教學背景

數(shù)學不僅是思維的體操，更是思想的載體,。當我們真正關注數(shù)學思想的教學時,，課堂才能更準確把握數(shù)學的本質和其獨特的文化品質，真正促使小學數(shù)學教學走向本真和深刻,。

那么,，在小學階段我們應如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思想？對這個年齡段的學生而言,，數(shù)學思想的教學應通過具體問題適度滲透,，在“做”中學，玩中“悟”,。本節(jié)課是人教版義務教育課程標準實驗教科書“圓的面積”的內容,，我進行了一些新的嘗試。

教學實錄

片段一：

屏幕出示

根據(jù)學生的發(fā)言板書：

反思：復習推導過程,，特別是找出推導過程的共同特點,，是為了在學生的腦海中突出強調轉化思想，為后面的研究埋下伏筆,。

片段二：

屏幕出示：一條線段繞端點O旋轉一周掃出一個圓面,。

師：這個圓的面積是指什么,？

生：這個圓面的大小。

師：想一想圓的面積大小由什么決定,？

生：半徑,。

師：圓的面積與半徑之間到底是一個什么樣的關系？

生1：我認為圓的面積在2r2和4r2之間,。因為昨天您給我們布置了一道思考題,。（屏幕出示）

生1：大正方形面積是4r2，小正方形面積是2r2,，圓的面積應在兩個正方形之間,。

（教師板書：4r2>S圓>2r2）

反思：先估計圓的面積取值范圍，完成公式推導后,，再回過頭與前面的預測相互印證,，體現(xiàn)了科學研究的一般過程。

片段三：

師：我們已經確定圓的面積應該在4r2和2r2之間,，但到底是多少呢,？大家想不想知道？

生：想,。

師：要研究一個新圖形的面積,，怎么入手呢？

生：把圓轉化成已經學過的圖形,。

反思：其實學生并沒有想好應該把圓轉化成什么圖形,，他們只是根據(jù)以往的經驗判斷研究的切入點，這說明“化歸思想”已經在學生的腦海里留下了較深的印象,。

師：主意不錯,。能夠借鑒以前的研究方法，化未知為已知,，這個思路很棒,。

師：轉化成什么圖形呢？各小組可以先想一想,、試一試,。

（學生拿出圓片，有的畫,，有的剪,，但不得要領）

師：你們覺得轉化過程中最大的難題是什么？

生1：圓的邊不是直的,，而是彎曲的,，我們前面學過的圖形邊都是直的。

生2：我們也是怎么剪,、怎么拼都有曲線,。

師：也就是說咱們現(xiàn)在面臨的最大問題是如何“化曲為直”,，是嗎,？

師：雖然剛才我們沒有成功地把圓轉化成一個學過的圖形,，但我看到許多小組都已經在圓里面切出了直直的邊。說不定在大家的基礎上再往前多走一步,，就有可能會有所突破,，我們一起再來試試。哪個小組先來說說,，你們剛才是怎么做的,？

生3：方法一是沿直徑剪。

生4：方法二是沿內切正方形的四條邊剪,。

師：兩種方法都不錯,，我們先按照“沿直徑剪”這個辦法試試看。

（教師出示圓片,，沿直徑切開）

師：現(xiàn)在圓變成了什么,？

生5：變成了兩個半圓。

師：拼起來呢,？

生5：還是一個圓,。

師：這種切了與沒切拼起來沒有變化，原因是什么,？

生6：切的份數(shù)太少了,。

師：咱們把它4等分看看，大家在小組里切一切,、拼一拼,。

師：從兩等分到4等分，拼成的圖形發(fā)生了什么變化,？

生7：兩等分拼成的還是一個圓,，4等分后拼成的圖形變扁了。

師：是的,，扁了很多,。還有什么變化？

生8：4等分的那個曲線平一些了,。

生9：我覺得從兩等分到4等分,，拼成的形狀變化很大，4等分的那個感覺有點接近平行四邊形,。

生10：我也覺得那個有點像平行四邊形,，而且要是8等分的話，應該更像,。

反思：了解學生也是實現(xiàn)高效教學的重要條件,。一個問題拋出,，如果一開始就請思維最強的學生回答，無疑會剝奪其他學生獨立思考和表達的機會,，使之產生看客心理和依賴思想,。因此在大班教學的情況下，我們應特別注意根據(jù)學生的能力水平,，有計劃地邀請學生發(fā)言,。

師：大家想想，他們說的有沒有道理,？咱們接下來怎么做,？

生11：8等分！

師：好,！各小組開始活動,。

反思：小組活動中，學生在將圓片分成8等分進行拼組后,，興奮地找到了方向,，然后好幾個小組迫不及待地將圓進行了16等分，發(fā)現(xiàn)曲邊更平了,，拼出了一個近似的平行四邊形,，進一步驗證了自己的猜想。

師：哪個小組來介紹一下你們的發(fā)現(xiàn),？

生12：我們把圓進行了8等分,，然后又16等分，我們發(fā)現(xiàn)邊越來越直,，拼成的圖形越來越接近平行四邊形,，而且我們分析，等分的份數(shù)越多,，拼成的圖形還會更接近平行四邊形,。

師：這個發(fā)現(xiàn)很關鍵，哪個小組愿意用自己的話再來說一說,。

生13：我覺得分的份數(shù)越多,，每一份就會越小，每一份的弧線就越短,。如果每個點分一份的話,，那就沒有弧線了，拼起來就變成了平行四邊形,。

師：實際上,，我們不可能做到每個點分一份，但是我們可以根據(jù)圖形變化的規(guī)律和趨勢去推理——當分的份數(shù)越來越多,，每一份越來越小的時候,，拼成的圖形就會越來越接近于平行四邊形,，到達極限的時候就轉化成了平行四邊形。這是咱們數(shù)學中一個特別重要的思想——極限思想,。許多中學生,、大學生在學習數(shù)學時都會經常用到這個思想，今天還是我第一次遇到小學生能把極限思想表達得那么清楚的,，你太棒了,！簡直就是一個小數(shù)學家,！

反思：極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想,，它使人們能夠從有限中認識無限，從近似中認識精確,，從量變中認識質變成為可能,。也是今后學生繼續(xù)學習數(shù)學必不可少的一種重要思想方法。圓面積公式的推理過程實際上就是建立在直觀基礎上的一種原始極限思想的應用,。

生14：老師,，我認為他說的不準確，應該是轉化成了長方形,。

師：為什么呢,？

生14：因為分的份數(shù)越多，除了邊越來越直以外,，兩條邊的夾角也越來越接近直角,。

反思：“夾角”的表述不夠嚴謹，因為角的兩條邊應該是射線,。

片段四：

師：剛剛我們通過切拼的方法順利解決了“化曲為直”這個難題,，成功把圓轉化成了長方形，很棒,！可是,，到目前為止本節(jié)課的研究目標還沒有完成。接下來我們應該做什么,？

生：推理圓的面積計算方法,。

師：借助誰推理？

生：長方形的面積=長×寬,。

師：請每位同學根據(jù)屏幕上的思考題,，先獨立思考，推理圓的面積計算方法,，然后再以小組為單位互相說一說推理的過程,。

屏幕出示：

片段五：

師：這節(jié)課我們沿著直徑剪拼，找到了圓的面積計算方法,。其實剛才我們還提出了另一種剪法,，大家還記得嗎,？

生：還剩下一些邊角廢料，沒辦法,。

師：那么,，如果我們沿著正六邊形去剪呢？（屏幕顯示）

生1：廢料少些了,。

師：再如果……（隨著學生的發(fā)言課件顯示）

生2：如果沿正八邊形剪開,，廢料會更少。

生3：邊越多,，廢料越少,，到最后就沒有邊角廢料了。

師：很好,，極限思想學得不錯,。這種辦法實際上也可以研究出圓的面積計算方法，這也正是我國古代數(shù)學家劉徽的解法,，有興趣的同學可以繼續(xù)了解,。

教學反思

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾主張，“學一個活動的最好方法是做”,。同時,，“做”的過程也是“意義賦予”的過程。在上述教學過程中,，教師留出相當多的時間讓學生動手操作——“自主嘗試”“兩等分”“4等分”“8等分”“16等分”,，讓學生在“做”中實踐“割補轉化思想”，在不斷切拼中體悟“極限思想”,。這比由教師來介紹前人的轉化方法,，繼而根據(jù)教師的提示去想象“切的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形”要來得更有效,。學生通過自己親手操作,，把“圓”轉化為自己熟悉的圖形，并主動用已有的知識對新知識進行推理,。這樣的處理也與建構主義學習理論是一致的,，這種理論明確了學習活動的創(chuàng)造性。

數(shù)學可以分為“好”的數(shù)學與“不好”的數(shù)學,?！昂谩钡臄?shù)學指的是能發(fā)展、能越來越深入,、能被廣泛應用和互相聯(lián)系的數(shù)學,；“不好”的數(shù)學是一些比較孤立的內容。本課中所滲透的割補思想、化歸思想,、極限思想,、對應思想都屬于“好”的數(shù)學，它們打通了不同圖形之間的聯(lián)系,，更為學生今后的學習和生活奠定了基礎,。

我們承認“小學生學的數(shù)學很簡單。但盡管簡單,，里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學思想,。這些思想是可以早期滲透的，可以引而不發(fā),，但學下去三年五年,，學生就能體會到數(shù)學思想的力量”。因此,，作為小學教師,，我們應該認識數(shù)學思想方法的教學不只是中學、大學教師的事,，在小學完全可以適時適度地滲透，循序漸進,、由淺入深,。

（作者單位系湖北省荊州市沙市區(qū)北京路第二小學）

《中國教師報》2021年02月03日第5版

作者：周 敏