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編者按
黎曼幾何學(xué)是愛因斯坦廣義相對論的基石,，徹底否定了康德關(guān)于物質(zhì)世界必然是歐幾里得式的斷言。他還提出了數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的黎曼猜想,，數(shù)學(xué)領(lǐng)域最后一個(gè)“百事通”,、哥根廷數(shù)學(xué)學(xué)派的希爾伯特彌留之際曾說，假如五百年以后自己能復(fù)活,，最想知道的是：“黎曼猜想是否已經(jīng)被證明,？” 我身體的大部分會逃脫死亡,，我將會永生,，仍然活在后世的贊美聲中。 ——（古羅馬）賀拉斯
二〇一九年春天,，包括上海天文臺在內(nèi)的全球六家天文觀察機(jī)構(gòu)同時(shí)發(fā)表聲明,，公布了他們合作拍攝的首張黑洞照片,。此前兩年,，引力波被直接探測到和阿蒂亞爵士宣布證明黎曼猜想這兩項(xiàng)重大科學(xué)新聞，同樣引發(fā)了全球公眾的高度關(guān)注,，絲毫不亞于一年一度的奧斯卡頒獎(jiǎng)禮,。物理學(xué)家愛因斯坦再次成為人們膜拜的偶像，與黑洞一樣,，引力波的存在也是他的廣義相對論所預(yù)言的,。然而，有一個(gè)關(guān)鍵性人物被忽視了,，那便是十九世紀(jì)的天才數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼,，他建立的黎曼幾何學(xué)是廣義相對論的基石，同時(shí)他還提出了迄今為止數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的黎曼猜想。二〇一〇年秋天,，我應(yīng)德國哥廷根大學(xué)一位數(shù)學(xué)同行的邀請，來到慕名已久的數(shù)學(xué)圣地做客一個(gè)月,。一個(gè)星期六的早上,，我獨(dú)自開始了火車之旅。那天我上午游覽不來梅,，下午游覽漢堡,，它們是柏林以外僅有的兩座直轄市，也是德國吞吐量最大的兩個(gè)港口,，分別位于威悉河和易北河下游,。在漢堡用過晚餐之后，我踏上了歸途,。與來時(shí)路線相反,，我選擇了東線，經(jīng)過呂訥堡,、于爾岑,，到漢諾威后再換車返回哥廷根。巧合的是,，這幾座城鎮(zhèn)恰好都與本文主人公黎曼有著密切的關(guān)聯(lián),。黎曼在漢諾威和呂訥堡念的中學(xué)，而于爾岑是離他出生地和度過童年時(shí)光的兩個(gè)小村（他的父親是村里的牧師）最近的火車站,。即便黎曼時(shí)代不通火車,，這里也是他去往哥廷根求學(xué)的必經(jīng)之地?；疖囋谌章鋾r(shí)分抵達(dá),，靠站后我下車去拍攝了站牌，在那短促的幾分鐘里,，我滿腦子都是黎曼,。于爾岑，離黎曼故鄉(xiāng)最近的火車站（蔡天新攝）
然而,，關(guān)于黎曼的生平,，至今我們所知的仍然不多，他本人也沒有留下內(nèi)心活動(dòng)的記錄,，只有部分往來的書信,。黎曼的同代人里，只有他的師弟戴德金,，在黎曼去世十年以后編撰他的文集時(shí)為他寫下一篇十七頁的小傳,。戴德金是黎曼與他共同的導(dǎo)師高斯的同鄉(xiāng),，出生在不倫瑞克，他是高斯的關(guān)門弟子,?！ ?/span>依照戴德金的描述，黎曼是個(gè)極為羞怯的人,，每當(dāng)出現(xiàn)在人群中,，他都會覺得不自在。這與他從小所處的宗教環(huán)境不無關(guān)系,，他的家族成員都是虔誠的路德教徒,，他們“每天在上帝面前自我反省”。家族成員之間的關(guān)系則非常親密,，每次離開家,，黎曼便會犯思鄉(xiāng)病，如同法國前輩數(shù)學(xué)家,、思想家帕斯卡,，或者后來客居英倫的印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金。此外,，他和拉馬努金還有一個(gè)共同的老朋友——肺結(jié)核,。除了思鄉(xiāng)病和肺結(jié)核，黎曼還是一位疑病癥患者,，這個(gè)詞是如今流行的抑郁癥的同義語,。只不過由于黎曼遺孀的請求，戴德金才避免使用它,。黎曼的妻子是其姐姐的朋友,，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得長久的人。在他們備受崇敬和愛戴的父親去世以后,，黎曼經(jīng)常沉浸在痛苦的回憶之中,，幸好他有一座安逸的避風(fēng)港，那就是他的數(shù)學(xué)世界,。特別地,，黎曼對素?cái)?shù)及其分布有著一種深深的、迷人的依戀,。那時(shí)候德意志已開始實(shí)行教育家馮·洪堡倡導(dǎo)的教育改革,，大學(xué)的首要任務(wù)是教學(xué),，尤其是培養(yǎng)優(yōu)秀的中學(xué)教師,，而把研究工作交給科學(xué)院。于是乎,，偉大的數(shù)學(xué)家高斯也被要求講授“線性代數(shù)”,，唯有馮·洪堡本人創(chuàng)辦的柏林大學(xué)例外,，那里的數(shù)學(xué)研究處于領(lǐng)先地位，盡管沒有高斯那樣史詩般的英雄人物,。幸好還有條規(guī)則,，學(xué)生學(xué)習(xí)期間可以到其他學(xué)校修學(xué)。為了汲取更多的營養(yǎng),，黎曼轉(zhuǎn)學(xué)到了柏林,。在柏林大學(xué)的兩年期間，黎曼如饑似渴地學(xué)習(xí)新的,、充滿活力的數(shù)學(xué),，那會兒年富力強(qiáng)的數(shù)學(xué)家雅可比、狄里克萊,、施坦納和艾森斯坦等人都在柏大,。黎曼向他們學(xué)了很多東西——從雅可比那里學(xué)到高等代數(shù)和高等力學(xué)，從狄里克萊那里學(xué)到數(shù)論和分析,，從施坦納那里學(xué)到了現(xiàn)代幾何,，而從僅僅比他年長三歲的艾森斯坦那里則學(xué)到了橢圓函數(shù)和自信。他有信心超越前輩同行,。一八四九年，黎曼從柏林回到哥廷根,。兩年以后,，他以一篇題為《單復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》的論文獲得博士學(xué)位，那年他二十五歲,。在哥廷根大學(xué)求學(xué)的最后一年半,，他以極大的興趣去聽哲學(xué)講座和韋伯的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)課程，把他的純粹數(shù)學(xué)暫時(shí)放到一邊,。這使得他后來的數(shù)學(xué)工作常常處于更深的哲學(xué)背景下,，同時(shí)畢生保持了對物理學(xué)的濃厚興趣。雖說黎曼外表文弱,、羞怯,，內(nèi)心卻勇敢而強(qiáng)大，有一顆像太陽那樣輝耀的心,，加上卓越的才華,，使他具備一種驚人的沖擊力和能量。復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支,，黎曼與法國人柯西,、德國同胞維爾斯特拉斯被公認(rèn)為這一分支的三大奠基人，他們的出發(fā)點(diǎn)有所不同,，柯西是從分析出發(fā),，維爾斯特拉斯是從函數(shù)論出發(fā),，而黎曼則是從幾何出發(fā)。黎曼給單值解析函數(shù)下了嚴(yán)格的定義,，還對多值函數(shù)定義了黎曼曲面,。此外，他還率先研究了曲面拓?fù)?，并解決了曲面上函數(shù)存在性和唯一性的問題,，這對后世有著重要影響。這篇論文是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的經(jīng)典,，但在當(dāng)時(shí)除了被高斯關(guān)注以外,，并未引起太大反響。直到三年以后,，黎曼才被哥廷根大學(xué)聘為無薪講師,。哥根廷數(shù)學(xué)研究所走廊里的黎曼像（蔡天新攝）一八五四年，黎曼為無薪講師職位做了就職演講,。黎曼向系教授會提交了三個(gè)題目,，其中兩個(gè)是關(guān)于數(shù)學(xué)物理的，他原本希望能選中這兩個(gè)題目中的一個(gè),，因?yàn)樗呀?jīng)有所準(zhǔn)備,。但是最后時(shí)刻他又說出了第三個(gè)題目，是關(guān)于幾何基礎(chǔ)的,。沒想到高斯對這個(gè)問題更感興趣,，他本人對此已考慮多年，并與俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基,、匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶各自建立了一種非歐幾何學(xué),，即羅氏幾何。黎曼并未有完全的把握,，也只好硬著頭皮上臺了,。黎曼演講的題目是《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》，從中他建立起黎曼幾何學(xué)的基礎(chǔ),，并給出了黎曼度量的定義,。他把高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何從歐幾里得空間推廣到任意n維空間，并稱其為流形,，再把流形上的點(diǎn)用n元有序數(shù)組表示,。黎曼還引進(jìn)子流形和曲率的概念，讓他尤其關(guān)注的是所謂“常曲率空間”,，即每一點(diǎn)上曲率都相等的流形,。這種常曲率有三種可能性：曲率為正常數(shù)，曲率為負(fù)常數(shù),，曲率為零,。黎曼指出，第二種和第三種分別對應(yīng)于羅氏幾何和歐氏幾何,，而第一種情形對應(yīng)的則是他創(chuàng)造的黎曼幾何,。在歐氏幾何里，過已知直線外一點(diǎn)恰好能做一條直線與該直線平行,；在羅氏幾何里,，過已知直線外一點(diǎn)可做不止一條直線與該直線平行；而在黎曼幾何里,，過已知直線以外一點(diǎn)不能做任何直線與該直線平行,。可以這么說,，黎曼是第一個(gè)理解非歐幾何學(xué)全部意義的數(shù)學(xué)家,。作為黎曼幾何的球面，其上的三角形內(nèi)角和大于180度
黎曼的演講所含思想如此豐富和先進(jìn),，人們用諸如“劃時(shí)代的”“不朽的”等詞形容它,。六十年以后，愛因斯坦廣義相對論所需要的數(shù)學(xué)工具,，即三維空間和時(shí)間可以在數(shù)學(xué)上處理為四維空間,，已包含其中。作為牛頓之后最重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn),，廣義相對論首次把引力場解釋成時(shí)空彎曲,，并推導(dǎo)出大質(zhì)量恒星最終歸結(jié)為一個(gè)黑洞。而在黎曼幾何里,，球面上兩點(diǎn)的最短距離正是彎曲圓弧的一部分,。黎曼擔(dān)任無薪講師的第二年，高斯去世了,，黎曼在柏林大學(xué)時(shí)的老師狄里克萊繼承了高斯的職位,，沒料到四年以后，狄里克萊也去世了,。在此期間,，黎曼的父親、弟弟和兩個(gè)妹妹相繼去世,，他永遠(yuǎn)失去了故鄉(xiāng)的避難所,。一八五九年七月三十日，黎曼繼承了高斯的職位,，晉升為正教授,。他和他僅存的兩個(gè)姐妹搬進(jìn)了天文臺，那是高斯生前居住過的地方,。之后,，榮譽(yù)接踵而來,，在黎曼晉升教授僅僅十二天以后，三十二歲的他被任命為柏林科學(xué)院通訊院士,。哥根廷天文臺,，繼高斯之后，黎曼一家也曾住在這里（蔡天新攝）在授予柏林科學(xué)院通訊院士的儀式上,，黎曼又做了一次題為《論小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的重要報(bào)告。他先是向高斯和狄里克萊兩位前輩表達(dá)敬意和感謝,，接著引入十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的關(guān)于素?cái)?shù)的無窮乘積的級數(shù)展開式,，那被認(rèn)為是解析數(shù)論的金鑰匙。黎曼把上述級數(shù)展開式命名為函數(shù)ζ（s）,，它被后人稱為黎曼ζ函數(shù),，即從1到無窮正整數(shù)n的s次方倒數(shù)之和。容易推出,，這個(gè)函數(shù)在負(fù)實(shí)數(shù)軸的偶數(shù)點(diǎn)均取零值,，這被稱為平凡零點(diǎn)。黎曼論文《論小于一給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》,，此文提出了著名的黎曼猜想
這是黎曼在數(shù)論領(lǐng)域發(fā)表的唯一一篇論文,，也是迄今為止這個(gè)被稱為“數(shù)學(xué)皇冠”領(lǐng)域里最重要的一篇文獻(xiàn)。換句話說,，柏林（而非哥廷根）非常偶然地成為如今赫赫有名的黎曼猜想的誕生地,。這個(gè)猜想是說：黎曼ζ（s）函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都在實(shí)部為1/2那條垂線上。黎曼之所以用那個(gè)題目,，是因?yàn)楦咚乖岢觥靶∮谀硞€(gè)給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”這一非常熱門的問題,。假設(shè)不超過x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為π（x），高斯猜測π（x）~x/lnx,。這便是著名的素?cái)?shù)定理,。十九世紀(jì)的最后十年，素?cái)?shù)定理忽然有了轉(zhuǎn)機(jī),。一八九〇年,，法國科學(xué)院設(shè)立了大獎(jiǎng)，授予“確定小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的最佳論文,。結(jié)果,，年輕的法國人阿達(dá)瑪拿走了大獎(jiǎng)，但他并沒有證明素?cái)?shù)定理,。三年以后,，德國數(shù)學(xué)家馮·曼戈?duì)柼氐贸鲆粋€(gè)結(jié)論：如果某個(gè)比黎曼假設(shè)弱得多的猜想獲得證明，那就可以證明素?cái)?shù)定理。這個(gè)弱黎曼猜想是說：黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)實(shí)部小于1,。正是沿著這個(gè)思路,，翌年阿達(dá)瑪殺了一個(gè)回馬槍，證明了上述弱黎曼猜想,，從而證明了素?cái)?shù)定理,。與他分享這個(gè)成就的還有比利時(shí)人普桑，幸運(yùn)的是,，他們之間并沒有像牛頓與萊布尼茨那樣出現(xiàn)“優(yōu)先權(quán)之爭”,，這可能是“論證”與“發(fā)明”的差異,。半個(gè)多世紀(jì)以后,，挪威人賽爾貝格和匈牙利人愛多士各自用初等方法再次證明了素?cái)?shù)定理，仍收獲巨大的榮譽(yù),，分別得到菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng),。素?cái)?shù)定理是十九世紀(jì)的大白鯨，也就是說,，是最吸引人,、最具挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)難題，就如同二十世紀(jì)的費(fèi)馬大定理,，它們都在世紀(jì)末獲得證明,。有個(gè)說法，誰證明素?cái)?shù)定理,，誰就將獲得永生,。事實(shí)上，普桑是在九十六歲差五個(gè)月時(shí)去世,，而阿達(dá)瑪走時(shí)九十八歲差兩個(gè)月,。阿達(dá)瑪?shù)娜松?jīng)歷過磨難，他的三個(gè)兒子均死于兩次世界大戰(zhàn),，最鐘愛的孫子死于登山事故,。一九三六年，阿達(dá)瑪曾來清華大學(xué)訪學(xué),，其間幫助華羅庚與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫建立了聯(lián)系,。無論如何，素?cái)?shù)定理的證明是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn),。它是由弱黎曼猜想推導(dǎo)出來的,。可以這么說,，假如沒有黎曼出人意料的工作,，素?cái)?shù)定理是否能在今天獲得證明仍不好說。與此同時(shí)，因?yàn)樗財(cái)?shù)定理的證明,，黎曼猜想一下子被推到了前臺,，每個(gè)數(shù)學(xué)家都要面對或被問及。以至于在二〇一八年秋天,，年邁的菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)獲得者阿蒂亞爵士事先昭告天下,，并在海德堡當(dāng)眾宣布他證明了黎曼猜想?？墒?，他的證明并不成立。讓時(shí)間回到一九〇〇年八月八日,，哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派掌門人希爾伯特在巴黎大學(xué)登臺演講,。那是第二屆國際數(shù)學(xué)家大會的一個(gè)特邀報(bào)告，希爾伯特的演講題目是《數(shù)學(xué)問題》—開頭那句話,，數(shù)學(xué)人都十分熟悉,，就如同文學(xué)愛好者熟悉加西亞·馬爾克斯《百年孤獨(dú)》的開篇?！拔覀儺?dāng)中有誰不想揭開隱藏著未來的帷幕,，看一看我們這門學(xué)科接下來的進(jìn)展和在未來世紀(jì)中如何發(fā)展的奧秘？”希爾伯特列舉出了二十三個(gè)問題,，它們?yōu)槎兰o(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展指明了方向,。在他的問題中，被公認(rèn)為最重要,、最難解決的是第八個(gè)問題,，其中提到了三個(gè)與素?cái)?shù)有關(guān)的難題——哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想和黎曼猜想,。在那以后,，黎曼猜想也引起了海峽對岸英國數(shù)學(xué)家的關(guān)注。在此以前,，由于微積分學(xué)的“優(yōu)先權(quán)之爭”,，使得海峽兩岸數(shù)學(xué)交流中斷了一個(gè)多世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)大大地落后了,。直到哈代的出現(xiàn),，才又有了劍橋?qū)W派，英國數(shù)學(xué)再度崛起,。晚年的哈代出版了一本奇特的散文集《一位數(shù)學(xué)家的辯白》,。將近七十年之后，我造訪劍橋時(shí)仍在書店的顯著位置見到此書,。正是哈代發(fā)現(xiàn)了印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金,，他也是華羅庚訪問劍橋時(shí)的指導(dǎo)老師。一九一四年，即第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)之年,，哈代率先證明了：黎曼ζ函數(shù)在實(shí)部為1/2這條直線上存在無窮多個(gè)零點(diǎn),。與此同時(shí)，也有人認(rèn)定黎曼猜想不成立,，其中就有“電子計(jì)算機(jī)之父”圖靈,，他是哈代的學(xué)生。從二十六歲開始,，圖靈著迷于尋找一個(gè)實(shí)部非1/2的非平凡零點(diǎn),。起初他試圖設(shè)計(jì)機(jī)械計(jì)算裝置來生成反例，后來因“二戰(zhàn)”中斷了,。戰(zhàn)后圖靈借助計(jì)算機(jī)算出了一千零五十四個(gè)零點(diǎn),，可惜沒有一個(gè)是他希望的反例。不然的話,，即便因性取向遭受歧視和侮辱,，相信他也不會去咬那只涂有氰化物的蘋果,。如今,，人們已算出數(shù)千億個(gè)非平凡零點(diǎn)，它們依舊在實(shí)部1/2那條線上,。雖說牛頓既是數(shù)學(xué)家又是物理學(xué)家，但這兩個(gè)身份并沒有真正的區(qū)別,，對黎曼來說,，這種區(qū)別也不明顯。黎曼的想象力很大程度上類似于物理學(xué)家,，在他生前發(fā)表的所有十篇論文中,，有四篇屬于物理學(xué)的范疇。這十篇論文相互獨(dú)立,，各自引領(lǐng)一個(gè)方向或?qū)W科,。如同《英國百科全書》“黎曼”條目所寫的：“他的學(xué)術(shù)成果大部分是杰作——充滿了獨(dú)創(chuàng)性的方法、意義深刻的思想和廣泛深遠(yuǎn)的想象,?！?/span>黎曼畢生保持著對物理學(xué)的濃厚興趣，他熱衷于研究熱學(xué),、聲學(xué),、電學(xué)和光學(xué)。黎曼的論文《論有限振幅平面聲波的傳播》討論了壓縮波和膨脹波：壓縮波壓縮得越厲害,，波速更快,；膨脹波膨脹得越厲害，波速減緩。一八六〇年,，黎曼發(fā)表了《熱傳導(dǎo)的一個(gè)問題》,，從中發(fā)展了二次微分形式，它也是相對論的基礎(chǔ),。同年,，黎曼訪問了巴黎，受到法國數(shù)學(xué)同行的熱情接待,，他們給予黎曼極大的贊賞,。一八六二年夏天，三十六歲的黎曼結(jié)婚了,，夫人叫愛麗絲,。婚后不到一個(gè)月,，他患上了胸膜炎,，繼而導(dǎo)致肺結(jié)核。從此黎曼與意大利結(jié)了緣,，他生命最后的四年基本上是在亞平寧度過的,，那里有著溫暖的氣候。黎曼很喜歡意大利的藝術(shù),，他的獨(dú)女伊達(dá)在比薩出生,。有兩次黎曼以為自己康復(fù)了，但穿越阿爾卑斯山的旅途勞頓和嚴(yán)寒天氣又使得病情復(fù)發(fā),，幸好哥廷根大學(xué)方面慷慨地一再延長他的休假期,。英裔美國作家德比希爾畢業(yè)于倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)系，他的《素?cái)?shù)之戀》曾獲首屆歐拉圖書獎(jiǎng)（二〇〇七年,，本文從此書中文版選取了一些素材）,。他把數(shù)學(xué)家分成兩類，即邏輯型的和直覺型的,，并舉維爾斯特拉斯和黎曼為例,。他認(rèn)為維爾斯特拉斯是攀巖者，每一步都建立在堅(jiān)實(shí)的論證基礎(chǔ)上,，而黎曼則是空中飛人表演者,，有很強(qiáng)的直觀想象力和跳躍性的思維。這讓我想起新近因?yàn)樾鹿诜尾∪ナ赖拿绹锢韺W(xué)家戴森,，他寫的《飛鳥與青蛙》也把天才人物做了相似的分類,。在生命的最后一年，黎曼接連獲得榮譽(yù),。巴黎科學(xué)院選舉他為通訊院士,，英國皇家學(xué)會選舉他為外籍會員,。與此同時(shí)，他的病由于結(jié)合了黃疸癥而變得越發(fā)嚴(yán)重,。一八六六年七月二十日,，黎曼在意大利北部的塞拉斯加與世長辭。黎曼走時(shí)十分寧靜,，由他父親傳遞給他的那份虔誠始終伴隨著他,。而黎曼這個(gè)名字，無論過去,、現(xiàn)在還是將來,，都將永遠(yuǎn)伴隨著每一位數(shù)學(xué)工作者。黎曼安葬在阿爾卑斯山南麓的馬焦雷湖畔,，墓碑上刻寫著圣徒保羅的一句話：黎曼下葬后,，愛麗絲帶著伊達(dá)（英國詩人拜倫的獨(dú)女也叫伊達(dá),，她是第一個(gè)計(jì)算機(jī)程序員）返回了哥廷根。伊達(dá)成年以后嫁給一位數(shù)學(xué)博士,，黎曼的這位從未謀面的女婿后來出任不來梅一所航海學(xué)校的校長,，把岳母和岳父唯一在世的姐姐（也叫伊達(dá)）接了過去。他們組建了一個(gè)大家庭,，兒孫的數(shù)目難以統(tǒng)計(jì),，黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中,。* 文中圖片未注明來源者均由作者提供 文章版權(quán)由《讀書》雜志所有 轉(zhuǎn)載授權(quán)請聯(lián)系后臺
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