PR(probability)意即概率,,又稱或然率,、機(jī)會(huì)率或機(jī)率。PR是數(shù)學(xué)概率論的基本概念,,是一個(gè)在0到1之間的實(shí)數(shù),,是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量。
概率的概念應(yīng)用在生活中可表示隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的量,,是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性,。
目錄
1歷史2概念3理論4應(yīng)用5數(shù)學(xué)處理表示概率分布概率計(jì)算總結(jié)6和隨機(jī)的關(guān)系
1歷史
第一個(gè)系統(tǒng)地推算概率的人是16世紀(jì)的卡爾達(dá)諾。記載在他的著作Liber de Ludo Aleae中,。書(shū)中關(guān)于概率的內(nèi)容是由Gould從拉丁文翻譯出來(lái)的,。
Cardano的數(shù)學(xué)著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫(xiě)成短文,。例如:《誰(shuí),,在什么時(shí)候,應(yīng)該賭博,?》,、《為什么亞里士多德譴責(zé)賭博,?》,、《那些教別人賭博的人是否也擅長(zhǎng)賭博呢,?》等。
然而,,首次提出系統(tǒng)研究概率的是在帕斯卡和費(fèi)馬來(lái)往的一系列信件中,。這些通信最初是由帕斯卡提出的,,他想找費(fèi)馬請(qǐng)教幾個(gè)關(guān)于由Chevalier de Méré提出的問(wèn)題。Chevalier de Méré是一知名作家,,路易十四宮廷的顯要,,也是一名狂熱的賭徒,。問(wèn)題主要是兩個(gè):擲骰問(wèn)題和比賽獎(jiǎng)金應(yīng)分配問(wèn)題,。
印度各地天災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)概率
2概念
在日常生活中,,我們常常會(huì)遇到一些涉及可能性或發(fā)生機(jī)會(huì)等概念的事件(event),。一個(gè)事件的可能性或一個(gè)事件的發(fā)生機(jī)會(huì)是與數(shù)學(xué)有關(guān)的,。例如:
“從一班40名學(xué)生中隨意選出一人,,這人是男生嗎,?”
事實(shí)上,,人們問(wèn)“……可能會(huì)發(fā)生嗎,?”時(shí),,他們是在關(guān)注這個(gè)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)。在數(shù)學(xué)上,,事件發(fā)生的機(jī)會(huì)可用一個(gè)數(shù)來(lái)表示。我們稱該數(shù)為概率(Probability),。
我們?nèi)粘K?jiàn)所聞的事件大致可分為兩種:
一種是確定性事件。確定性事件包含必然事件和不可能事件,。如太陽(yáng)從東方升起,,或者在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,,水在100℃時(shí)會(huì)沸騰。我們稱這些事件為必然事件。如擲一個(gè)普通的骰子,,向上一面的數(shù)字是7。我們稱這些事件為不可能事件,。
此外,有大量事件在一定條件下是否發(fā)生,,是無(wú)法確定的,。如明天的氣溫比今天低,、擲一枚硬幣得正面向上,,又或者在下一年度的NBA比賽中,,芝加哥公牛隊(duì)會(huì)奪得全年總冠軍,。像以上可能發(fā)生也可能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。
3理論
概率論是一種用正式的用語(yǔ)表達(dá)概率概念的方式,,這些詞語(yǔ)可以用數(shù)學(xué)及邏輯的規(guī)則處理,結(jié)果再轉(zhuǎn)換到和原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的領(lǐng)域。
至少有兩種成功的將概率公式化的理論,分別是柯?tīng)柲缏宸蚬交约翱伎怂构交?。在柯?tīng)柲缏宸蚬交▍⒖几怕士臻g)中,用集合代表事件,概率則是對(duì)集合的測(cè)度,。在考克斯定理中,,概率是不能再進(jìn)一步分析的基元,,強(qiáng)調(diào)在概率值及命題之間建立一致性的關(guān)系,。在二種公式化方法中,,概率公理都相同,,只有一些技術(shù)細(xì)節(jié)不同,。
有其他量度不確定性的方式,,例如Dempster-Shafer理論或是可能性理論,,但兩者都有本質(zhì)上的不同,,無(wú)法和一般了解的概率論相容,。
4應(yīng)用
概率的概念常常應(yīng)用在生活中,例如風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估及以金融市場(chǎng)的交易等,。政府也在環(huán)境法中應(yīng)用概率,,稱為路徑分析(pathway analysis)。例如中東沖突可能會(huì)對(duì)油價(jià)有某程度的影響,,而油價(jià)對(duì)世界經(jīng)濟(jì)可能會(huì)有漣漪效應(yīng)的影響,。某個(gè)油品交易商認(rèn)為中東沖突會(huì)使油價(jià)上升或下降,并將他的意見(jiàn)提供給其他交易商,。因此概率不是各自獨(dú)立的進(jìn)行評(píng)估,,評(píng)估的過(guò)程也不一定合理。行為經(jīng)濟(jì)學(xué)就是描述團(tuán)體迷思對(duì)定價(jià),、政策甚至和平或沖突的影響,。
有關(guān)概率評(píng)估及組合的嚴(yán)謹(jǐn)方式也改變了社會(huì)。對(duì)大部分的社會(huì)大眾而言,,重要的是了解概率評(píng)估的方式以及概率和決策之間的關(guān)系,。
概率理論另一個(gè)明顯的應(yīng)用是可靠度理論。像汽車及消費(fèi)性產(chǎn)品會(huì)在產(chǎn)品開(kāi)發(fā)時(shí)應(yīng)用可靠度理論來(lái)減少產(chǎn)品失效的概率,。失效概率會(huì)影響廠商在產(chǎn)品保用證上的決策,。
像自然語(yǔ)言處理中用的快取語(yǔ)言模型及其他語(yǔ)言模型等也屬于是概率理論的應(yīng)用。
5數(shù)學(xué)處理
事件A的概率一般會(huì)寫(xiě)成P(A),、p(A)或Pr(A),。概率的數(shù)學(xué)概念可延伸到無(wú)限的樣本空間甚至不可數(shù)的樣本空間,但需要用上概率測(cè)度的概念,。
概率的公理化定義將概率的相關(guān)范疇從具體問(wèn)題中抽象出來(lái),,從而可以在數(shù)學(xué)意義下考察概率的相關(guān)概念和由之引出的問(wèn)題。以下給出概率的公理化定義:
設(shè)隨機(jī)事件的樣本空間為Ω,,Ω的一個(gè)子集稱為事件,。對(duì)于Ω中的每一個(gè)事件A,都有實(shí)函數(shù)P(A),,滿足:
非負(fù)性:,;
規(guī)范性:
可數(shù)可加性:對(duì)可數(shù)個(gè)兩兩互斥事件{Ai}i∈N有:
任意一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)P都可以作為樣本空間Ω的概率函數(shù),稱函數(shù)值P(A)為Ω中事件A的概率,。
表示概率
一個(gè)事件的概率值通常以一個(gè)介于0到1的實(shí)數(shù)表示,。一個(gè)不可能事件其概率值為0,而確定事件其概率值則為1。 但反推并不一定成立,,也就是說(shuō)概率值為0的事件不表示它就是一個(gè)不可能事件,,同理,概率值為1的事件不表示它就一定發(fā)生,。例如,,在一個(gè)正方形內(nèi)作一條線段,由于這條線段的面積是0,,所以一個(gè)點(diǎn)落在這條線段上的概率就是0,,但它并不是不可能事件。
實(shí)際上大多數(shù)的概率值都是介于0與1之間的數(shù),,這個(gè)數(shù)示代表事件在'不可能發(fā)生'與'確定發(fā)生'之間的相對(duì)位置,。事件的概率值越接近1,事件發(fā)生的機(jī)會(huì)就越高,。
舉例來(lái)說(shuō),,假設(shè)兩個(gè)事件有相同的發(fā)生概率,就像被拋擲而落地的銅板不是正面向上就是反面向上一樣,,但是我們不能說(shuō):每2次拋擲會(huì)出現(xiàn)1次,,只能說(shuō)事件發(fā)生的概率是平均每2次出現(xiàn)一次,或說(shuō)是 "50%" 或 "1/2",。
分布
概率分布函數(shù)是一個(gè)把概率分配給事件或者命題的函數(shù),。對(duì)于任何一個(gè)事件或者命題,總有很多分配概率的方法,,所以選擇不同的分布等同于對(duì)一個(gè)問(wèn)題中的事件或者命題作出不同的假設(shè),。
分布還可分為“離散”和“連續(xù)”的。
概率計(jì)算總結(jié)
概率計(jì)算總結(jié)
事件概率
A
非A
A或B
A和B
B的情況下A的概率
6和隨機(jī)的關(guān)系
在牛頓力學(xué)的概念中,,決定論的世界中,,若所有條件都是已知,都沒(méi)有任何概率性的成分在內(nèi)(拉普拉斯的惡魔),,不過(guò)有可能一些系統(tǒng)對(duì)初始條件敏感,,敏感程度甚至到超過(guò)可能量測(cè)的范圍。以俄羅斯輪盤(pán)為例,,若手的施力,,出力的時(shí)間等資訊已知,輪盤(pán)最后停止的位置是可以計(jì)算而得的,,不過(guò)此時(shí)需要知道輪盤(pán)的慣量及摩擦系數(shù),,球的質(zhì)量、光滑度及圓度,,出力過(guò)程中手速度的變化等。此時(shí),相較于用牛頓力學(xué)的方式分析,,概率性的描述可能更適合描述重復(fù)玩數(shù)次俄羅斯輪盤(pán)的結(jié)果,。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)在氣體動(dòng)力論中也有類似的情形,,系統(tǒng)理論上是確定的,,但因?yàn)闅怏w分子個(gè)數(shù)約和阿伏伽德羅常數(shù)6.02·1023量級(jí)相當(dāng),因此也只能用概率性的描述,。
在描述量子理論時(shí)一定會(huì)用到概率論,。二十世紀(jì)初期,物理學(xué)界有一個(gè)革命性發(fā)現(xiàn),,所有次原子層級(jí)的物理過(guò)程有隨機(jī)性,,依循量子力學(xué)。物理的波函數(shù)是確定的,,是數(shù)個(gè)狀態(tài)的疊加,,但根據(jù)哥本哈根詮釋,觀察會(huì)帶來(lái)波函數(shù)塌縮,,因此只能觀察到其中一個(gè)狀態(tài),。不過(guò)這種缺乏決定論的觀點(diǎn)未受到所有人的同意。愛(ài)因斯坦在給馬克斯·玻恩的信上提到“我相信上帝不會(huì)玩骰子,?!薄6l(fā)現(xiàn)波函數(shù)的埃爾溫·薛定諤認(rèn)為量子力學(xué)只是內(nèi)部決定論狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)近似,。在近代的詮釋中,,量子退相干有相當(dāng)?shù)母怕市再|(zhì)。
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從隨機(jī)現(xiàn)象說(shuō)起
在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中,,一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的,。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中,根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系,,可以分成截然不同的兩大類:一類是確定性的現(xiàn)象,。這類現(xiàn)象是在一定條件下,必定會(huì)導(dǎo)致某種確定的結(jié)果,。舉例來(lái)說(shuō),,在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100攝氏度,,就必然會(huì)沸騰,。事物間的這種聯(lián)系是屬於必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專門(mén)研究和認(rèn)識(shí)這種必然性的,,尋求這類必然現(xiàn)象的因果關(guān)系,,把握它們之間的數(shù)量規(guī)律。
另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下,,它的結(jié)果是不確定的,。舉例來(lái)說(shuō),同一個(gè)工人在同一臺(tái)機(jī)床上加工同一種零件若干個(gè),,它們的尺寸總會(huì)有一點(diǎn)差異,。又如,在同樣條件下,,進(jìn)行小麥品種的人工催芽試驗(yàn),,各棵種子的發(fā)芽情況也不盡相同,有強(qiáng)弱和早晚的分別等等,。為什麼在相同的情況下,,會(huì)出現(xiàn)這種不確定的結(jié)果呢?這是因?yàn)?,我們說(shuō)的「相同條件」是指一些主要條件來(lái)說(shuō)的,,除了這些主要條件外,還會(huì)有許多次要條件和偶然因素又是人們無(wú)法事先一一能夠掌握的,。正因?yàn)檫@樣,,我們?cè)谶@一類現(xiàn)象中,就無(wú)法用必然性的因果關(guān)系,,對(duì)個(gè)別現(xiàn)象的結(jié)果事先做出確定的答案,。事物間的這種關(guān)系是屬於偶然性的,這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象,,或者叫做隨機(jī)現(xiàn)象,。
在自然界,在生產(chǎn),、生活中,,隨機(jī)現(xiàn)象十分普遍,也就是說(shuō)隨機(jī)現(xiàn)象是大量存在的,。比如:每期體育彩票的中獎(jiǎng)號(hào)碼,、同一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等,都是隨機(jī)現(xiàn)象,。因此,,我們說(shuō):隨機(jī)現(xiàn)象就是:在同樣條件下,多次進(jìn)行同一試驗(yàn)或調(diào)查同一現(xiàn)象,,所的結(jié)果不完全一樣,,而且無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)下一次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性,,是由於一些次要的,、偶然的因素影響所造成的,。
隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看,似乎是雜亂無(wú)章的,、沒(méi)有什麼規(guī)律的現(xiàn)象,。但實(shí)踐證明,如果同類的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn),,它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性,,隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯,。比如擲硬幣,每一次投擲很難判斷是那一面朝上,,但是如果多次重復(fù)的擲這枚硬幣,,就會(huì)越來(lái)越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。
我們把這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的集體規(guī)律性,,叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。
概率論的產(chǎn)生和發(fā)展
概率論產(chǎn)生於十七世紀(jì),,本來(lái)是又保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的,,但是來(lái)自於賭博者的請(qǐng)求,卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問(wèn)題的源泉,。
早在1654年,,有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題:「兩個(gè)賭徒相約賭若干局,誰(shuí)先贏 m局就算贏,,全部賭本就歸誰(shuí),。但是當(dāng)其中一個(gè)人贏了 a (a
三年後,也就是1657年,,荷蘭著名的天文,、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題,結(jié)果寫(xiě)成了《論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算》一書(shū),,這就是最早的概率論著作,。
近幾十年來(lái),隨著科技的蓬勃發(fā)展,,概率論大量應(yīng)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì),、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué),,如信息論,、對(duì)策論、排隊(duì)論,、控制論等,,都是以概率論作為基礎(chǔ)的,。
概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)隨機(jī)數(shù)學(xué)分支,它們是密切聯(lián)系的同類學(xué)科,。但是應(yīng)該指出,,概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì),、統(tǒng)計(jì)方法又都各有它們自己所包含的不同內(nèi)容,。
概率論——是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷,,對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述,;比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯(lián)系,,從而形成一整套數(shù)學(xué)理論和方法,。
數(shù)理統(tǒng)計(jì)——是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性;對(duì)通過(guò)科學(xué)安排的一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論證明,;并判定各種方法應(yīng)用的條件以及方法,、公式、結(jié)論的可靠程度和局限性,。使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當(dāng)大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的,,并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率。
統(tǒng)計(jì)方法——是一上提供的方法在各種具體問(wèn)題中的應(yīng)用,,它不去注意這些方法的的理論根據(jù),、數(shù)學(xué)論證。
應(yīng)該指出,,概率統(tǒng)計(jì)在研究方法上有它的特殊性,,和其它數(shù)學(xué)學(xué)科的主要不同點(diǎn)有:
第一,由於隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種集體規(guī)律,,必須在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)出來(lái),,所以,觀察,、試驗(yàn),、調(diào)查就是概率統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科研究方法的基石。但是,,作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支,,它依然具有本學(xué)科的定義、公理,、定理的,,這些定義、公理,、定理是來(lái)源於自然界的隨機(jī)規(guī)律,但這些定義、公理,、定理是確定的,不存在任何隨機(jī)性,。
第二,在研究概率統(tǒng)計(jì)中,,使用的是「由部分推斷全體」的統(tǒng)計(jì)推斷方法,。這是因?yàn)樗芯康膶?duì)象——隨機(jī)現(xiàn)象的范圍是很大的,在進(jìn)行試驗(yàn),、觀測(cè)的時(shí)候,,不可能也不必要全部進(jìn)行。但是由這一部分資料所得出的一些結(jié)論,,要全體范圍內(nèi)推斷這些結(jié)論的可靠性。
第三,,隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性,,是指試驗(yàn)、調(diào)查之前來(lái)說(shuō)的,。而真正得出結(jié)果後,,對(duì)於每一次試驗(yàn),它只可能得到這些不確定結(jié)果中的某一種確定結(jié)果,。我們?cè)谘芯窟@一現(xiàn)象時(shí),,應(yīng)當(dāng)注意在試驗(yàn)前能不能對(duì)這一現(xiàn)象找出它本身的內(nèi)在規(guī)律。
概率論的內(nèi)容
概率論作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支,,它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī)事件的概率,、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和更深層次上的規(guī)律性。
概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo),。在獨(dú)立隨機(jī)事件中,,如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率,在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近,。就可以認(rèn)為這個(gè)事件發(fā)生的概率為這個(gè)常數(shù),。對(duì)於任何事件的概率值一定介於 0和 1之間。
有一類隨機(jī)事件,,它具有兩個(gè)特點(diǎn):第一,,只有有限個(gè)可能的結(jié)果;第二,,各個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同,。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象叫做「古典概型」。
在客觀世界中,,存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象,,隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件,。如果用變量來(lái)描述隨機(jī)現(xiàn)象的各個(gè)結(jié)果,就叫做隨機(jī)變量,。
隨機(jī)變量有有限和無(wú)限的區(qū)分,,一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉,,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量,;如果可能的取值充滿了一個(gè)區(qū)間,無(wú)法按次序一一列舉,,這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量,。
在離散型隨機(jī)變量的概率分布中,比較簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的是二項(xiàng)式分布,。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的,,都有一個(gè)分布曲線,實(shí)踐和理論都證明:有一種特殊而常用的分布,,它的分布曲線是有規(guī)律的,,這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決於這個(gè)隨機(jī)變量的一些表徵數(shù),,其中最重要的是平均值和差異度,。平均值也叫數(shù)學(xué)期望,差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差,。
數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容
數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括抽樣,、適線問(wèn)題、假設(shè)檢驗(yàn),、方差分析,、相關(guān)分析等內(nèi)容。抽樣檢驗(yàn)是要通過(guò)對(duì)子樣的調(diào)查,,來(lái)推斷總體的情況,。究竟抽樣多少,這是十分重要的問(wèn)題,,因此,,在抽樣檢查中就產(chǎn)生了「小樣理論」,這是在子樣很小的情況下,,進(jìn)行分析判斷的理論,。
適線問(wèn)題也叫曲線擬和。有些問(wèn)題需要根據(jù)積累的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)求出理論分布曲線,,從而使整個(gè)問(wèn)題得到瞭解,。但根據(jù)什麼原則求理論曲線?如何比較同一問(wèn)題中求出的幾種不同曲線,?選配好曲線,,有如何判斷它們的誤差,?……就屬於數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的適線問(wèn)題的討論范圍。
假設(shè)檢驗(yàn)是只在用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)產(chǎn)品的時(shí)候,,先作出假設(shè),,在根據(jù)抽樣的結(jié)果在一定可靠程度上對(duì)原假設(shè)做出判斷。
方差分析也叫做離差分析,,就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗(yàn)就可以做出的判斷,。
由於隨機(jī)現(xiàn)象在人類的實(shí)際活動(dòng)中大量存在,概率統(tǒng)計(jì)隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè),、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展,,因而形成了許多重要分支。如:隨機(jī)過(guò)程,、信息論,、極限理論、試驗(yàn)設(shè)計(jì),、多元分析等,。
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