1. 正四面體補(bǔ)為正方體

例1. 求棱長(zhǎng)為1的正四面體的體積。

圖1

分析：常規(guī)的思路是直接用三棱錐的體積公式去求,，但要首先求出此三棱錐的高,，求高比較繁瑣。如果將正四面體ABCD補(bǔ)形為正方體（如圖1）,，那么此正方體的棱長(zhǎng)為

,，因此,，求正四面體的體積便有了新的求解思路：

例2. 如圖2,，正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,，如果E、F,、G分別是SC,、AB、AC的中點(diǎn),，那么異面直線EF與BG所成角的余弦值等于__________,。

圖2

分析：常規(guī)的思路是“平移法”，取GA的中點(diǎn)H,，連結(jié)EH,、FH，則∠EFH即為所求,，但解△EFH的運(yùn)算量較大,。聯(lián)想到正四面體可補(bǔ)形為正方體（如圖3），相當(dāng)于求

與BG所成角的余弦值,。在此正方體的左邊補(bǔ)上一個(gè)大小相同的正方體,，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體（如圖4），則相當(dāng)于求長(zhǎng)方體對(duì)角線BD與側(cè)棱

所成角的余弦值,。

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,，則長(zhǎng)方體對(duì)角線BD的長(zhǎng)為

。

在

中,，

2. 三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐或?qū)庀嗟鹊娜忮F或一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐都可以考慮補(bǔ)形為長(zhǎng)方體

例3. 如圖5,，

是直二面角，

,，

,，那么AB與面β所成的角等于（ ）

圖5

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

分析：由α⊥β，BD⊥CD,，得BD⊥α

同理得：AC⊥β

因此,，AC⊥CD，BD⊥CD,，AC⊥BD

不妨把三棱錐A-BCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體（如圖5）,，易得∠ABC為所求的角。

在Rt△ABC中,，

,，選D。

例4. 如圖6,，四面體P-ABC中,，側(cè)棱PA,、PB、PC兩兩垂直,，O為面ABC上一點(diǎn),，且O到平面PAB、平面PAC,、平面PBC的距離分別為2,，3，4,，求OP的長(zhǎng)度,。

分析：可補(bǔ)一個(gè)“小”長(zhǎng)方體（如圖6），由此可得“小”長(zhǎng)方體的長(zhǎng),、寬,、高分別為2，3,，4,，求OP長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為求該“小”長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，得：

3. 一般三棱錐（三棱柱）可補(bǔ)形為三棱柱（平行六面體）

例5. 已知三棱錐P-ABC中,，PA⊥BC,，PA＝BC＝a，PA,、BC的公垂線段DE＝h,，求證三棱錐的體積是

。

分析：以ABC為底面,，PA為側(cè)棱補(bǔ)形為一個(gè)三棱柱ABC－

,，進(jìn)一步補(bǔ)形為平行六面體ABCD－

（如圖7），那么

由異面直線PA,、BC的距離為h知：

兩底面

與平面

的距離為h

又PA⊥BC,，PA＝BC＝a

可求出底面

的面積為

，所以

例6. 已知正三棱柱ABC－

,，若

,，求

與

所成的角。

分析：在三棱柱ABC－

的下方再補(bǔ)上一個(gè)大小形狀一樣的三棱柱

－EFG,，構(gòu)成一個(gè)新的三棱柱ABC－EFG（如圖8）,，連結(jié)

，則∠FA1C即為所求,。

易知

由

知：

∠AB1G＝90°

故∠FA1C＝90°

4. 其它不規(guī)則幾何體可視情況補(bǔ)形為三棱柱或平行六面體

例7. 如圖9,，在多面體ABCDEF中，平面ABCD是正方形,，且EF∥平面ABCD,。若EF＝3,，且其余的棱長(zhǎng)都是2，求該多面體的體積,。

分析：先把該不規(guī)則多面體補(bǔ)形為三棱柱

,，進(jìn)一步補(bǔ)形為平行六面體

（如圖9）?？汕蟮命c(diǎn)F到平面

的距離為

,。

所以

從以上幾例可知，補(bǔ)形后的運(yùn)算很簡(jiǎn)捷,，難點(diǎn)就在于如何突破“補(bǔ)形”這一關(guān)。規(guī)律是原幾何體經(jīng)補(bǔ)形后常常置身于長(zhǎng)方體,、正方體,、三棱柱或平行六面體等規(guī)則幾何體中，由整體再回過(guò)頭來(lái)看局部,，則可化難為易,。

點(diǎn)擊下方“了解更多”即可在線報(bào)名1對(duì)1量身定制教學(xué)！