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愛因斯坦狹義相對(duì)論質(zhì)能方程式E=mc²是怎樣推導(dǎo)出來的

 報(bào)曉7943071 2020-08-05

1905年9月26日,,愛因斯坦發(fā)表了一篇《論運(yùn)動(dòng)物體的電動(dòng)力學(xué)》,,這就是后來被稱為狹義相對(duì)論的著名論文,,在9月27日發(fā)表了一篇《物體的慣性同它所含的能量有關(guān)嗎,?》,這是后來被稱為質(zhì)能方程的論文,,我們今天要簡(jiǎn)單說說這篇只有短短數(shù)頁論文,,但卻闡述了一個(gè)在數(shù)十年后的未來解釋物質(zhì)起因的原理。全世界最廣為人知的物理學(xué)方程——質(zhì)能方程,,E=mc2,,也就是能量等于質(zhì)量乘以光速的平方。這個(gè)方程到底在說什么,?它又是怎么來的,?光速為什么無法超越?

在理解質(zhì)能方程之前,,要先介紹一下相對(duì)論中另外一個(gè)特殊的效果,。那就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體相對(duì)于地面上的觀察者來說,它的質(zhì)量會(huì)變大,。這一相對(duì)論效應(yīng)的證明過程比較復(fù)雜,,但我們還是可以嘗試?yán)斫庖幌隆?/p>

1. 動(dòng)量守恒

1.1 動(dòng)量的定義

首先我們要介紹物理學(xué)當(dāng)中的一個(gè)重要概念——?jiǎng)恿俊J裁词莿?dòng)量呢,?簡(jiǎn)單來說,,一個(gè)物體的質(zhì)量乘以它的速度,就是這個(gè)物體的動(dòng)量,??梢源致缘卣J(rèn)為,一個(gè)物體動(dòng)量的大小,,正比于要讓這個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體停下來的難易程度,。很顯然,一個(gè)物體的速度越快,,就越難讓它停下來,,比如超速的汽車不容易剎車。而在速度一樣的情況下,,質(zhì)量越大,,也越難停下來,一輛時(shí)速100公里的大貨車肯定要比一輛時(shí)速100公里的小轎車更不容易停下來。所以動(dòng)量的公式寫出來的就是質(zhì)量乘以速度,。

1.2 動(dòng)量守恒

關(guān)于動(dòng)量有一條鐵律,,叫做動(dòng)量守恒定律。說的是一個(gè)物理系統(tǒng),,在沒有外力的作用下,,不管這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生怎樣的相互作用,碰撞也好,,融合也好,,整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量從頭到尾不會(huì)發(fā)生變化。

比如一個(gè)小球,,質(zhì)量是小m,,運(yùn)動(dòng)的速度是v,它撞向一個(gè)質(zhì)量是M的大球,,大球的速度是V,。第一種情況,兩個(gè)小球是很光滑的,,撞完之后,,又各自分開,獲得了兩個(gè)不同的速度,,小球的速度從v變成了v1,,大球速度從V變成了V1。那么動(dòng)量守恒告訴我們,,不管v1和V1具體是多少,,碰撞之后的總動(dòng)量,mv1+MV1一定等于碰撞前的總動(dòng)量,,mv+MV,。

同樣,假設(shè)兩個(gè)小球之間粘了一個(gè)口香糖,,碰撞之后它們不再分開,,獲得了一個(gè)共同的速度V2,那么碰撞之后的總動(dòng)量mV2+MV2,,也一定等于mv+MV,。因?yàn)槿绻堰@兩個(gè)小球當(dāng)成一個(gè)整體,這個(gè)整體在碰撞前后是不受外力作用的,,動(dòng)量一定守恒,。

其實(shí)與這兩個(gè)小球黏在一起相反的過程動(dòng)量也是守恒的。比如有一個(gè)大球M,,以速度V在運(yùn)動(dòng),,它里面裝了炸藥,,炸藥爆炸以后M分裂成了兩個(gè)小球,質(zhì)量分別是m1和m2,,速度分別是v1和v2,。這種情況下,不管這幾個(gè)數(shù)值具體是多少,,一定滿足MV=m1v1+m2v2,。因?yàn)榇笄虮ㄇ昂螅到y(tǒng)的整體不受外力作用,。

2. 質(zhì)量為什么會(huì)增加,?

有了動(dòng)量守恒的知識(shí)之后,就可以解釋為什么運(yùn)動(dòng)著的物體質(zhì)量會(huì)增加,。

2.1 還是思維實(shí)驗(yàn)

我們想象這樣一個(gè)物理過程:假設(shè)有一個(gè)大球M,,它正以速度v相對(duì)于地面的觀察者普朗克運(yùn)動(dòng),。大球上也有一個(gè)觀察者,,還是愛因斯坦,他相對(duì)于大球M是不動(dòng)的,。這個(gè)時(shí)候愛因斯坦在大球上放了個(gè)炸彈,,并操控它突然爆炸,炸成了大小相同的兩個(gè)小球向兩邊飛出,。并且它們飛出去的時(shí)候,,相對(duì)于愛因斯坦的速度都是v,愛因斯坦相對(duì)于普朗克的速度保持不變,,還是原來的v,。

對(duì)于地面上的普朗克來說,左邊這個(gè)小球由于爆炸后獲得了向左的速度v,,剛好抵消了原來作為大球的一部分向右運(yùn)動(dòng)的速度v,。所以對(duì)于普朗克來說,這個(gè)小球就停下來了,,速度為0,。再看另一個(gè)向右運(yùn)動(dòng)的小球,它相對(duì)于愛因斯坦來說有一個(gè)向右的運(yùn)動(dòng)速度v,,但這個(gè)時(shí)候普朗克看這個(gè)小球的速度,,可就不是2v了??紤]相對(duì)論效應(yīng)后的速度疊加,,跟之前講過的傳送帶的問題是一樣的。所以大球爆炸后,,向右運(yùn)動(dòng)的小球相對(duì)于普朗克的速度,,是小于2v的,。

2.2 動(dòng)量守恒定律

到這里就可以用動(dòng)量守恒了,整個(gè)系統(tǒng)由于沒有受到外力的作用,,爆炸前和爆炸后相對(duì)于普朗克的動(dòng)量應(yīng)該是不變的,。爆炸前的動(dòng)量是大球的質(zhì)量乘以大球的速度,等于Mv,。爆炸之后,,左邊的小球停了下來,速度是零,,所以對(duì)動(dòng)量沒有貢獻(xiàn),。但是右邊那個(gè)滑塊,質(zhì)量假設(shè)是m,,速度比2v要小,,如果動(dòng)量要守恒的話,就可以得出一個(gè)結(jié)論:m的質(zhì)量要大于M的一半,。

而在不考慮相對(duì)論效應(yīng)的情況下,,M炸成兩個(gè)質(zhì)量相等的小塊,每個(gè)小塊的質(zhì)量應(yīng)該精確地等于M的一半,,現(xiàn)在卻發(fā)現(xiàn)大于M的一半,,所以運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量會(huì)增大的結(jié)論就這樣得出來了。

3. 質(zhì)能方程是怎么來的,?

既然已經(jīng)知道了運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量會(huì)增大,,就能推導(dǎo)出愛因斯坦著名的質(zhì)能方程,E=mc2,。

3.1 經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能

中學(xué)時(shí)我們都學(xué)過動(dòng)能這個(gè)概念,。在牛頓體系中,用力對(duì)一個(gè)物體做功,,推著它走一段距離,,這個(gè)物體的動(dòng)能就會(huì)增加。有了對(duì)于動(dòng)能的定義之后,,結(jié)合牛頓第二定律,,再加上簡(jiǎn)單的微積分,就可以推導(dǎo)出動(dòng)能的表達(dá)式,,動(dòng)能等于質(zhì)量乘以速度的平方再除以2,。在經(jīng)典力學(xué)中,物體的動(dòng)能就是這個(gè)形式,。

3.2 相對(duì)論里質(zhì)量不是恒定的

在經(jīng)典力學(xué)里,,質(zhì)量是不變的。而上面已經(jīng)證明了,,隨著物體的速度加快,,質(zhì)量也會(huì)變大,。所以如果真要完整地表達(dá)一個(gè)物體的能量,我們必須把質(zhì)量的增加計(jì)算進(jìn)去,。如果把質(zhì)量隨著速度的變化代入動(dòng)能的公式,,再進(jìn)行一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的微積分操作,就很容易得出,,一個(gè)物體的總能量,,E=mc2,這里的m是考慮了相對(duì)論效應(yīng)之后的質(zhì)量,。

3.3 質(zhì)能方程告訴了我們什么,?

質(zhì)能方程告訴了我們一件很重要的事:能量即質(zhì)量,質(zhì)量即能量,。它們是同一事物的兩種表現(xiàn)形式,,并且可以互相轉(zhuǎn)化。雖然現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)室里只看到過質(zhì)量轉(zhuǎn)化成能量的情況,,而能量轉(zhuǎn)化成質(zhì)量的過程還不太明晰,,但是不難發(fā)現(xiàn),把質(zhì)量轉(zhuǎn)化成能量的過程,,釋放出的能量是極其巨大的,。

簡(jiǎn)單算一下就知道,,光速是一個(gè)非常大的數(shù)字,,3乘以10的8次方,再平方一下,,就是9乘以10的16次方,。即便只有一公斤的質(zhì)量,全部轉(zhuǎn)化成能量可以釋放出9萬萬億焦耳,,足夠燒開兩百億噸開水,。值得一提的是,原子彈和氫彈的爆炸之所以威力如此巨大,,就是利用了質(zhì)能方程,,把質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了能量。

4. 光速為什么不可超越,?

掌握了質(zhì)能方程以后,,來看看它的一個(gè)重要推論:光速是不可超越的。

4.1 速度越大能量越大

當(dāng)我們給一個(gè)粒子加速的時(shí)候,,隨著它的速度越來越快,,質(zhì)量也越來越大。現(xiàn)在不妨把質(zhì)量隨著速度增加而增加的公式寫出來,。不難發(fā)現(xiàn),,當(dāng)速度跟光速比很小的時(shí)候,,質(zhì)量的變化幾乎可以忽略。但是當(dāng)速度越來越接近光速,,分母上的數(shù)值就越來越接近0,,整個(gè)質(zhì)量就會(huì)越來越接近無窮大。

最后,,當(dāng)物體的速度無限接近光速的時(shí)候,,物體的總質(zhì)量就會(huì)趨向于無窮大。但是很顯然,,自然界不可能有無限大的能量,,因此,永遠(yuǎn)不可能讓一個(gè)靜止時(shí)質(zhì)量不為零的物體加速到光速,。

4.2 靜質(zhì)量和動(dòng)質(zhì)量

除非你的靜止質(zhì)量也是零,,這樣在分子、分母都為0的情況下,,整個(gè)表達(dá)式有可能給出一個(gè)有限的值,。這就是光本身可以達(dá)到光速的原因,因?yàn)楣鉀]有靜止質(zhì)量,,它運(yùn)動(dòng)起來的速度必須是光速,。在極小篇中,我們會(huì)提到的一種粒子,,叫做膠子,,它的靜止質(zhì)量也是零,所以它的運(yùn)動(dòng)速度就是光速,。

4.3能量轉(zhuǎn)化為質(zhì)量

這個(gè)現(xiàn)象是在歐洲核子研究組織(CERN)的強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)(LHC)內(nèi)發(fā)現(xiàn)的,,科學(xué)家們將兩個(gè)質(zhì)子加速到亞光速后在粒子管道中發(fā)生碰撞,在這兩個(gè)高能質(zhì)子碰撞時(shí)發(fā)生的散射過程中會(huì)觀察到這樣的現(xiàn)象:這兩個(gè)質(zhì)子都沒有變化,,但是卻產(chǎn)生了新的粒子,,比如說我們相對(duì)熟悉的“J/ψ介子”。

“J/ψ介子”是由一個(gè)粲夸克和一個(gè)反粲夸克構(gòu)成的,,而前面我們說了,,質(zhì)子是由兩個(gè)上夸克和一個(gè)下夸克組成的。這就意味著,,在這個(gè)碰撞過程中產(chǎn)生的“J/ψ介子”不是質(zhì)子的“碎片,,它們是由質(zhì)子攜帶的能量直接構(gòu)成的,其反應(yīng)式為:

總結(jié):

愛因斯坦的狹義相對(duì)論只有一條以不變應(yīng)萬變的原理,,就是光速不變?cè)恚涸谌魏我粋€(gè)參考系中,,不論運(yùn)動(dòng)速度是多少,測(cè)量得到的光速都是一個(gè)不變的值,。

由光速不變?cè)?,我們推論出了很多神奇的效?yīng),。比如鐘慢效應(yīng):運(yùn)動(dòng)越快,時(shí)間流逝的速度越慢,;尺縮效應(yīng):運(yùn)動(dòng)越快,,長(zhǎng)度越短;還有運(yùn)動(dòng)越快,,質(zhì)量越大,。通過這些結(jié)論,可以直接推導(dǎo)出愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2,。它告訴我們,,能量和質(zhì)量是一回事,是同一事物的兩面,,并且任何物體的運(yùn)動(dòng)速度都無法超越光速,。

相對(duì)論還告訴我們,時(shí)間和空間不是相互獨(dú)立,,而是相互關(guān)聯(lián)的,,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定了時(shí)間的變化。

所以為什么叫相對(duì)論,,它揭示了在我們這個(gè)宇宙中,,一切觀測(cè)結(jié)果都要指明是相對(duì)于誰而言的,并沒有絕對(duì)的存在,。

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