所謂“行星”模型指衛(wèi)星繞中心天體,，或核外電子繞原子旋轉(zhuǎn)。它們隸屬圓周運動,，但涉及到力,、電、能知識,，屬于每年高考必考內(nèi)容,。

例1. 已知氫原子處于基態(tài)時，核外電子繞核運動的軌道半徑,，則氫原子處于量子數(shù)1,、2、3,，核外電子繞核運動的速度之比和周期之比為：（ ）

A. ,；

B. 

C. 

D. 以上答案均不對。

解析：根據(jù)經(jīng)典理論,，氫原子核外電子繞核作勻速率圓周運動時,，由庫侖力提供向心力。

即,，從而得

線速度為

周期為

又根據(jù)玻爾理論,，對應(yīng)于不同量子數(shù)的軌道半徑與基態(tài)時軌道半徑r₁有下述關(guān)系式：。

由以上幾式可得v的通式為：

所以電子在第1,、2,、3不同軌道上運動速度之比為：

而周期的通式為：

所以，電子在第1,、2,、3不同軌道上運動周期之比為：

由此可知，只有選項B是正確的,。

例2. 衛(wèi)星做圓周運動,，由于大氣阻力的作用，其軌道的高度將逐漸變化（由于高度變化很緩慢，變化過程中的任一時刻,，仍可認為衛(wèi)星滿足勻速圓周運動的規(guī)律）,，下述關(guān)于衛(wèi)星運動的一些物理量的變化情況正確的是：（ ）

A. 線速度減小,；

B. 軌道半徑增大,；

C. 向心加速度增大；

D. 周期增大,。

解析：假設(shè)軌道半徑不變,，由于大氣阻力使線速度減小，因而需要的向心力減小,，而提供向心力的萬有引力不變,，故提供的向心力大于需要的向心力，衛(wèi)星將做向心運動而使軌道半徑減小,，由于衛(wèi)星在變軌后的軌道上運動時,，滿足，故增大而T減小,，又，故a增大,，則選項C正確,。

評點：一般情況下運行的衛(wèi)星，其所受萬有引力不剛好提供向心力,，此時,，衛(wèi)星的運動速率及軌道半徑就要發(fā)生變化，萬有引力做功,，我們將其稱為不穩(wěn)定運動即變軌運動,；而當它所受萬有引力剛好提供向心力時，它的運行速率就不再發(fā)生變化,，軌道半徑確定不變從而做勻速圓周運動,，我們稱為穩(wěn)定運行。

對于穩(wěn)定運動狀態(tài)的衛(wèi)星,，(1)運行速率不變,；(2)軌道半徑不變；(3)萬有引力提供向心力,，即成立,，其運行速度與其運動軌道處于一一對應(yīng)關(guān)系，即每一軌道都有一確定速度相對應(yīng),。而不穩(wěn)定運行的衛(wèi)星則不具備上述關(guān)系,，其運行速率和軌道半徑都在發(fā)生著變化。

［模型要點］

人造衛(wèi)星的運動屬于宏觀現(xiàn)象，氫原子中電子的運動屬于微觀現(xiàn)象,，由于支配衛(wèi)星和電子運動的力遵循平方反比律,，即，故它們在物理模型上和運動規(guī)律的描述上有相似點,。

［特別說明］

一. 線速度與軌道半徑的關(guān)系

設(shè)地球的質(zhì)量為M,，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星在半徑為r的軌道上運行,，其線速度為v,，可知，從而,。

設(shè)質(zhì)量為,、帶電量為e的電子在第n條可能軌道上運動，其線速度大小為v,，則有,，從而。

可見,，衛(wèi)星或電子的線速度都與軌道半徑的平方根成反比,。

二. 動能與軌道半徑的關(guān)系

衛(wèi)星運動的動能為。

氫原子核外電子運動的動能為：

可見,，在這兩類現(xiàn)象中,，衛(wèi)星與電子的動能都與軌道半徑成反比。

三. 運動周期與軌道半徑的關(guān)系

對衛(wèi)星而言,，,，將v與r的關(guān)系式代入，得,。

對于電子,，同樣可得到這個關(guān)系式。

該式即為開普勒第三定律,，解題時可以直接使用,。

四. 能量與軌道半徑的關(guān)系

運動物體能量等于其動能與勢能之和，即,。

從離地球較遠軌道向離地球較近軌道運動,，萬有引力做正功，勢能減少,，動能增大,，總能量減少

從離氫原子較遠軌道向離氫原子較近軌道運動，庫侖力做正功,，電勢能減少,，動能增大，總能量減少。

推論：衛(wèi)星（或電子）的軌道半徑與衛(wèi)星（或電子）在該軌道上的能量的乘積不變,。

由于描述運動規(guī)律的各物理量都是軌道半徑r的函數(shù),，故各個物理量之間的關(guān)系都可以通過r這個橋梁來相互轉(zhuǎn)化，一個量變化,，其他各量都隨之變化,。

五. 地球同步衛(wèi)星

1. 地球同步衛(wèi)星的軌道平面：非同步人造地球衛(wèi)星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛(wèi)星一定位于赤道的正上方,，不可能在與赤道平行的其他平面上,。

2. 地球同步衛(wèi)星的周期：地球同步衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。

3. 地球同步衛(wèi)星的軌道半徑：據(jù)牛頓第二定律有與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,，所以地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為,。其離地面高度也是一定的，距地面高度處,。

4. 地球同步衛(wèi)星的線速度：地球同步衛(wèi)星的線速度大小為,，為定值，繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,。

［誤區(qū)點撥］

天體運動問題：人造衛(wèi)星的軌道半徑與中心天體半徑的區(qū)別,；人造衛(wèi)星的發(fā)射速度和運行速度；衛(wèi)星的穩(wěn)定運行和變軌運動,；赤道上的物體與近地衛(wèi)星的區(qū)別,；衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的區(qū)別。

人造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度是指把衛(wèi)星從地球上發(fā)射出去的速度,，速度越大，發(fā)射得越遠,，發(fā)射的最小速度,，恰好是在地球表面附近的環(huán)繞速度，但人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中要克服地球引力做功,，增大勢能,，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠的軌道上，在地面上所需要的發(fā)射速度就越大,。

混淆連續(xù)物和衛(wèi)星群：連續(xù)物是指和天體連在一起的物體,，其角速度和天體相同，而對衛(wèi)星來講,，其線速度,。

雙星系統(tǒng)中的向心力中的距離與圓周運動中的距離的差別。

［模型演練］

經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測,，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng),，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體組成,，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離,，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當作孤立系統(tǒng)來處理,。

現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定,；該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L,，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動,。

（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期；

（2）若實驗中觀測到的運動周期為,，且,。

為了理解與的不同，目前有一種流行的理論認為,，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質(zhì),。作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì),。若不考慮其他暗物質(zhì)的影響,，請根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

答案：（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動,，設(shè)運動的速率為v,，得：

（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期：

這種差異是由雙星系統(tǒng)（類似一個球）內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的,，均勻分布雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用,，與一個質(zhì)點（質(zhì)點的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量且位于中點O處）的作用相同?？紤]暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度,，則有：

因為周長一定時，周期和速度成反比,，得：

有以上各式得

設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為,，則有