度量概率,。先利用手頭少量的數(shù)據(jù)做推測,，甚至是主觀猜測一件事兒的概率，然后再通過收集來的新數(shù)據(jù),，不斷調(diào)整對這件事概率的估算,。最常用的方法就叫作“貝葉斯”
三種方法并不是涇渭分明，而是常常融合使用,，一起更清晰和全面地認(rèn)識這個世界,。頻率法可以驗(yàn)證定義法的正確性；迭代法也可以用定義法或者頻率法來獲得最初的判斷,；頻率法和迭代法,，又可以同時使用，相互驗(yàn)證,。打個比方來說,，這三種方法，就好比工具箱里的三把尺子,，共同對概率進(jìn)行度量,。這也是概率論和很多學(xué)科不一樣的地方。 07.頻率法：概率是對發(fā)生頻率的計(jì)算 頻率法認(rèn)為,，概率就是對發(fā)生頻率的計(jì)算,，只要試驗(yàn)數(shù)量或者觀測數(shù)據(jù)足夠多，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就會接近它的概率,。比如歷史上的拋硬幣試驗(yàn) 
大數(shù)定律不是基于試驗(yàn)的歸納,，而是經(jīng)過了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，證明了用頻率度量概率是合理的,。 現(xiàn)實(shí)中使用頻率法,，往往無法獲得無限多的數(shù)據(jù)，所以需要增加一些限制條件（精度誤差和置信度）,，來降低需要是數(shù)據(jù)量,，比如常用的是95%的置信度和2%的精度誤差。 08.大數(shù)定律：局部頻率不是整體概率 大數(shù)定律被稱為“黃金定理”，它讓我們真正能用整體的確定性來對抗局部的隨機(jī)性 但現(xiàn)實(shí)中遇到的問題都是局部頻率,，局部頻率不是整體概率,，和真實(shí)的整體概率之間會存在差值 這個差值不需要通過補(bǔ)償對局部產(chǎn)生作用（也就是說拋硬幣連續(xù)拋出10次正面下一次是反面的概率還是50%），大數(shù)定律不需要靠補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn),，而是通過均值回歸,，用大量的正常數(shù)據(jù)淡化，削弱不正常數(shù)據(jù)的影響 【可以這樣理解,，整體概率就像大海，現(xiàn)實(shí)的情況就像一勺糖,，放在水杯中你會覺得很甜,，但倒進(jìn)大海里，對大海的味道影響幾乎沒有,，真實(shí)的情況和能跟整體的概率相差很遠(yuǎn),，但概率還是沒有變化，而且真實(shí)情況也不會一直跟這個概率偏離,，會有回歸均值的趨勢,，可是我們永遠(yuǎn)沒法知道是在什么時候回歸，但如果一直不回歸,，我們也有理由認(rèn)為這個真實(shí)情況里面可能有貓膩,，比如硬幣一邊是否更重了】 09.數(shù)學(xué)期望：對隨機(jī)事件長期價值的衡量 數(shù)學(xué)期望是對隨機(jī)事件長期價值的數(shù)字化衡量，是判斷一件事情值不值得做的整體定量化指標(biāo) 計(jì)算數(shù)學(xué)期望要把所有的隨機(jī)結(jié)果數(shù)值化,，只有賦予每個結(jié)果一個具體的值,，才能進(jìn)行數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 對于同一個結(jié)果，個體的數(shù)學(xué)期望也可能是不一樣的,，具體計(jì)算結(jié)果需要加入自己對價值的主觀考量（比如人的生命） 10.方差：圍繞數(shù)學(xué)期望波動程度的度量 判斷兩個隨機(jī)事件是否相似,，除了比較數(shù)學(xué)期望之外，還需要比較方差,，兩者共同構(gòu)成了對隨機(jī)事件最基本的描述 方差是描述隨機(jī)結(jié)果圍繞期望波動范圍的指標(biāo),，方差越大，波動越大,，也意味著風(fēng)險(xiǎn)越大 現(xiàn)實(shí)生活中,，我們可以通過減少方差對抗波動性【增大本金增大數(shù)據(jù)量】，也可以通過增大方差利用波動性【彩票頭獎的巨額獎金吸引】
11.概率分布：認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型 隨機(jī)變量所有的結(jié)果和每個結(jié)果出現(xiàn)的概率一一對應(yīng),，就構(gòu)成了概率分布,，概率分布讓我們擁有上帝之眼，獲得對一個隨機(jī)事件的整體認(rèn)知 概率分布模型是我們對現(xiàn)實(shí)規(guī)律的抽象,，正態(tài)分布,，冪律分布都是這樣的模型，分別代表一種概率分布的規(guī)律 如果概率分布是一個解決問題的工具箱，概率分布模型就是工具箱里的一個個工具,，數(shù)學(xué)家不斷豐富工具箱的工具幫助我們逼近真理
【就像《模型思維》里的思想】 12.正態(tài)分布：最簡單卻最重要的概率分布 均值就是期望,，所以正態(tài)分布的平均值才有意義 數(shù)據(jù)集中在均值附近，極端值很少,，且對均值影響很小 標(biāo)準(zhǔn)差決定胖瘦,，從曲線的彎曲程度能看出隨機(jī)變量的波動
【就像運(yùn)動比賽的正態(tài)分布，專業(yè)選手的標(biāo)準(zhǔn)差很小,，均值很大,；業(yè)務(wù)選手標(biāo)準(zhǔn)差很大，均值小一點(diǎn)】 
13.中心極限定理：正態(tài)分布是概率分布的神 合法性：中心極限定理通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo),，證明了正態(tài)分布的正確性【中心極限定理就像青藏高原,，正態(tài)分布就是喜馬拉雅山】 正統(tǒng)性：在所有的分布中，正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)家的首選,，它建立了一套穩(wěn)定的秩序,，像參照系一樣對所有事情施加影響 主宰性：正態(tài)分布不僅在現(xiàn)實(shí)世界普遍存在，所有的分布不斷疊加最后也都會變成正態(tài)分布,，換句話說,，正態(tài)分布是世界的宿命【所有的分布，不是正態(tài)分布,，就是在變成正態(tài)分布的路上】
14.冪律分布：給人帶來希望的魔鬼 冪律分布唯一的數(shù)學(xué)性質(zhì)就是三個字——無標(biāo)度,。任何尺度下截取任何一部分?jǐn)?shù)據(jù)，都仍然呈現(xiàn)冪律分布的特征【就像風(fēng)險(xiǎn)投資一樣,，前10%幾筆投資的收益占據(jù)90%,，而前10%的前10%，又占據(jù)90%】 之所以說冪律分布是魔鬼,，是因?yàn)樗腥齻€特征：極不穩(wěn)定,，平均值失去意義【如平均工資】；長尾明顯,，各種極端事件經(jīng)常發(fā)生【黑天鵝】,；無法預(yù)測，讓人完全束手無策 冪律分布是熵減的必經(jīng)狀態(tài),，是我們對抗熵增,，對抗死寂，對抗死亡的希望之光,。【比如在水變成冰,，也就是從無序到有序的臨界狀態(tài)上，所有指標(biāo)都呈現(xiàn)出冪律分布的現(xiàn)象】
15.泊松分布：打開統(tǒng)計(jì)推斷的大門 泊松分布是用來描述隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)和概率的一種分布【如50年一遇大雨】
泊松分布的參數(shù)λ是單位時間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù),。泊松分布適合于描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)： 具有兩個重要的特征： 基礎(chǔ)是正態(tài)分布【不斷計(jì)算50年一遇大雨和大暴雨不同發(fā)生次數(shù),，曲線越來越接近正態(tài)分布】 隨機(jī)事件的間隔是無記憶的【前面事件發(fā)生對后面事件的結(jié)果沒影響】
泊松分布和正態(tài)分布互相驗(yàn)證的關(guān)系,，不僅能幫助我們在數(shù)據(jù)有限的時間進(jìn)行精確計(jì)算，更打開了推斷統(tǒng)計(jì)的大門,，推動了統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展,。泊松分布之前，概率和統(tǒng)計(jì)是兩個不同的學(xué)科,，概率研究未發(fā)生的隨機(jī)事件,，統(tǒng)計(jì)描述已發(fā)生的現(xiàn)實(shí)。【對于它的其他應(yīng)用還是不是很理解??？】 16.假設(shè)檢驗(yàn)（上）：基于概率反證法的統(tǒng)計(jì)推斷 假設(shè)檢驗(yàn)是一種基于概率的反證法。如果能證明一個假說發(fā)生的概率特別小,，那就推翻這個假說，接受和它相反的那個假說,。這就是假設(shè)檢驗(yàn)的基本邏輯 概率分布是假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ),，是進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時必須要用到的工具。關(guān)于顯著性,，一般學(xué)界是有標(biāo)準(zhǔn)的,，用得最多的就是 5%。只要 P 值小于 5%,，就推翻 H0（零假設(shè)）,，相信 H1（備擇假設(shè)）；如果P 值大于 5%,，就沒辦法推翻 H0,。當(dāng)然，也有一些領(lǐng)域覺得 5%這個標(biāo)準(zhǔn)太寬泛了,，就設(shè)置成了 1%,。甚至像物理學(xué)在發(fā)現(xiàn)粒子等問題上，執(zhí)行的這個標(biāo)準(zhǔn)是百萬分之一,，要嚴(yán)格得多,。總之,，顯著性水平要依領(lǐng)域而定,，每個領(lǐng)域都有自己的共同體標(biāo) 假設(shè)檢驗(yàn)讓我們能依靠有限的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)很多靠譜的結(jié)論，所以一誕生就席卷各個領(lǐng)域,，成為很多學(xué)科研究的底層方法之一
17.假設(shè)檢驗(yàn)（下）：
假設(shè)檢驗(yàn)要從個別推導(dǎo)全部,，就一定會忽視極端的小概率情況,，這是他從娘胎里就帶的基因，沒法改變【如連續(xù)中彩票】 由于P值的大小直接由樣品決定,，所以假設(shè)檢驗(yàn)很容易產(chǎn)生系統(tǒng)性偏差,，讓人們愿意相信一些錯誤的結(jié)論【如發(fā)郵件預(yù)言股票漲停騙局，不同人收到的郵件的預(yù)言準(zhǔn)確性不一樣】 使用假設(shè)檢驗(yàn)時,，還要注意顯著性水平的設(shè)置要和問題聯(lián)動（不同領(lǐng)域的顯著性水平標(biāo)準(zhǔn)不同,，在該嚴(yán)格的領(lǐng)域就要提高標(biāo)準(zhǔn)），以及根據(jù)問題選擇正確的分布（正態(tài)分布或冪律分布）
18.條件概率：貝葉斯公式的基礎(chǔ) 如果一個隨機(jī)事件的概率會因?yàn)槟硞€條件的發(fā)生而改變,，那么在這個條件發(fā)生的情況下,，隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是條件概率 很多條件概率是很隱蔽的。現(xiàn)實(shí)中,，所有的概率本質(zhì)上都是條件概率 條件概率量化了條件對隨時事件的影響,，但它只表示統(tǒng)計(jì)意義上的相關(guān)性，并不代表因果關(guān)系,。
P(A│B) = P(AB)/P(B) 19.貝葉斯推理：概率是對信心的度量
貝葉斯推理：根據(jù)新信息不斷調(diào)整對一個隨機(jī)事件發(fā)生概率的判斷【就像偵探破案的過程】 貝葉斯推理拓寬了概率這個概念的邊界,，在貝葉斯推理中概率是對信心的度量，是我們對某個結(jié)果相信程度的定量化表達(dá)【正如一場球賽,，隨著比賽的進(jìn)行,，勝負(fù)結(jié)果慢慢明朗起來】 貝葉斯推理有兩大優(yōu)勢：1）起點(diǎn)不重要，迭代很重要,，最后一定無窮逼近真理,；2）信息越充分，結(jié)果越可靠
20.貝葉斯計(jì)算：定量解決逆概率問題
逆概率問題,，比如酒駕,，知道出事故中酒駕的占比，要求你如果酒駕會出事故的概率,。
P(A│B) =P(B│A)×P(A)/P(B) 貝葉斯公式：現(xiàn)象B出現(xiàn)的情況下事件A發(fā)生的概率,，等于事件A發(fā)生時現(xiàn)象B出現(xiàn)的概率，乘以事件A發(fā)生的概率,，再除以現(xiàn)象B出現(xiàn)的概率（是條件概率的變型）——
P(A)是先驗(yàn)概率,，可以任意設(shè)置，如交通事故的概率 P(B│A)和P(B)是調(diào)整因子,，是客觀的,，必須查詢真實(shí)的數(shù)據(jù)，如果找不到數(shù)據(jù),，就不能使用貝葉斯公式,，否則很容易越算越錯
貝葉斯計(jì)算難度不在計(jì)算本身，而是尋找調(diào)整因子的客觀數(shù)據(jù)
21.主觀與客觀：不同的概率學(xué)派在爭什么
貝葉斯公式中的先驗(yàn)概率可以隨意設(shè)置,，看起來比較主觀,，不像頻率法那么客觀,，其實(shí)兩者都完全正確完全有效。 只不過是對信息是否全知的預(yù)設(shè)不同,，他們解決的不是同一類問題,。頻率法必須有明確的嚴(yán)格的前提約束，假設(shè)信息都是全知的,，貝葉斯是動態(tài)反復(fù)的過程,，每出現(xiàn)一個新信息都要重新進(jìn)行計(jì)算，獲得一個新的概率,。兩種方法本身都是客觀的,，只不過是使用過程中都活或多或少產(chǎn)生主觀性
應(yīng)用數(shù)學(xué)現(xiàn)在不太討論兩者的主客觀問題，而是哪個好用用哪個,，利用兩個方法更好地解決現(xiàn)實(shí)問題
22.原則：怎么提高自己的概率思維
三個黃金法則：
對抗直覺,，能算就算：人腦天生是一個貝葉斯大腦，直覺就是我們最快捷的概率計(jì)算器,，我們要做的是遏制直覺的沖動,，去尋找數(shù)據(jù)，證據(jù),，用概率公式計(jì)算
尋求條件,，增大概率：如創(chuàng)業(yè)的成功率雖然低，但如果你擁有關(guān)鍵技術(shù)等條件,，就能增大成功的概率
相信系統(tǒng)，長期主義：所謂的堅(jiān)持和努力,，就是尋找一個大概率的方向,，然后相信系統(tǒng)相信長期主義，得到長期的到來
參考閱讀： 
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