【注1】以下內(nèi)容既是競(jìng)賽,、考研必備知識(shí)點(diǎn)，也是平時(shí)課程學(xué)習(xí)必備的復(fù)習(xí)提綱,！

【注2】在解題過(guò)程步驟中,，使用各種方法前，為了讓自己過(guò)程清晰展示有理有據(jù),，請(qǐng)?jiān)诮忸}過(guò)程中注明使用的各類依據(jù),！

【注3】以下羅列的必備知識(shí)點(diǎn)與方法在微信公眾號(hào)“考研競(jìng)賽數(shù)學(xué)(ID:xwmath)”的“每日一題”（后臺(tái)回復(fù)“每日一題”或點(diǎn)擊菜單“高數(shù)線代”下的“每日一題”可以查看每日一題總列表）欄目中都能有對(duì)應(yīng)的例題，對(duì)于教程中沒(méi)有給出的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),，則在對(duì)應(yīng)的每日一題推文中進(jìn)行了說(shuō)明,！同時(shí)在菜單“高數(shù)線代”菜單下的“高等數(shù)學(xué)內(nèi)容導(dǎo)航”中可以查看各章節(jié)更詳細(xì)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與課件、單元練習(xí)與典型習(xí)題解析,！或者直接點(diǎn)擊“高等數(shù)學(xué)最全學(xué)習(xí),、復(fù)習(xí)資源導(dǎo)航列表”進(jìn)入所有高數(shù)首推文章列表.

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高數(shù)考試必備：數(shù)學(xué)競(jìng)賽與考研必備知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用（下）

1,、向量基本運(yùn)算及位置關(guān)系判定

↘向量基本量：向量的模、單位化,、方向余弦的計(jì)算及三個(gè)方向余弦的平方和等于1

數(shù)量積：兩種計(jì)算方法(兩向量模與夾角的余弦乘積計(jì)算公式和坐標(biāo)計(jì)算公式),，向量的模的平方等于自身數(shù)量積，兩向量的夾角計(jì)算公式

↘向量積：行列式定義及計(jì)算式,，三向量a,b,aXb的位置關(guān)系的判定（右手法則,、垂直），數(shù)量積的模的計(jì)算直接計(jì)算：兩向量模與夾角的正弦乘積

↘混合積：行列式計(jì)算公式及輪換性

↘投影：向量a在向量b上的投影等于向量a的模乘以兩者的夾角的余弦.

2,、向量位置關(guān)系的判定和相關(guān)幾何意義

↘兩向量垂直的充要條件數(shù)量積等于0,，

↘兩非零向量平行（共線）的充要條件是兩向量的向量積等于0，兩向量的坐標(biāo)成比例,，存在非零實(shí)數(shù)s,t,，使得s a+tb=0

↘向量積的模等于兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積(由此得三角形的面積)

↘向量的混合積的絕對(duì)值等于以三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體積(由此的四棱錐的體積)

↘三向量共面的充要條件是混合積等于0,，或存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2,，λ3,，使得

λ1 a+λ2 b+λ3 c=0

3、方程與圖形關(guān)系及特征

↘空間直線及其方程：直線的一般式方程,、點(diǎn)向式方程,、對(duì)稱式(標(biāo)準(zhǔn)式)方程、參數(shù)式方程,、兩點(diǎn)式方程,、向量式方程，兩直線的位置關(guān)系的判定（平行,、垂直,、夾角、相交,、共面,、異面）、直線間的距離計(jì)算公式（平行,、異面）,，各類方程描述形式之間的轉(zhuǎn)換

↘空間平面及其方程：平面的一般式方程、截距式方程,、三點(diǎn)式方程,、點(diǎn)法式方程、參數(shù)式方程(坐標(biāo)描述形式,，向量描述形式),，平面位置關(guān)系的判定（平行、垂直,、相交,、重合）、兩平面的夾角,，平面間的距離,，平面束方程，各類方程描述形式之間的轉(zhuǎn)換

↘點(diǎn),、平面,、直線位置關(guān)系的判定：點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到直線的距離,、直線與平面的位置關(guān)系的判定（平行、垂直,、相交,、直線在平面內(nèi)）,、直線與平面的夾角

↘空間曲面及其方程：空間曲面的一般式方程、參數(shù)式方程描述,，柱面的圖形與方程特征,，旋轉(zhuǎn)曲面的圖形與方程特征，一般曲線繞直線旋轉(zhuǎn)（坐標(biāo)軸）所得旋轉(zhuǎn)曲面方程的求解,，常見(jiàn)曲面（球面,、圓柱面、橢圓柱面,、雙曲柱面,、拋物柱面、橢球面,、單葉雙曲面,、雙葉雙曲面、橢圓拋物面,、雙曲拋物面(馬鞍面),、圓錐面）的圖形特征及標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)方程描述

↘空間曲線及其方程：空間曲線的一般式方程,、參數(shù)式方程,，投影柱面，投影曲線,，空間的曲面束,，空間曲線兩類方程描述的轉(zhuǎn)換

4、構(gòu)建圖形方程的一般思路與步驟

步驟1：根據(jù)實(shí)際意義,，繪制草圖,，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系。

【注1】當(dāng)然根據(jù)問(wèn)題的描述的方便,，也可以是其他坐標(biāo)系,，比如三重積分中討論的柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等.

【注2】如果問(wèn)題本身帶有坐標(biāo)信息,，則繪制確定的坐標(biāo)系,，并根據(jù)坐標(biāo)特征繪制草圖.

步驟2：在圖形上，或者空間任取一符合問(wèn)題背景或相關(guān)幾何意義的點(diǎn),，并設(shè)其坐標(biāo)為M(x,y,z).

步驟3：依據(jù)問(wèn)題提供的條件,，比如物理意義、幾何意義,、已有等式等,，構(gòu)建與點(diǎn)M相關(guān)的等式. 并轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z的等式；或者通過(guò)適當(dāng)引入?yún)?shù),，將點(diǎn)M的坐標(biāo)變量x,y,z描述為有關(guān)參數(shù)的表達(dá)式,，如果是平面圖形或曲線圖形,，則一個(gè)參數(shù)；如果是曲面圖形,，一般為兩個(gè)參數(shù).

步驟4：化簡(jiǎn)相關(guān)等式,，得到圖形的方程描述形式.

【注1】這里考慮的圖形為曲面、曲線,，數(shù)學(xué)描述形式對(duì)于曲面一般為一個(gè)三元方程,，或者三個(gè)坐標(biāo)變量關(guān)于兩個(gè)參數(shù)的表達(dá)式(參數(shù)方程)；對(duì)于曲線一般為兩個(gè)三元方程,，或者由一個(gè)參變量描述的三個(gè)坐標(biāo)變量表達(dá)式(參數(shù)方程).

5,、二元函數(shù)基本概念及幾個(gè)量的計(jì)算

↘多元函數(shù)相關(guān)的基本概念的定義式及其相互關(guān)系：二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性,、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,、可微性、方向?qū)?shù)

↘二元函數(shù)極限的計(jì)算與存在性的判定：計(jì)算方法（極限的運(yùn)算法則,、極坐標(biāo)方法,、定義法），存在性的判定（極坐標(biāo)方法,、特殊路徑法,、定義法）

↘可微性的判定：定義法、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

↘方向?qū)?shù)存在性的判定與計(jì)算：定義法,、可微條件下的偏導(dǎo)數(shù)與方向余弦乘積的計(jì)算法

↘幾個(gè)常見(jiàn)量的計(jì)算：方向?qū)?shù),、梯度(grad)、散度(div),、旋度(rot或curl)

↘等值面,、等值線：等值面、等值線對(duì)應(yīng)的方程描述及與曲面之間的關(guān)系,，方向?qū)?shù),、梯度在等值線圖上的反映

6、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)

↘復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),，隱函數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)：尤其是抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),，一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,，抽象函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來(lái)函數(shù)相同

↘求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：分支偏導(dǎo),，單支全導(dǎo)，分支用加,，分段用乘

↘關(guān)鍵：繪制變量關(guān)系圖

7,、多元函數(shù)的極值與最值

↘無(wú)條件極值判定的一般思路與方法：駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)判定法、黑塞矩陣的正定,、負(fù)定,、不定,、不確定結(jié)論，不可導(dǎo)點(diǎn),、不確定位置的定義法判定存在，特殊路徑判定不存在

↘條件極值的判定與計(jì)算思路與方法：拉格朗日乘數(shù)法,、無(wú)條件化

↘最值計(jì)算的一般思路與方法：可能的極值點(diǎn),、邊界點(diǎn)、圖形的尖點(diǎn)位置,，直接比較各點(diǎn)取值,，實(shí)際問(wèn)題最值的存在性及直接結(jié)論

8、幾何應(yīng)用

↘空間曲線的切線與法平面：參數(shù)式方程,，一般式方程(方程組描述)

↘空間曲面的切平面與法線：一般式方程,，參數(shù)式方程

9、二元函數(shù)泰勒公式及其應(yīng)用

↘泰勒公式的描述形式及其應(yīng)用

↘二元函數(shù)的拉格朗日中值定理

10,、二重積分計(jì)算

↘積分的性質(zhì)：均分區(qū)域的二重積分極限定義模型求極限,，保序性、絕對(duì)值不等式,、保號(hào)性,、估值定理、中值定理及應(yīng)用

↘計(jì)算：直角坐標(biāo)計(jì)算方法,、極坐標(biāo)計(jì)算方法,、換元法

↘應(yīng)用：曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量,、質(zhì)心,，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力

↘累次積分交換積分次序：直角坐標(biāo),、極坐標(biāo)累次積分交換積分次序

↘定積分的二重積分計(jì)算方法

↘計(jì)算性質(zhì)：偶倍奇零的計(jì)算性質(zhì)和積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性. 注意考慮利用線性運(yùn)算性質(zhì)拆分積分和基于積分對(duì)積分區(qū)域的可加性分割積分區(qū)域應(yīng)用計(jì)算性質(zhì).

11,、三重積分的計(jì)算

↘積分的性質(zhì)：均分區(qū)域的二重積分極限定義模型求極限，保序性,、絕對(duì)值不等式,、保號(hào)性、估值定理,、中值定理及應(yīng)用

↘計(jì)算：直角坐標(biāo)計(jì)算方法,、柱坐標(biāo)計(jì)算方法、球坐標(biāo)計(jì)算方法,、換元法

↘應(yīng)用：立體體積,、立體的質(zhì)量、質(zhì)心,，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力

↘累次積分交換積分次序：直角坐標(biāo),、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)累次積分交換積分次序

↘計(jì)算性質(zhì)：偶倍奇零的計(jì)算性質(zhì)和積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性. 注意考慮利用線性運(yùn)算性質(zhì)拆分積分和基于積分對(duì)積分區(qū)域的可加性分割積分區(qū)域應(yīng)用計(jì)算性質(zhì).

12,、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

↘積分的性質(zhì)：保序性,、絕對(duì)值不等式、保號(hào)性,、估值定理,、中值定理及應(yīng)用

↘計(jì)算：被積函數(shù)定義在積分曲線上，偶倍奇零計(jì)算性質(zhì),、輪換對(duì)稱性,，直接參數(shù)方程代入法

↘應(yīng)用：曲線長(zhǎng)度、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面片的面積,、曲線型物體的質(zhì)量,、質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力

13,、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

↘計(jì)算：被積函數(shù)定義在積分曲線上，輪換對(duì)稱性,，直接參數(shù)方程方法,、格林公式、斯托克斯公式,，積分與路徑無(wú)關(guān),、轉(zhuǎn)換為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分計(jì)算

↘應(yīng)用：變力沿曲線作功，流量,、環(huán)量

↘格林公式：應(yīng)用的條件,，平面曲線、空間曲線上積分與路徑無(wú)關(guān)的四種等價(jià)描述

↘全微分方程：全微分方程的判定和計(jì)算的一般思路

↘斯托克斯公式：應(yīng)用條件,，旋度

14,、對(duì)面積的曲面積分

↘積分的性質(zhì)：保序性、絕對(duì)值不等式,、保號(hào)性,、估值定理、中值定理及應(yīng)用

↘計(jì)算：被積函數(shù)定義在積分曲面上,，偶倍奇零計(jì)算性質(zhì),、輪換對(duì)稱性，直接法（要求曲面為簡(jiǎn)單曲面,，不為簡(jiǎn)單曲面則分割曲面為簡(jiǎn)單曲面分別計(jì)算）

↘應(yīng)用：曲面片的面積,、質(zhì)量、質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,，流量

15、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

↘計(jì)算：被積函數(shù)定義在積分曲面上,，奇倍偶零計(jì)算性質(zhì),、輪換對(duì)稱性，高斯公式,，直接法,，轉(zhuǎn)換為對(duì)面積的曲面積分計(jì)算，多個(gè)坐標(biāo)積分轉(zhuǎn)換為一個(gè)坐標(biāo)積分計(jì)算

↘應(yīng)用：流量

↘高斯公式：應(yīng)用的條件,，積分與曲面無(wú)關(guān)，散度

17,、冪級(jí)數(shù)

↘收斂域：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),、冪級(jí)數(shù)收斂域計(jì)算的一般思路與方法，阿貝爾定理

↘常見(jiàn)基本函數(shù)的冪級(jí)數(shù)及收斂域：1/(1-x),，sinx,，ln(1+x)，(1+x)^a,，e^x等

↘和函數(shù)的計(jì)算：線性運(yùn)算性質(zhì),、逐項(xiàng)可導(dǎo)、逐項(xiàng)可積性質(zhì),，收斂域內(nèi)和函數(shù)連續(xù)的性質(zhì),，端點(diǎn)處和單獨(dú)討論；逐項(xiàng)求導(dǎo)構(gòu)建和函數(shù)微分方程求和函數(shù)

↘冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：泰勒級(jí)數(shù),，基于線性運(yùn)算性質(zhì),、逐項(xiàng)可導(dǎo)、逐項(xiàng)可積性質(zhì)展開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù)

↘常值級(jí)數(shù)求和：將常值級(jí)數(shù)與n次方相關(guān)的項(xiàng)轉(zhuǎn)換為變量x構(gòu)造冪級(jí)數(shù),，通過(guò)求冪級(jí)數(shù)和求常值級(jí)數(shù)的和

↘n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：基于冪級(jí)數(shù)的唯一性,，次數(shù)相同項(xiàng)系數(shù)相同，泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)與間接法得到的冪級(jí)數(shù)系數(shù)相等來(lái)得到指定點(diǎn)處的n導(dǎo)數(shù)

18,、傅里葉級(jí)數(shù)

↘三角函數(shù)系：三角函數(shù)系的正交性,，直接應(yīng)用性質(zhì)得到積分結(jié)果

↘傅里葉系數(shù)：利用積分計(jì)算傅里葉系數(shù)，周期函數(shù)在任意周期長(zhǎng)度區(qū)間上的積分相等

↘函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：注明級(jí)數(shù)收斂于被展開(kāi)函數(shù)的范圍

↘傅里葉級(jí)數(shù)和函數(shù)：基于狄利克雷收斂定理直接寫和函數(shù),，滿足狄利克雷收斂定理的條件的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于被展開(kāi)函數(shù)給定處的左右極限和的一半

↘利用傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)求常值級(jí)數(shù)的和

【特別注意】