橢圓有一個(gè)鮮為人知的性質(zhì),，很有趣。我今天來講一講,。

這個(gè)性質(zhì)就是,，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離之和小于等于兩軸頂點(diǎn)之間的距離，大于等于短半軸長,。等號都可以取到,。具體來說，如下圖所示,，橢圓上的點(diǎn)M(x, y)到x軸和y軸的距離之和（圖中紅色折線的長度）小于等于兩軸頂點(diǎn)（比如A2和B2）之間的距離（比如圖中淺藍(lán)色線段A2B2）,，大于等于短半軸長b。

用公式表示就是：

下面我們來證明這個(gè)結(jié)論,。

我們只針對長軸或焦點(diǎn)在x軸上的情況來進(jìn)行研究,，并且原點(diǎn)位于焦點(diǎn)連線中點(diǎn)，這時(shí)的橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,。這就是上圖所示的情況,。回顧一下畫橢圓的一種方法,，我在幾年前的一篇文章中講過[《橢圓作圖方法(之四)》,，鏈接在文末]。下面把圖畫出來,，并簡單說明橢圓是怎么畫出來的,。圖中有兩個(gè)同心圓，圓心為原點(diǎn),，半徑分別為a和b,。OC是半徑為a的圓(下圖中綠色)的一條半徑，它與半徑為b的圓(下圖中藍(lán)色)交于點(diǎn)D,。過點(diǎn)C向x軸作垂線,，過點(diǎn)D作x軸的平行線。垂線與平行線交于點(diǎn)M,。讓點(diǎn)C在大圓上運(yùn)動(dòng),，則隨之運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)M就將畫出橢圓(下圖中紅色)。

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,，y）,。再設(shè)OC與x軸的夾角為α（希文阿爾法，不是英文a）。則有

這就是橢圓的參數(shù)方程,。把它代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,，是正確的，不妨驗(yàn)證一下：

所以,，點(diǎn)M到兩軸距離之和就是：

| acosα | + | bsinα |   ······①

由橢圓的對稱性,，我們只就點(diǎn)M位于第一象限及x軸y軸正半軸上進(jìn)行證明。所以,，α位于閉區(qū)間[0, π/2]內(nèi),，從而使得cosα和sinα都是非負(fù)的。于是,，①式中的絕對值符號可以去掉,。所以點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之和就是：

acosα + bsinα   ······ ②

我們要證明的結(jié)論就變成：

a和b是確定的值，故存在一個(gè)以a和b為直角邊的直角三角形,，如下圖所示,。

設(shè)直角邊a的對角為θ。它是一個(gè)確定的值,，因?yàn)閍和b是確定的,，并且因?yàn)閍>b，所以π/4<θ<π/2,。由上圖知

于是,，②式就可以寫為：

為了證明我們的結(jié)論：

需要補(bǔ)充一個(gè)預(yù)備知識：如果角θ為一個(gè)銳角，角α在0到π/2范圍內(nèi)變動(dòng)（可以取端點(diǎn)0和π/2）,，那么sin(α+θ)的取值范圍是：

其中右邊等號在α+θ=π/2時(shí)達(dá)到,，左邊等號在α=0或π/2時(shí)達(dá)到。

它的證明并不復(fù)雜,，我們只提供兩個(gè)圖,，您便可以理解了。如下圖所示,。這是θ<π/4的情況,。這時(shí)sinθ與cosθ的較小值為sinθ。

下圖所示是θ>π/4的情況,，這時(shí)sinθ與cosθ的較小值為cosθ,。

當(dāng)然，sin(α+θ)最大值在單位圓的最上端達(dá)到,，最大值為1。

有了以上的預(yù)備知識,，我們所要解決的問題就容易了,。因?yàn)閍>b，所以π/4<θ<π/2。這時(shí)min(sinθ, cosθ)=cosθ,。而

從而

再由③式,，得

這就是結(jié)論，即橢圓上一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之和小于等于兩坐標(biāo)軸頂點(diǎn)之間距離,，大于等于短半軸長,。

顯然，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B2時(shí),，也就是角α=π/2時(shí),，距離之和取得最小值b。最大值在什么時(shí)候取到呢,？應(yīng)該在角α=π/2－θ時(shí)取到,，其中θ可以求出，θ=arctan(a/b),。想一想橢圓的特殊情況——圓,，這時(shí)a=b，所以,，在第一象限內(nèi)圓上點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之和取最大值時(shí)的點(diǎn)為45度角方向上的點(diǎn),，這個(gè)距離之和為√2·b(√2為根號2)。再看一看上面給出的那幅作橢圓的圖形,。我們讓α=45度（如下圖所示）,，便可看出，橢圓是被縱向壓扁了的圓,，或是橫向拉伸了的圓,，所以，最大值點(diǎn)偏離第一象限的對角線,，離實(shí)軸更近了一些,。下圖中右邊的數(shù)據(jù)是用軟件度量和計(jì)算所得，可以驗(yàn)證我們今天所講的內(nèi)容是正確的,。