13.5 曲面面積和曲面積分

計(jì)算曲面積分的技巧是要將其轉(zhuǎn)換成平面區(qū)域的二重積分.

曲面面積

觀察下圖曲面 S 以及它的垂直投影.

將所有小平面分割近似所有的小區(qū)面, 這樣就構(gòu)成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面積的一個(gè)近似, 而不斷的細(xì)分 R 后, 即為下面二重積分的近似.

觀察下面小切面近似曲面的動(dòng)畫(huà):

曲面積分(Surface Integrals)

即第一類曲面積分, 利用上面計(jì)算曲面面積的思想:

定向(Orientation)

稱光滑曲面 S 可定向或是雙側(cè)的.

下圖的莫比烏斯帶不是可定向的. 當(dāng)一個(gè)單位法向量移動(dòng)一圈后, n 的方向剛好與出發(fā)方向相反.

曲面積分求通量(Surface Integral for Flux)

也就是第二類曲面積分. 假設(shè)曲面 S 在 F 向量場(chǎng)中, n 為曲面某點(diǎn)處的單位法向量, 則 F 沿正向穿過(guò)曲面的通量為 F?n 在 S 上的積分.