現(xiàn)居郊外,，沒有太多樓房遮擋,，很容易注意到夏天和冬天，日復一日地太陽在房子四周升起落下,。雖然在中學的地理課上,，我們就已經(jīng)知道了，在北半球,，夏天日出方位為東北,，日落方位為西北，冬天日出方位為東南,，日落方位為西南,，而春分日和秋分日，太陽從正東方升起,，從正西方落下,；而南半球與北半球相反，夏天日出方位為東南,，日落方位為西南,，冬天日出方位為東北，日落方位為西北：而我也有了一個很自然的猜測——同一天全球各地的日出日落方位都是相同的,，不過中學地理課中沒講的,，是夏天和冬天太陽升起落下的方位角，具體是多少,。如果有人問我這個問題,，我可能會不假思索地說，因為黃赤交角是23.5度,，所以,，夏至日太陽升起的方位最偏北，是東偏北23.5°,，與之相對太陽落下的方位是西偏北23.5°,；冬至日太陽升起的方位最偏南，是東偏南23.5°,，太陽落下的方位是西偏南23.5°：某一日期太陽升起和落下的方位就是當日地軸與太陽光線所成的夾角,。

這猜測和想法看似有一定的道理，實則經(jīng)不起推敲,。首先,，這是把地球假想成了平面，所推理出的結(jié)果,，這個結(jié)果在一定程度上沒有錯,，但它只在赤道上適用；其次,，假如我們想想,，地球的南北極,，是有極晝和極夜的，假如同一天全球各地的日出日落方位都是相同的,，那么當極地是極晝或極夜時,，那里的日出和日落方位是什么？我們可以用一個特例來說明,，當極地中的某地處于極晝/極夜和非極晝極夜的臨界點時,，意味著這一天太陽升起和落下的地點在同一處，顯然,，不可能有一天全球所有的地方都是太陽升起和落下的地點在同一處,。

所以，地球上任意一個地點日出/日落方位的計算,，并不像想像的那么簡單,。要想知道日出/日落方位到底如何計算，就可能需要借助一些空間幾何和向量的知識,。

假如身邊有一個地球儀，用燈光模仿著太陽光照射它的一邊,，觀察其上面的晨昏線,，我們可以看出，對于晨昏線上的一點來說,，太陽光線的方向與經(jīng)過這個點的緯線圈（或經(jīng)線圈）的切線方向所成的夾角,，就是這個地點的日出/日落方位。

不過這里有個問題,，通過經(jīng)線圈的切線與緯線圈的切線,，各可以求出一個夾角，如何保證它們所表示的日出（日落）方位是一致的呢,？眾所周知,，經(jīng)線圈表示南北方向，緯線圈表示東西方向,，經(jīng)過同一個點的經(jīng)線圈切線與緯線圈的切線的夾角總是90°,，故只有太陽光線與經(jīng)過此點的經(jīng)線圈切線和緯線圈的切線形成的兩個夾角之和等于90°，才能保證通過經(jīng)線圈和緯線圈求出的日出方位是一致的,。經(jīng)線圈切線和緯線圈切線所決定的平面表示這個點附近的地面,，對這個點來說，日出或日落時,，太陽光照射過來的方向應該正好在地面這個平面內(nèi),。兩個夾角之和等于90°，也正表明太陽光線與經(jīng)線圈切線和緯線圈切線所決定的平面共面,。也就是說,，在晨昏線上任意一點,，太陽光線與經(jīng)過這個點的經(jīng)線圈的切線和經(jīng)過這個點的緯線圈的切線所決定的平面應該是共面的。如果這個結(jié)論成立,，那么就可以通過求太陽光線與經(jīng)線圈切線和緯線圈切線中的任意一個所成夾角,，來求出日出/日落方位。

先觀察一些特殊點,。在晨昏線與赤道的交點,，很容易看出太陽光線與經(jīng)線圈的切向、緯線圈的切向在同一平面內(nèi),；再改變光線的角度,，觀察夏至/冬至時，晨昏線與極圈的交點,，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過這個點的經(jīng)線圈的切線恰好沿著太陽光線的方向,，所以太陽光線確實也與經(jīng)線圈切線和緯線圈切線所決定的平面共面。對于晨昏線上的任意一點,，也不難發(fā)現(xiàn),，地平面的法向量一定位于連接這個點和地心的直線上，而經(jīng)過該點的經(jīng)線圈的切線,、緯線圈的切線以及太陽光線都是與這個法向量垂直的,，所以它們理所當然地共面。

假如以太陽光線的方向為x軸建立空間直角坐標系,，那么太陽光線很容易用向量（1,，0，0）表示,。選取從地心指向晨昏線與赤道交點的方向作為這個空間直角坐標系的z軸,，而原點的位置選取不會影響向量的表示。這樣,，根據(jù)向量方法,，只需計算出經(jīng)線圈和緯線圈切線的方向向量的坐標表示，就很容易求出它們與太陽光線的夾角了,。下面就計算這經(jīng)線圈和緯線圈的切線的方向向量,。

赤道上的情況仍然是最簡單的，太陽光線與地軸的夾角,，等于太陽直射點的緯度δ,。從而得到在赤道處緯線圈的切線方向向量是v₁=（cosδ，-sinδ,，0）,，經(jīng)線圈的切線方向向量是v₁'=（sinδ，cosδ,，0）,。從而求出太陽光線與緯線圈的切線方向的夾角是arccos（cosδ/（1×1））=δ,，所以，日出/日落方向就是東偏北（或東偏南）δ度,。

對于一般的情況,，也可以通過旋轉(zhuǎn)變換來求得過晨昏線上任意一點的經(jīng)線圈和緯線圈的切線的方向向量。下面將會用到向量的旋轉(zhuǎn)公式：

在平面p內(nèi),，平面的法向量是p,，將向量v₁逆時針旋轉(zhuǎn)?度，所得到的向量為v₂,，則

v₂=v₁cosθ+p×v₁sinθ

假設晨昏線上任意一點,，它的緯度為θ，它與晨昏線與赤道交點的經(jīng)度差為?,，通過觀察發(fā)現(xiàn),，該處緯線圈的切線的方向，與同經(jīng)度上赤道處緯線圈的切線的方向是一致的,，而且是由位于晨昏線與赤道交點處的緯線圈切線的方向向量v₁旋轉(zhuǎn)了?度得到的,；該處經(jīng)線圈的切線的方向向量是由同經(jīng)度上赤道處經(jīng)線圈的切線方向向量旋轉(zhuǎn)了θ度得到的，而該處同經(jīng)度赤道上經(jīng)線圈的切線方向,，與晨昏線與赤道交點處的經(jīng)線圈的切線方向是一致的,，為v₁'。

據(jù)此,，得出：將晨昏線與赤道交點處的緯線圈切線的方向向量v₁=（cosδ，-sinδ,，0）在赤道平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)?度就得到所求的晨昏線上任意點處的緯線圈切線的方向向量,，將晨昏線與赤道交點處的經(jīng)線圈的切線方向向量v₁'=（sinδ，cosδ,，0）在過所求的點的經(jīng)線圈平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)θ度就得到所求的點處的經(jīng)線圈切線的方向向量,。

先求緯線圈切線的方向向量，它是由v₁繞著赤道平面旋轉(zhuǎn)?度得到的,，赤道平面的法向量p=（-sinδ,，-cosδ，0）,，其中如果符號取負,，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針，?取正值,，反之?取負值,。根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式，有

v₂=v₁cos?+p×v₁sin?

    =（cosδcos?,，-sinδcos?,，0）+（0,，0，sin?）

    =（cosδcos?,，-sinδcos?,，sin?）

得到v₂=（cosδcos?，-sinδcos?,，sin?）即為所求點處緯線圈切線的方向向量,。

向量的叉乘可以用下面公式計算：c=（e₁，f₁,，g₁）,，d=（e₂，f₂,，g₂）,，c×d=（f₁g₂-g₁f₂，g₁e₂-e₁g₂,，e₁f₂-f₁e₂）,，或者寫為：

同時，v₂垂直于所求點處經(jīng)線圈所在平面,，是該平面的法向量,，將其寫其相反向量v₂’=（-cosδcos?，sinδcos?,，-sin?）,，使旋轉(zhuǎn)角度θ取正值，從而將v₁’在該平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)θ度所得到的向量是

v₃=v₁'cosθ+v₂×v₁'sinθ

    =（sinδcosθ,，cosδcosθ,，0）+（-cosδsin?，sinδsin?,，cos²δcos?+sin²δcos?）sinθ

    =（sinδcosθ,，cosδcosθ，0）-（-cosδsin?sinθ,，sinδsin?sinθ,，cos?sinθ）

    =（sinδcosθ+cosδsinθsin?，cosδcosθ-sinδsinθsin?,，-cos?sinθ）

至此,，得到了所求點處經(jīng)線圈的切線的方向向量為

v₃=（sinδcosθ+cosδsinθsin?，cosδcosθ-sinδsinθsin?,，-cos?sinθ）

將經(jīng)線圈的切線方向向量與緯線圈的切線方向向量叉乘,，也可以驗證太陽光線與經(jīng)線圈切向、緯線圈切向共平面。（此處暫時省略）

這時,，就可以求出v₂或v₃與太陽光線方向l=（1,，0，0）的夾角了,，先求v₂與l的夾角,，為了方便，將v₂除以cos?,，得到v₂=（cosδ,，-sinδ，tg?）不改變夾角：

cos<v₂,，l>=cosδ/√（1+tg²?）

由幾何推導得出δ,，θ，?之間的關(guān)系如下：

sin?=tgδtgθ

將上式中的tg²?換用δ,，θ表示,，得

cos<v₂，l>=cosδ/√（1+tg²δtg²θ/（1-tg²δtg²θ））

                =cosδ/√（1/（1-tg²δtg²θ））

                =cosδ√（1-tg²δtg²θ）

再求v₃與l的夾角,，可得：

cos<v₃,，l>=（sinδcosθ+cosδsinθsin?）/（1×1），

同樣將sin?=tgδtgθ代入,，可得

cos<v₃,，l>=sinδcosθ+sin²θsinδ/cosθ

                =sinδ（cosθ+sin²θ/cosθ）

由三角恒等變換，知

    cosθ+sin²θ/cosθ

=cosθ+（1-cos²θ）/cosθ

=cosθ+1/cosθ-cosθ

=1/cosθ

從而,，

cos<v₃,，l>=sinδ/cosθ

以上所得的兩個式子，其中分式和根式均當滿足一定條件時才有意義,，此外,，求解反三角函數(shù)時，需要注意反余弦函數(shù)自變量的取值范圍須在[-1,，1]內(nèi)，所以,，所求夾角僅當滿足一定條件時才存在,，這是符合我們的認知的，因為,，當兩極地區(qū)出現(xiàn)極晝/極夜時,，就無法計算日出/日落方位。

（1）日出方向與東西方向的夾角：

<v₂,，l>=arccos（cosδ√（1-tg²δtg²θ））（-1≤tgδtgθ≤1）

（2）日出方向與南北方向的夾角：

<v₃,，l>=arccos（sinδ/cosθ）（cosθ≠0且-1≤sinδ/cosθ≤1）

經(jīng)過一些推導，我得出了求日出/日落方位的公式，但實際上,，真實的日出/日落會受到大氣折射的影響,，造成日出的提前和日落的推后，從而導致日出/日落方位與我們這里計算的出現(xiàn)偏差,，所以在實際中,，這個公式用處不大，其實這里我推導這個公式的主要目的是為了驗證之前提出的三個向量共面的結(jié)論,。實際計算時,，是采用一個使用更廣泛的公式：

設某地的緯度為θ，當日太陽直射點的緯度為δ,，當?shù)禺斎仗栐谌我飧叨冉?em>h時所對應的方位角為α：

cosα=（sinhsinθ-sinδ）/cosωcosθ

由于大氣折射的原因,，通常日出時刻太陽真實的高度角為-51"，所以只要將h=-51"代入這個公式算出α,，就可以知道日出/日落的方位角角度了,。

把公式輸入到Excel里面，看下我們的計算結(jié)果：

不出所料,，我們看到：日出方位全是東南,，日落方位全是西南。

那當然了,，只是角度不同,。

于是又回到了地理課本中熟悉的結(jié)論：

北半球夏半年，全球日出日落東北和西北,；北半球冬半年,，全球日出日落東南和西南。

筆者以前一直以為同一天全球日出日落方位是一樣的,，現(xiàn)在認真計算才懂得是不一樣的,。

真實情況是中低緯度地區(qū)，同一天的日出日落方位相差不大,，可以大概認為是一樣的,；

高緯地區(qū)差別就比較大了。