鐵粉可能發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：為什么老賊很少寫平面幾何,？只是偶爾出點(diǎn)平面幾何題,？

因?yàn)橐媹D，我不會(huì),，我又不想學(xué),，我懶。,。,。

真的，很多人跟我說畫圖板很好用,，我就是懶——雖然我竟然是個(gè)微分幾何的博士,。。,。

不過幾何里確實(shí)有很多的問題可以寫,。比如今天講的這個(gè)三角形內(nèi)角和是180°。

我們經(jīng)常說,，數(shù)學(xué)里需要發(fā)散性思維,，什么是發(fā)散性思維？我對(duì)發(fā)散性思維的理解就是舉一反三,。今天就以三角形內(nèi)角和是180°來講一講,。

從小學(xué)我們就知道這個(gè)結(jié)論，但是都是直接告訴你這個(gè)結(jié)論,，很少有老師會(huì)問你：為什么,？

所以進(jìn)入到平面幾何的學(xué)習(xí)之后，很多學(xué)生一看三角形內(nèi)角和是180°這事竟然要證明估計(jì)也是懵圈了,。當(dāng)然這個(gè)證明很簡(jiǎn)單，過一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)應(yīng)那條邊的平行線,，這個(gè)結(jié)論也就證明了,。

接下來的問題是：三角形內(nèi)角和有沒有可能不是180°？

什么,？不是180°,？這怎么可能！

事實(shí)上確實(shí)存在內(nèi)角和不是180°的三角形,。只不過構(gòu)成這種三角形的線段和我們的直線段也有所不同,。

既然不等于180度，那么就有兩種可能：大于或者小于180°,，究竟是哪種呢,？

我們知道這樣一個(gè)事實(shí)：地球上兩點(diǎn)之間距離如果比較近的話，是可以近似地拉出一條線段的,。但是由于地球是個(gè)球體,，所以在大尺度范圍內(nèi),，地球之間的兩點(diǎn)連線就要看成是一段圓弧。這個(gè)對(duì)于海邊生活的人們來說是有深刻體會(huì)的——我們總是先看見船的桅桿露出一點(diǎn)點(diǎn),，然后看見帆,，然后才是船，如果地球是平的,，那么從一開始看見船就應(yīng)該是個(gè)整體——而不是這樣一點(diǎn)點(diǎn)展現(xiàn)在我們面前,。

球面上兩點(diǎn)之間最短的距離就是過這兩點(diǎn)和球心的大圓上的劣弧。考慮到平面上兩點(diǎn)之間距離最短是線段,，球面上“線段”就應(yīng)該是這些劣弧,，而球面上的直線就是所有的大圓。

有意思的事情來了,，平面上過直線外任意一點(diǎn),，有且只有一條直線和已知直線平行，這是歐幾里得的第五公設(shè),。包括歐幾里得在內(nèi)的很多數(shù)學(xué)家試圖去證明這條是對(duì)的,，但是無果。如果把第五公設(shè)推廣到球面上去,，我們會(huì)發(fā)現(xiàn),，過直線外任一點(diǎn)竟然沒有直線和已知直線平行！

別忘了,，球面上的直線就是大圓,，所以這個(gè)命題變成了球面上有一點(diǎn)不在給定的大圓上，不存在過這點(diǎn)的大圓和給定的大圓沒有交點(diǎn),。

你仔細(xì)想想,，球面上是否有兩個(gè)大圓沒有交點(diǎn)？顯然不存在,！

球面上既然有直線,，有線段，自然有三角形,。球面上任意三點(diǎn)之間兩兩連線,，就是球面三角形。這樣的三角形內(nèi)角和就是大于180°的,。

關(guān)于球面三角,，在幾百年前的大航海時(shí)代那是船長的必修課，到現(xiàn)在航海技術(shù)專業(yè)也得學(xué)這門課,。雖然現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)能夠自動(dòng)計(jì)算海上的距離和方位,，但是其基本原理還是必須得掌握的。

那什么時(shí)候三角形內(nèi)角和是小于180度的,？聯(lián)想到球面是往外鼓的,，所以應(yīng)該是那種往里面塌進(jìn)去的曲面上的三角形的內(nèi)角和才是小于180°的,。

數(shù)學(xué)難就難在這些地方，看似不起眼的東西,，往深了想真的容易變成精神病啊,。。,。當(dāng)年就是那么幾個(gè)數(shù)學(xué)家閑來無事,，覺得歐幾里得第五公設(shè)過于礙眼，就想如果不對(duì)怎么辦,，于是才誕生了非歐幾何,。

這樣的發(fā)散性思維太闊怕了，這幫數(shù)學(xué)家太闊怕了,。,。。但是除了地球,，你也沒什么地方能躲,。

讓孩子在那些顯而易見的結(jié)論地方多想想，比如去掉一個(gè)條件,，或者把條件當(dāng)結(jié)論結(jié)論當(dāng)條件,，這些都去試試看，發(fā)散性思維就比較容易培養(yǎng)起來了~