撰文 七君

大家對瓷磚應(yīng)該很熟悉,，瓷磚多是三角形、四邊形和六邊形,，很少有其他形狀的,。那么，能夠鋪滿任意平面的瓷磚是不是只有這些形狀呢,？

伊朗伊瑪目清真寺中的幾何密鋪,。圖片來源：Hosein Aghaei

這個問題自古希臘時代就吸引著數(shù)學(xué)家們。在數(shù)學(xué)中也有專門研究能夠鋪滿整個平面而不留空隙的地磚圖形的分支——密鋪（tessellation）,。被尊為偉大的數(shù)學(xué)家的大衛(wèi)·希爾伯特 (David Hilbert)曾在1900年將密鋪問題列為他的23個問題之一,。

當(dāng)然，除了貼瓷磚,，密鋪在日常生活中也有很重要的應(yīng)用,。比如，顯卡大都是利用三角形的密鋪性質(zhì)實現(xiàn)渲染的。渲染的速度和效果嚴重影響了用戶體驗,，愛打電腦游戲的人應(yīng)該有一手的感悟,。

在制造業(yè)，為了減少原材料的浪費（如切割車門所用的金屬）,，在制作模型時也要盡可能使用密鋪圖形,。

許多人不知道的是，一位只有高中學(xué)歷的家庭婦女,，卻在天命之年為這個數(shù)學(xué)分支做出了重要的貢獻，美國數(shù)學(xué)學(xué)會（MAA）甚至用她發(fā)現(xiàn)的密鋪圖形鋪地磚,。一起來看看這位傳奇的女士的故事吧,。

Marjorie Rice  圖片來源：Sharon Whittaker

1923年，Marjorie Rice 出生在美國佛羅里達州的一個普通農(nóng)戶家庭里,。在上中學(xué)時,，她跳了兩級。后來在高中時期,，她選了文秘方向,，只修了一門數(shù)學(xué)課，因為在當(dāng)時,，女孩子只能選一門數(shù)學(xué)課,。

而由于時代對女性的限制以及家庭的貧困，她沒有上大學(xué),。高中畢業(yè)后不久,，她嫁人生子，成了一名家庭主婦,。

時間推進到1975年,。那時，已經(jīng)52歲的 Rice 的5個孩子中的大部分已經(jīng)成年,， Rice 有了更多閑暇的時間,。而因為小兒子愛好科學(xué)，Rice 就為他訂閱了科普雜志《科學(xué)美國人》,。愛好自然科學(xué)的她也經(jīng)常第一時間拿來翻閱,，并成了《科學(xué)美國人》的著名數(shù)學(xué)科普作者 Martin Gardner 的數(shù)學(xué)專欄的迷妹。

圖片來源：Martin-Gardner.org

沒想到,，那一年的兩期《科學(xué)美國人》成了 Rice 和密鋪研究的一個分水嶺,。

1975年7月，Gardner 發(fā)表了一篇文章（On tessellating the plane with convex polygon tiles）,，介紹了密鋪方面的最新進展,。

在了解這些進展之前，我們先來了解一下數(shù)學(xué)家們在研究密鋪的什么性質(zhì),。

首先,，小學(xué)生可以很容易理解,，任何三角形都可以沿著對角線旋轉(zhuǎn)180度，雙雙配對,，然后把整一個平面鋪滿,。再拓展一下，任意四邊形,，不管是凸的還是凹的,，也可以用同樣的方式鋪滿一個平面。

圖片來源：wikipedia

但是,，這個結(jié)論不能擴展到五邊形,。比如，正五邊形就不行,。

正五邊形無法密鋪,。圖片來源：geogebra

那么，是不是任何五邊形都不行呢,？

1918年,，德國數(shù)學(xué)家 Karl Reinhardt 在他的博士畢業(yè)論文中證明，有5類五邊形可以鋪滿整個平面,。這5類五邊形長這樣——

Reinhardt 發(fā)現(xiàn)的5類可以密鋪的凸五邊形,。圖片來源：Deke McClelland

Reinhardt 發(fā)現(xiàn)，只要五邊形的邊和內(nèi)角滿足一定的條件,，就可以鋪滿一個平面,。第1類能密鋪的凸五邊形很容易理解：只要有任何兩條邊平行，那么這個五邊形就可以密鋪,。

Reinhardt 還指出,，凸七邊形以及邊數(shù)超過7的凹多邊形無論如何都無法對平面實現(xiàn)密鋪。

可是,，Reinhardt 并不知道自己找到的5類五邊形是否完備,，也就是說，是否所有能密鋪的凸五邊形就只有這5類,。這個問題也就這樣被擱置了50年,。

1968年，約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Richard Kershner 發(fā)現(xiàn)了新的3類凸五邊形,。這3類五邊形要實現(xiàn)密鋪,，必須要成雙成對。

Richard Kershner 發(fā)現(xiàn)的3類凸五邊形密鋪,。圖片來源：（DOI）10.1080/00029890.1968.11971075

Kershner 認為,，能密鋪的五邊形就這么8類，不能更多了，并在論文中加了一句話：“證明過程太復(fù)雜,，以后再單獨證明”,。聽起來是不是有費馬“對上述命題，我已發(fā)現(xiàn)了一種絕妙的證明,，可惜書邊太窄了寫不下,。”那味了,？

Kershner 雖然沒有給出完整的證明,，但是他的觀點卻借由 Gardner 的專欄被世人所知。

這篇文章刊出后不久,，業(yè)余數(shù)學(xué)家 Richard James III 寫了一封信給 Gardner,，告訴他有第9類可以密鋪的五邊形。

他是從阿基米德地磚（Archimedean tiling）中找到了靈感,。實際上，阿基米德地磚中的八邊形可以等分為4個五邊形,。八邊形稍微排列一下,，就可以在空隙中塞入這種五邊形。顯然,，這種八五邊形可以實現(xiàn)密鋪,。

阿基米德地磚四等分后，可以形成第1類凸五邊形,。圖片來源：Doris Schattschneider

要注意的是,，這種五邊形有兩條平行邊，因此屬于第1類凸五邊形,，不算新的,。但是 James III 巧妙地對八邊形的四分切割進行了調(diào)整，讓切割的“十”字微微傾斜,，使切出來的五邊形的任意兩條邊不再平行,。這么一來，就出現(xiàn)了第9類凸五邊形,。

Richard James III 發(fā)現(xiàn)的第9類密鋪,。圖片來源：Deke McClelland

這種新的五邊形需要3個一組才能實現(xiàn)密鋪，用數(shù)學(xué)家的行話來說,，這種五邊形屬于 3-block tiling（3塊密鋪）,。

于是在1975年12月的《科學(xué)美國人》上，Gardner 把這位讀者的發(fā)現(xiàn)刊登了出來,。后來在20世紀(jì)90年代,，俄亥俄州立大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授 Henry Glover 和 J. Philip Huneke 用這第9類凸五邊形裝飾了數(shù)學(xué)系6樓的地板。

Rice 也看到了這篇文章，但直覺告訴她有什么不對勁,，于是自己開始研究有沒有什么新類型的五邊形密鋪,。做完家務(wù)，她就在廚房的餐桌上做自己的數(shù)學(xué)研究,。家人回來或是有客人來,，她就把自己的研究筆記藏起來。所以在很長一段時間里,，沒有人知道她在尋找密鋪五邊形的事,。這一秘密的研究就這樣持續(xù)了二十來年。

因為只有高中學(xué)歷而且沒有幾何學(xué)基礎(chǔ),，Rice 只能自創(chuàng)數(shù)學(xué)符號來表示多邊形的性質(zhì),。這是她的筆記——

Rice 用自創(chuàng)的符號對 Gardner 介紹的9種凸五邊形進行分類。圖片來源：（DOI）10.1080/17513472.2018.1453740

很快,，她就有了收獲,。1976年2月，她寫信給 Gardner,，將自己發(fā)現(xiàn)的密鋪凸五邊形寄了過去,。

Rice 發(fā)現(xiàn)的第9類凸五邊形及定義（右上角）。因為 Rice 的證明在前,，因此是第9類,，James III 的是第10類。圖片上面的變形體是她用圖像證明這第9類五邊形的可能變化形態(tài),。圖片來源：site of marjorie rice

Gardner 把 Rice 的信轉(zhuǎn)交給了另一位數(shù)學(xué)家 Doris Schattschneider,，后者對這位業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者產(chǎn)生了強烈的興趣。

Schattschneider 證明 Rice 的發(fā)現(xiàn)是新類型的凸五邊形,，她還從中得到了一個猜想：如果一個五邊形的四條邊長度相等,，且四個角之間滿足一定的條件，就能實現(xiàn)密鋪,。

令 Schattschneider 意外的是,，Rice 很快駁斥了這個猜想。Rice 指出,，滿足這個猜想中一共包括4類五邊形,，其中2類是無法實現(xiàn)密鋪的。Schattschneider 后來不得不承認,，Rice 是對的,。

就這樣，在 Rice 的鉆研下,，能夠密鋪的凸五邊形增加到了10類,。

1976年12月,，Rice 又發(fā)現(xiàn)了兩類新的密鋪五邊形，后來這兩類五邊形被稱為第11類和第12類,。而在1977年12月,，Rice 發(fā)現(xiàn)了第13類密鋪五邊形。在 Schattschneider 的協(xié)助下,，這些結(jié)果發(fā)表在了期刊 Mathematics Magazine 上,。

Rice用自己發(fā)現(xiàn)的兩類凸五邊形密鋪制作的插畫。圖片來源：Kathy Rice

20世紀(jì)90年代,，Rice 在研究了3塊式的密鋪后,，發(fā)現(xiàn)了一種五邊形密鋪，她把這種五邊形命名為 versatile,。

美國數(shù)學(xué)學(xué)會（MAA）華盛頓總部大廳的地板的圖樣是 Rice 發(fā)現(xiàn)的五邊形 versatile,。圖片來源：I. Peterson, mathtourist.blogspot.com.

1999年，美國數(shù)學(xué)學(xué)會就用 Rice 發(fā)現(xiàn)的這種密鋪裝飾了華盛頓總部大廳的地板,，并于次年授予了 Rice 一份榮譽證書,。

在 Rice 的一系列發(fā)現(xiàn)后，密鋪領(lǐng)域沉寂了一段時間,。1985年,，Rolf Stein 找到了第14種能密鋪的凸五邊形。2015年,，第15類密鋪凸五邊形被發(fā)現(xiàn)：華盛頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Casey Mann 和同事用計算機暴力搜索的方式找到了第15種。

2017年,，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了一種聲音,，那就是能密鋪的凸五邊形就只有那15類，沒有更多了,。如果真是這樣,，那么 Rice 一人就貢獻了其中的4/15。

目前發(fā)現(xiàn)的15類能實現(xiàn)密鋪的凸五邊形及其性質(zhì),。圖片來源：wikipedia

巧合的是,，Rice 于2017年去世。晚年時的認知衰退使她沒有辦法得知密鋪凸五邊形方面的新進展,。

盡管做出了這么多貢獻,，但 Rice 從沒有就自己的發(fā)現(xiàn)進行演講，反而對于沒有在數(shù)學(xué)方面進行深造感到很后悔,。私底下她是一個非常害羞靦腆的人,，她甚至都沒有主動告訴孩子們自己在數(shù)學(xué)上的成就，這也是許多人不知道她的一個原因,。

• 1995年,，72歲的 Rice 參加洛杉磯的數(shù)學(xué)會議,。圖片來源：（DOI）10.1080/17513472.2017.1399680

她唯一一次參加學(xué)術(shù)會議，是在1995年洛杉磯的一次數(shù)學(xué)大會上,。在 Schattschneider 的強烈要求下,，Rice 答應(yīng)和丈夫出席會議。在會場上,，Schattschneider 向在座的數(shù)學(xué)家們介紹了 Rice,。Rice 起身致意，所有與會者起立鼓掌,，大廳里掌聲久久不息,。

懂了，人生幾何（人生下來就要學(xué)幾何）,，法力5邊（最強的力量是五邊形）,。