作為當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的重要議題,，對(duì)數(shù)學(xué)真理困境的求解始終是數(shù)學(xué)實(shí)在論和反實(shí)在論的論爭(zhēng)焦點(diǎn)。隨著求解該困境的不斷深入,，當(dāng)代數(shù)學(xué)實(shí)在論與數(shù)學(xué)反實(shí)在論之爭(zhēng)也不斷升溫,，各自面臨的新難題又反映為該困境在當(dāng)代哲學(xué)視閾下的進(jìn)一步升級(jí)。數(shù)學(xué)實(shí)在論作為探討數(shù)學(xué)本質(zhì)的特定視界,，不僅能確保數(shù)學(xué)家在一個(gè)確定的,、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上開(kāi)展工作，而且為科學(xué)家把數(shù)學(xué)直接應(yīng)用于科學(xué)探索活動(dòng)中奠定了堅(jiān)實(shí)的哲學(xué)基礎(chǔ),。因此,，本書(shū)主要著眼于剖析當(dāng)代數(shù)學(xué)實(shí)在論發(fā)展現(xiàn)狀及其難題，深入透視其最新發(fā)展和進(jìn)路,，以數(shù)學(xué)與科學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)挖掘數(shù)學(xué)與科學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián),，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為數(shù)學(xué)與科學(xué)提供恰當(dāng)?shù)摹⒁恢碌谋倔w論,、認(rèn)識(shí)論以及語(yǔ)義說(shuō)明,，為數(shù)學(xué)真理困境尋求可能的出路。

數(shù)學(xué)真理觀的變遷

對(duì)數(shù)學(xué)真理的探尋與反思一直是數(shù)學(xué)哲學(xué)家研究的主要?jiǎng)恿?，也是?shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心內(nèi)容,。回答“什么是數(shù)學(xué)真理”這一問(wèn)題,，關(guān)鍵在于如何為數(shù)學(xué)本體進(jìn)行定位,。前溯至古希臘時(shí)期，柏拉圖秉承畢達(dá)哥拉斯萬(wàn)物皆數(shù)的觀念,，提出數(shù)學(xué)是一類(lèi)特殊對(duì)象（抽象對(duì)象）,，獨(dú)立于物理實(shí)例以及人類(lèi)思想而存在。與之相反,，亞里士多德則強(qiáng)調(diào)數(shù)的從物屬性,，主張數(shù)學(xué)應(yīng)如日常對(duì)象那樣得到分析?；诎乩瓐D與亞里士多德對(duì)數(shù)學(xué)先物/從物的不同定位,，對(duì)其后各時(shí)期數(shù)學(xué)真理觀的形成與變遷都具有深刻影響。

這兩大傳統(tǒng)之間的沖突直至近代在康德那里得到整合,?？档聦?shù)學(xué)定位為先天綜合判斷，試圖在先物與從物之間找到一條中間道路,，為數(shù)學(xué)知識(shí)何以可能提供直觀說(shuō)明,。康德的《純粹理性批判》之后直到蒯因的“兩個(gè)教條”,，關(guān)于數(shù)學(xué)是先天綜合的這一論斷是否正確成為定位數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)論題,。經(jīng)驗(yàn)主義對(duì)此提出否定，主張數(shù)學(xué)真理不是先天綜合的,，要么是分析的,，要么只能是經(jīng)驗(yàn)的。邏輯主義及某些版本的形式主義等基礎(chǔ)主義采取了第一種選擇,，密爾等經(jīng)驗(yàn)主義者則采取第二種選擇,。20世紀(jì)30年代初哥德?tīng)柼岢龅牟煌耆远ɡ硇媪嘶谶壿嫽⑿问交?、封閉性和完備性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義計(jì)劃無(wú)法實(shí)現(xiàn),。另一方面，經(jīng)驗(yàn)主義面臨的難題是,，如果所有數(shù)學(xué)知識(shí)都是基于對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納概括,，那么數(shù)學(xué)在極限上的精確性和可能性從何而來(lái),？

由此對(duì)數(shù)學(xué)本體先物/從物的定位，呈現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析/綜合定位的不同真理觀,，哲學(xué)家研究的重點(diǎn)由單純考察數(shù)學(xué)本體特征,，轉(zhuǎn)移到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得與把握之上。在維特根斯坦的影響下,，數(shù)學(xué)哲學(xué)中也出現(xiàn)了語(yǔ)言學(xué)轉(zhuǎn)向,，卡爾納普將數(shù)學(xué)視為一種語(yǔ)言，將數(shù)學(xué)真理視為由語(yǔ)言約定而來(lái)的真理,。但數(shù)學(xué)的約定真理定位,，遭到蒯因?yàn)榇淼慕?jīng)驗(yàn)主義與哥德?tīng)柣谥庇X(jué)概念的批判。蒯因強(qiáng)調(diào)所謂先天的與后天的,、分析的與綜合的真理之間沒(méi)有明確界限,，提倡用包括邏輯、數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的整個(gè)信念網(wǎng)絡(luò)來(lái)應(yīng)對(duì)自然,，主張所有真理都應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)決定,。哥德?tīng)杽t根據(jù)不完全性定理指出，數(shù)學(xué)真理的內(nèi)容要超出任何可能的語(yǔ)言約定,，它是關(guān)于一個(gè)獨(dú)立于物質(zhì)世界,，也獨(dú)立于我們心靈的數(shù)學(xué)世界的真理。哥德?tīng)柊褜?duì)數(shù)學(xué)真理的認(rèn)識(shí)理解為基于我們對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的直覺(jué),，試圖對(duì)這種所謂的數(shù)學(xué)直覺(jué)做出合理說(shuō)明,。盡管蒯因與哥德?tīng)柸绾潍@得數(shù)學(xué)知識(shí)的解釋各異，但都直接或間接地?fù)碜o(hù)數(shù)學(xué)真理的客觀實(shí)在性,。與之相對(duì),，一些哲學(xué)家在數(shù)學(xué)本體與真理性問(wèn)題上放棄了對(duì)客觀實(shí)在性的要求。以布勞維爾為代表的直覺(jué)主義者提出,，數(shù)學(xué)沒(méi)有邏輯上的推演或預(yù)先存在的基礎(chǔ)，而是依賴直覺(jué)獲得的,、純粹心靈的構(gòu)造物,。社會(huì)建構(gòu)論者則指出數(shù)學(xué)只是數(shù)學(xué)家們的行為，是實(shí)踐過(guò)程中人類(lèi)思想的自由創(chuàng)造物,。

縱觀不同時(shí)期哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)真理的揭示,，從最初關(guān)注數(shù)學(xué)本體的定位到向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解釋的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移，實(shí)質(zhì)上正是數(shù)學(xué)實(shí)在論與反實(shí)在論在本體論,、認(rèn)識(shí)論與語(yǔ)義學(xué)等不同層面的理論探索,。以此為基礎(chǔ)，我們可把現(xiàn)有數(shù)學(xué)真理解釋大致歸為兩大類(lèi)：一類(lèi)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理的實(shí)在性和客觀性,，認(rèn)為數(shù)學(xué)真理不依賴于人腦的意識(shí)而存在,，這一思想最早可以追溯到柏拉圖，并得到大多數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)在論者的擁護(hù)，如哥德?tīng)?、蒯因,、弗雷格等，盡管對(duì)數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)有不同定位,，但其基本立場(chǎng)是一致的,，即數(shù)學(xué)的真理性以數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性為基本前提，無(wú)論是一種先物真理,、概念真理還是經(jīng)驗(yàn)真理,，他們都承認(rèn)數(shù)學(xué)真理的實(shí)在性和客觀性，為數(shù)學(xué)提供的是一種實(shí)在論的真理解釋?zhuān)涣硪活?lèi)真理解釋則反對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的客觀存在性,，反對(duì)把數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性作為數(shù)學(xué)真理的基本前提,。當(dāng)然，在這種共識(shí)下,，這兩類(lèi)數(shù)學(xué)真理解釋間存在著很大差異,。比如希爾伯特的形式主義強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的真理性在于數(shù)學(xué)形式體系的一致性，從而也承認(rèn)數(shù)學(xué)真理具有客觀性,，而卡爾納普的約定論則主張數(shù)學(xué)的真理性在于數(shù)學(xué)語(yǔ)言框架內(nèi)部的協(xié)調(diào)性,，直覺(jué)主義者和建構(gòu)論者則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理是人類(lèi)智能的結(jié)晶。但可以肯定的一點(diǎn)是,，他們一致地否認(rèn)數(shù)學(xué)實(shí)體的存在性,，為數(shù)學(xué)提供的是一種反實(shí)在論的真理解釋。兩類(lèi)數(shù)學(xué)真理解釋的本質(zhì)差異是實(shí)在論與反實(shí)在論之爭(zhēng)在數(shù)學(xué)真理性問(wèn)題上的體現(xiàn),。

數(shù)學(xué)真理困境的凸現(xiàn)

可以說(shuō),，實(shí)在論與反實(shí)在論的數(shù)學(xué)真理觀影響著整個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的進(jìn)展，而且在一定程度上指導(dǎo)著數(shù)學(xué)家的研究方法和工作思路,。比如實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的出現(xiàn),，使得數(shù)學(xué)研究工作在“證明”之外，引入了同一般自然科學(xué)相同的實(shí)驗(yàn)方法,；又如在微分方程研究領(lǐng)域中數(shù)學(xué)工作者大量使用構(gòu)造的方法去探索新的結(jié)果,。越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者也逐漸開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)的“證明”方法和“構(gòu)造”方法的可靠性和真理性，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)部展開(kāi)了對(duì)數(shù)學(xué)真理性問(wèn)題的討論,，并進(jìn)一步延伸到數(shù)學(xué)實(shí)在論與數(shù)學(xué)反實(shí)在論的論爭(zhēng)之中,。

正是在這樣的背景下，貝納塞拉夫意識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)在論與數(shù)學(xué)反實(shí)在論之爭(zhēng)對(duì)于闡明數(shù)學(xué)真理本質(zhì)所帶來(lái)的便利及困惑,。他把問(wèn)題的關(guān)鍵聚焦于數(shù)學(xué)的語(yǔ)言學(xué)轉(zhuǎn)向之上,，通過(guò)對(duì)這兩類(lèi)真理觀的深入考察，指出人們對(duì)于數(shù)學(xué)真理的解釋所遇到的困境之所在,。他從全面的哲學(xué)立場(chǎng),，探討了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)哲學(xué)為數(shù)學(xué)真理提供的解釋?xiě)?yīng)該符合怎樣的條件,。在1973年發(fā)表的題為“數(shù)學(xué)真理”的論文中，他指出對(duì)“什么是數(shù)學(xué)真理”這一問(wèn)題的回答,，完全依賴于人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的不同解釋,。這些解釋出于兩種截然不同的考慮，一種是想要有一種齊一的語(yǔ)義學(xué)理論,，關(guān)于數(shù)學(xué)命題的語(yǔ)義學(xué)與關(guān)于語(yǔ)言中其余部分的語(yǔ)義學(xué)并行不悖,；而另一種是想要使數(shù)學(xué)真理的解釋與一種合理的認(rèn)識(shí)論緊密地吻合。在他看來(lái),，“幾乎所有關(guān)于數(shù)學(xué)真理概念的解釋?zhuān)伎杀豢醋魇欠钚羞@兩種考慮中的某一個(gè),，而舍棄了另一個(gè)”。①比如實(shí)在論的真理解釋認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象是客觀存在的,，是不依賴于人腦的意識(shí)而存在的,，因而數(shù)學(xué)命題應(yīng)該與其他科學(xué)語(yǔ)言的命題具有齊一的語(yǔ)義解釋。這種以類(lèi)似的方法看待數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)命題的真理解釋?zhuān)冻龅拇鷥r(jià)是無(wú)法對(duì)“我們?nèi)绾文塬@得數(shù)學(xué)知識(shí)”這個(gè)問(wèn)題做出恰當(dāng)?shù)恼f(shuō)明,。而反實(shí)在論則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理必須具有合理的認(rèn)識(shí)論意義,，這樣做所付出的代價(jià)是不能將這些條件與真正的真值條件聯(lián)結(jié)起來(lái)。目前關(guān)于數(shù)學(xué)真理的解釋要么是實(shí)在論的,，要么是反實(shí)在論的,，這就形成了關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的兩類(lèi)完全不同的理論。而實(shí)在論與反實(shí)在論的解釋從本質(zhì)上是不相容的,，選擇其中一種對(duì)數(shù)學(xué)真理的解釋必然會(huì)以放棄另一種解釋為代價(jià),，這一兩難境地被人們稱為貝納塞拉夫的“數(shù)學(xué)真理困境”。

數(shù)學(xué)真理困境的求解路向

數(shù)學(xué)真理困境的提出不僅與數(shù)學(xué)實(shí)在論和反實(shí)在論之爭(zhēng)本質(zhì)相關(guān),，更為突出的特點(diǎn)是它關(guān)注數(shù)學(xué)與科學(xué)的關(guān)系,，要求為數(shù)學(xué)與科學(xué)提供一致的真理解釋理論。因此對(duì)數(shù)學(xué)與科學(xué)如何定位成為數(shù)學(xué)實(shí)在論與反實(shí)在論求解該困境的根本出發(fā)點(diǎn),?？疾烨蠼庠摾Ь车母鞣N進(jìn)路，表現(xiàn)為基于“科學(xué)”,、基于“自然”,、基于“語(yǔ)言”、基于“語(yǔ)境”與基于“數(shù)學(xué)”的不同定位,。

基于“科學(xué)”是以科學(xué)實(shí)在論為標(biāo)準(zhǔn)或依賴科學(xué)實(shí)在論來(lái)闡釋數(shù)學(xué)真理。蒯因,、普特南,、菲爾德等都是這一選擇下的代表。以科學(xué)實(shí)在論為基礎(chǔ),，蒯因,、普特南提出著名的不可或缺性論證,，指出數(shù)學(xué)對(duì)于科學(xué)是不可或缺的，因此可由科學(xué)的實(shí)在性確保數(shù)學(xué)的實(shí)在性,。菲爾德,、葉峰等則因?qū)?shù)學(xué)的解釋不能滿足其對(duì)科學(xué)實(shí)在論的強(qiáng)預(yù)設(shè)反對(duì)數(shù)學(xué)的不可或缺性與數(shù)學(xué)的實(shí)在性，從而提出數(shù)學(xué)虛構(gòu)主義的反實(shí)在論,。如菲爾德在其1980年的著作《沒(méi)有數(shù)的科學(xué)：一種唯名論的辯護(hù)》及1989年著作《實(shí)在論,、數(shù)學(xué)與模態(tài)》試圖以時(shí)空點(diǎn)等基本物理概念重新書(shū)寫(xiě)經(jīng)典力學(xué)，以完全代替數(shù)學(xué)在物理中的作用,。對(duì)數(shù)學(xué)真理的徹底放棄是對(duì)數(shù)學(xué)真理困境的逃避,，其方案的可行性與必要性也受到廣泛質(zhì)疑。

基于“自然”是以數(shù)學(xué)的自然主義為宗旨,，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)自身發(fā)生,、發(fā)展所蘊(yùn)含的哲學(xué)意義。絕大多數(shù)數(shù)學(xué)哲學(xué)家都宣稱自己秉承著這一原則,，但一以貫之的哲學(xué)家是麥蒂,。1990年麥蒂在《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論》一書(shū)中，對(duì)傳統(tǒng)柏拉圖主義進(jìn)行修正,，運(yùn)用“集合實(shí)在論”將數(shù)學(xué)與感知更為緊密地聯(lián)系在一起,，但對(duì)集合論的依賴會(huì)面臨數(shù)學(xué)真理的可判定性問(wèn)題。1997年麥蒂修正了其集合實(shí)在論思想,，在《數(shù)學(xué)中的自然主義》中提出數(shù)學(xué)的自然主義,，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)蒯因自然主義的科學(xué)實(shí)在論對(duì)于闡釋數(shù)學(xué)實(shí)在論的重要意義，指出自然主義的基本特性是拒斥一切理論之上的或外部的評(píng)價(jià),。于2007年著作《第二哲學(xué)：一種自然化的方法》中她把自然主義貫徹到底,，將實(shí)踐中數(shù)學(xué)方法置于哲學(xué)問(wèn)題的首位。但割裂數(shù)學(xué)與科學(xué)之間的聯(lián)系,，麥蒂仍需進(jìn)一步說(shuō)明何以數(shù)學(xué)如此特殊,，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)實(shí)踐為什么不像其他“非科學(xué)”的方法和實(shí)踐那樣受外在觀點(diǎn)的批評(píng)。

基于“語(yǔ)言”強(qiáng)調(diào)語(yǔ)言在闡釋本體論問(wèn)題上的理論優(yōu)位,。賴特和黑爾在其著作《弗雷格的作為對(duì)象的數(shù)概念》中提出了新弗雷格主義進(jìn)路,，試圖重新賦予邏輯以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的地位，對(duì)數(shù)學(xué)真理困境做出回應(yīng),，指出依據(jù)抽象原則,、語(yǔ)境原則以及類(lèi)包含原則，能夠?yàn)閿?shù)字概念的獲得提供語(yǔ)言學(xué)說(shuō)明,，但最終仍未逃脫“凱撒難題”的進(jìn)一步拷問(wèn),。

基于“語(yǔ)境”是把語(yǔ)境上升為整個(gè)世界觀。將語(yǔ)境作數(shù)學(xué)與科學(xué)共同的探討基底,，嘗試為數(shù)學(xué)與科學(xué)提供一致的語(yǔ)境論解釋,。1981年施萊格爾在《哲學(xué)與現(xiàn)象學(xué)研究》發(fā)表題為“語(yǔ)境實(shí)在論”的論文,，首次提出使用“語(yǔ)境實(shí)在”的概念為科學(xué)實(shí)在論辯護(hù)，并在其1986年出版的同名專(zhuān)著中介紹了語(yǔ)境實(shí)在論作為現(xiàn)代科學(xué)的一種形而上學(xué)綱領(lǐng)在知識(shí)和真理性問(wèn)題上的基本特征,。1997年山西大學(xué)郭貴春教授在《哲學(xué)研究》上發(fā)表了《論語(yǔ)境》,，指出語(yǔ)境實(shí)在論的提出既是實(shí)在論自身構(gòu)建的需要，又是實(shí)在論與反實(shí)在論論爭(zhēng)的迫切要求,，它不可避免地成為實(shí)在論發(fā)展的一個(gè)極有前途的趨向,。2009年郭貴春、康仕慧發(fā)表《走向語(yǔ)境論世界觀的數(shù)學(xué)哲學(xué)》一文,，試圖為數(shù)學(xué)本質(zhì),、數(shù)學(xué)的實(shí)在性提供一種語(yǔ)境范式。運(yùn)用語(yǔ)境分析方法能夠?yàn)閿?shù)學(xué)和科學(xué)提供一致的語(yǔ)義解釋和認(rèn)識(shí)論說(shuō)明,，使數(shù)學(xué)語(yǔ)言與一般的自然科學(xué)語(yǔ)言具有同樣的地位,。但語(yǔ)境論在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)在性的解釋中無(wú)法揭示對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)與把握過(guò)程，只能是對(duì)已有理論進(jìn)行詮釋與解讀,，欠缺有效論證,。此外，語(yǔ)境的無(wú)窮倒退問(wèn)題也有待進(jìn)一步闡明,。

基于“數(shù)學(xué)”就是關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐本身,，從實(shí)踐出發(fā)挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)。20世紀(jì)30年代由布爾巴基學(xué)派興起的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義,，正是這種方案的踐行者,。他們主張數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的本性不是抽象,、孤立的個(gè)體對(duì)象,，而是數(shù)學(xué)對(duì)象間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。該學(xué)派強(qiáng)調(diào)將結(jié)構(gòu)關(guān)系作為實(shí)踐研究方法,，更啟發(fā)一批哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家從結(jié)構(gòu)主義出發(fā)反思數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)的本質(zhì),。基于對(duì)結(jié)構(gòu)之本質(zhì)的不同理解,，主要出現(xiàn)了三種進(jìn)路：先物結(jié)構(gòu)主義,、模態(tài)結(jié)構(gòu)主義與范疇結(jié)構(gòu)主義。在堅(jiān)持“數(shù)學(xué)本質(zhì)即結(jié)構(gòu)”的同時(shí),，夏皮羅,、雷斯尼克等學(xué)者進(jìn)一步得到數(shù)學(xué)對(duì)象，即“結(jié)構(gòu)中位置”的先物結(jié)構(gòu)主義,。但其對(duì)先物結(jié)構(gòu)的強(qiáng)調(diào)與數(shù)學(xué)實(shí)踐不符,。事實(shí)上，結(jié)構(gòu)主義的初衷正是遵循真正的數(shù)學(xué)實(shí)踐，任何基于哲學(xué)上的考慮而設(shè)置的本體承諾并不值得堅(jiān)守,。換言之，在無(wú)須對(duì)數(shù)學(xué)本體做出任何先物承諾的情況下,，結(jié)構(gòu)主義仍可以符合真正數(shù)學(xué)實(shí)踐的方式得到呈現(xiàn),。因此，可行的出路是要么放棄對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的忠誠(chéng),，顯然沒(méi)有人愿意選擇這樣做,；要么放棄先物結(jié)構(gòu)主義的本體論立場(chǎng)，進(jìn)一步反思數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的本質(zhì),，為數(shù)學(xué)實(shí)踐提供新的解釋?zhuān)绾諣柭哪B(tài)結(jié)構(gòu)主義,。在普特南模態(tài)思想的影響下，赫爾曼將模態(tài)邏輯與結(jié)構(gòu)主義相結(jié)合,，試圖對(duì)算術(shù),、分析、代數(shù)與幾何等數(shù)學(xué)理論進(jìn)行重解,，通過(guò)模態(tài)結(jié)構(gòu)主義重塑數(shù)學(xué),。他強(qiáng)調(diào)，我們應(yīng)避免對(duì)結(jié)構(gòu)或位置進(jìn)行逐個(gè)量化,，而應(yīng)將結(jié)構(gòu)主義建立在某個(gè)域以及該域上恰當(dāng)關(guān)系（這些關(guān)系滿足由公理系統(tǒng)給出的隱定義條件）的二階邏輯可能性上,。赫爾曼反對(duì)任何形式的本體論化歸，以消除對(duì)任何數(shù)學(xué)對(duì)象的指稱,，因此其模態(tài)結(jié)構(gòu)主義亦被稱為消除結(jié)構(gòu)主義,。但對(duì)二階邏輯的依賴導(dǎo)致模態(tài)結(jié)構(gòu)主義無(wú)法做到脫離對(duì)數(shù)學(xué)的集合論化歸，且其重塑數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)與可行性也遭到諸多質(zhì)疑,。因此,，我們的任務(wù)清晰起來(lái)，即從數(shù)學(xué)實(shí)踐出發(fā),，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,，努力開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)實(shí)在論的全新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)提供恰當(dāng)?shù)恼胬斫忉尅?/p>